第1講直線與圓

■的方程

滿分晉級(jí)

〈教師備案〉本講是在高一春季學(xué)過(guò)兩講（直線方程六大考點(diǎn)和圓的初步）后的直線與圓的同步講義，

涉及到的新知識(shí)點(diǎn)不多，主要是強(qiáng)化直線與圓的靈活與綜合應(yīng)用，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的

思想.每個(gè)板塊學(xué)習(xí)前有春季知識(shí)回顧，簡(jiǎn)單的復(fù)習(xí)一下直線與圓的基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn).

1.1直線的三種形式及其靈活應(yīng)用

春季知識(shí)回顧

1.⑴過(guò)點(diǎn)（2,哈且傾斜角為g的直線方程為

⑵過(guò)點(diǎn)（1,2）、（2,3）的直線方程為.

【角簞析】（1）y=Gx-6;（2）y=x+l.

2.已知過(guò)點(diǎn)4（-2,〃］）和川加，4）的直線與直線2x+y-l=0平行，則加的值為（）

A.0B.-8C.2D.10

【解析】B.

3.已知A/iBC三邊所在直線的方程為：A8:3x—2y+6=0,AC:2x+3y-22=0,BC:3x+4y-m=0.

⑴判斷三角形的形狀；

⑵當(dāng)3c邊上的高為1時(shí)，求機(jī)的值.

【解析】(1)直角三角形；

(2)機(jī)=25或35;

4.平面內(nèi)與直線2x+y+1=0的距離為去的直線方程為

【解析】2x+y=0或2x+y+2=0

知識(shí)點(diǎn)睛

1.直線的方程：

①點(diǎn)斜式方程：y-yQ=k(x-xQ)

②兩點(diǎn)式方程：之二》_=—!_

③一般式：Ax+By+C=O(A、8不全為零)

2.點(diǎn)到直線的距離公式

點(diǎn)P(%,%)到直線/：Av+8y+C=0的距離d的計(jì)算公式：4=甌少上4

y/A2+B2

兩條平行直線Ar+8y+G=0和Ax+8y+G=0之間的距離為」，一厘.

VA2+B2

3.兩條直線的位置關(guān)系4：Ax+Bj+G=0,l2：Ax+B2y+C2=0

⑴兩條直線相交、平行與重合的條件：

①相交的條件：A與-兒線工。

②平行的條件：A&-4與=0且耳G-6與*0

③重合的條件：A=幾&,4=2B,,G=AC2(A*0)

⑵兩條直線垂直的條件：AA+用口=o

〈教師備案〉斜率存在的情況下：兩條直線為《：y=ktx+bt;12:y=k2x+b2

相交的條件：;平行的條件：k、=k，且b、豐瓦；重合的條件：&=匕，b.=h^.

兩條直線垂直的條件：出=_1.

經(jīng)典精講

考點(diǎn)1:直線方程及其靈活應(yīng)用

【例1】(D*★已知直線/過(guò)點(diǎn)C(3,4),且點(diǎn)A(l,-1)、8(5,7)至I"的距離相等，求直線/的方程.

(2)*★等腰直角三角形43c的直角頂點(diǎn)C和頂點(diǎn)B都在直線2x+y-6=0上，頂點(diǎn)4的坐標(biāo)

是(1,-1),求邊AB,AC所在的直線方程.

⑶品過(guò)點(diǎn)P(0,1)作直線/,使它被兩直線4：2x+y-8=O和4：x-3y+10=0所截得的線段

被點(diǎn)P平分，求直線/的方程.

【解析】⑴x=3或y=2x-2.

(2)直線AC的方程為x-2y-3=0,

直線AB的方程為4=0或x+3y+2=0.

2

(3)x+4y—4=0.

【例2】?jī)?nèi)過(guò)點(diǎn)P(-l,-2)的直線分別交x、y軸的負(fù)半軸于A,8兩點(diǎn)，當(dāng)歸4Hp周最小時(shí)，求直

線/的方程.

【角簞析】x+y+3=0.

尖子班學(xué)案1

【拓2】已知過(guò)點(diǎn)A(l,1)且斜率為-砥相＞0)的直線/與x,y軸分別交于P,Q,過(guò)尸，。作直線

2x+y=0的垂線，垂足分別為R,S,求四邊形PRSQ的面積的最小值.

【解析】當(dāng)〃7=1時(shí)，四邊形PRSQ的面積有最小值為3.6.

目標(biāo)班學(xué)案1

【拓3】將一塊直角三角板ABO(45。角)置于直角坐標(biāo)系中，已知

AB=OB=\,ABJLO3,點(diǎn)是三角板內(nèi)一點(diǎn)，現(xiàn)因

三角板中部分受損壞(NOB),要把損壞的部分鋸掉，可用

經(jīng)過(guò)P的任意一條直線MN將其鋸成△AMN，問(wèn)如何確定直

線A/N的斜率，才能使鋸成的的面積最大？

【解析】當(dāng)直線MN的斜率為2=-g時(shí)，SA.取得最大值g.

1.2圓的方程形式及其靈活應(yīng)用

春季知識(shí)回顧

1.求以0(0,0),4(2,0),8(0,4)為頂點(diǎn)的△Q4B外接圓的方程.

【解析】(x-1)2+(y-2)2=5.

【點(diǎn)評(píng)】當(dāng)條件與圓心、半徑有關(guān)時(shí)常選擇標(biāo)準(zhǔn)方程，當(dāng)條件是圓經(jīng)過(guò)三個(gè)點(diǎn)時(shí)，常選用一般方程.

2.若ae1-2,(),1,,方程x?+y?+依+24)，+2。2+。-1=0表示的圓的個(gè)數(shù)為()

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【解析】B;

3.證明：以4%,y),B(X2,%)為直徑端點(diǎn)的圓方程為(%-玉)“一X2)+(丫一,)()，一%)=°?

【解析】口_毀可+(y_七可=(，'-%)：(〃-%),變形即可得.

知識(shí)點(diǎn)睛

1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

⑴以點(diǎn)C(a,力為圓心，r為半徑的圓的方程:(%-a)2+(y-b)2=r2

⑵圓心在原點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：d+=/

2.圓的一般方程

x2+y2+Dx+Ey+F=O,(D2+E2-4F>0)?

說(shuō)明：⑴丁和V項(xiàng)的系數(shù)相等且都不為零；

⑵沒(méi)有引，這樣的二次項(xiàng).

⑶表示以1為圓心，；g+E2-4F為半徑的圓.

〈教師備案〉⑴當(dāng)￡>2+1-4/=0時(shí)，方程①只有實(shí)根x=-2,y=~,方程①表示一個(gè)點(diǎn)

22<22

(2)當(dāng)O'+^2-4尸<0時(shí)，方程①?zèng)]有實(shí)根，因而它不表示任何圖形.

經(jīng)典精講

考點(diǎn)2：圓的方程及其靈活應(yīng)用

【例3】⑴*★求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(5,2)、3(3,2),圓心在直線2x-y-3=0上的圓的方程.

⑵六求過(guò)點(diǎn)A(0,1),8(4,1)且與x軸相切的圓的方程.

【解析】⑴(x-4)2+(y-5)2=10.

⑵(x-2)2+(y-g)=^.

〈教師備案〉三個(gè)獨(dú)立條件確定一個(gè)圓，一般用待定系數(shù)法求圓的方程.如果已知圓心或半徑或圓心到

直線的距離可用標(biāo)準(zhǔn)式；如果已知圓經(jīng)過(guò)某些點(diǎn)常用一般式.

〈教師備案〉在求圓的方程時(shí)，應(yīng)當(dāng)注意以下幾點(diǎn)：

①確定用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程還是一般方程；

②運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)建立方程求得a、氏r或。、E、F-

③在待定系數(shù)法的應(yīng)用上，列式要盡量減少未知量的個(gè)數(shù).

提高班學(xué)案I

【拓1】過(guò)點(diǎn)P(4,2)作圓x?+y2=4的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,8,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△。記的外

接圓方程是()

A.(x-2)2+(y-l)2=5B.(x-4)2+(>--2)2=20

4

C.(》+2)2+(丫+1尸=5D.(x+4)2+(y+2)2=20

【解析】A

【選講】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)二次函數(shù)/(x)=x2+2x+6(xeR)的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交

點(diǎn)，經(jīng)過(guò)這三個(gè)點(diǎn)的圓記為C.

⑴求實(shí)數(shù)b的取值范圍；

⑵求圓C的方程.

【解析】⑴匕的取值范圍是(-co,0)1(0,1).

(2)圓C的方程為(x+iy+(y-等)=1+'Z?~1)-(或?qū)憺閤2+/+2x-S+l)y+b=0)

|1.3直線與圓的綜合

春季知識(shí)回顧

1.設(shè)直線/過(guò)點(diǎn)(-2,0),且與圓d+y2=i相切，貝心的斜率是()

A.±1B.±-C.±—D.士G

23

【解析】C

2.圓V+y2一取+2=0與直線/相切于點(diǎn)A(3,1),則直線/的方程為()

A.2x-y-5=0B.x-2y-l=0C.x-y-2=0D.y-4=0

【解析】D.

3.直線X_y_3=0被圓(X_1)-+y2=25所截得的弦長(zhǎng)為.

【解析】2伍.

4.過(guò)點(diǎn)P(2,-3)作圓(x+iy+V=25的弦他，使P為AB的中點(diǎn)，則弦AB所在直線的方程為()

A.x-y-5=0B.x-y+5=0C.x+y+5=0D.x+y-5=0

【解析】A

〈教師備案〉主要是對(duì)直線與圓的位置關(guān)系、過(guò)一點(diǎn)作圓的切線以及圓的弦長(zhǎng)的回顧.

知識(shí)點(diǎn)睛

1.直線與圓的位置關(guān)系

⑴如果直線到圓心的距離為d,圓的半徑為r,那么：

①若則直線與圓相離；

②若"=r，則直線與圓相切；

③若則直線與圓相交.

⑵將直線方程與圓的方程聯(lián)立成方程組，利用消元法消去一個(gè)元后，得到關(guān)于另一個(gè)元的一元二

次方程，求出其△的值，然后比較判別式A與0的大小關(guān)系，

若AvO,則直線與圓相離：

若△=(),則直線與圓相切；

若△>(),則直線與圓相交.

2.圓與圓的位置關(guān)系

平面上兩圓的位置關(guān)系有五種，可以從兩圓的圓心距與兩圓半徑的數(shù)量關(guān)系來(lái)判斷.

設(shè)?的半徑為個(gè)的半徑為4,兩圓的圓心距為"，

當(dāng)時(shí)，兩圓外離；

當(dāng)4+2=1時(shí)，兩圓外切；

當(dāng)k-修<“<(+乃時(shí)，兩圓相交；

當(dāng)年-q=d(dwO)時(shí)，兩圓內(nèi)切；

當(dāng)k-力>〃時(shí)，兩圓內(nèi)含.

3.當(dāng)圓與圓相交時(shí)，求相交兩點(diǎn)所在直線的方程時(shí)把兩圓的方程作差即可.

〈教師備案>1.根據(jù)直線與圓的方程判斷位置關(guān)系和求弦長(zhǎng)，一般不用判別式，而是用圓心到直線的距

離與半徑的關(guān)系求解.

2.要注意數(shù)形結(jié)合，充分利用圓的性質(zhì)，如“垂直于弦的直徑必平分弦”、“圓的切線垂直

于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑”、“兩圓相切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心三點(diǎn)共線”等等，尋找解題途徑，

減少運(yùn)算量.

3.圓與直線/相切的情形——圓心到/的距離等于半徑，圓心與切點(diǎn)的連線垂直于/.

4.圓與直線/相交的情形——圓心到/的距離小于半徑，過(guò)圓心而垂直于/的直線平分/被

圓裁得的弦；連接圓心與弦的中點(diǎn)的直線垂直于弦；過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)的所有弦中，最短的是

垂直于過(guò)此點(diǎn)的直徑的那條弦，最長(zhǎng)的是過(guò)這點(diǎn)的直徑.

在解有關(guān)圓的解析幾何題時(shí)，主動(dòng)地、充分地利用這些性質(zhì)可以得到新奇的思路，避免冗長(zhǎng)

的計(jì)算.

經(jīng)典精講

考點(diǎn)3：直線與圓基礎(chǔ)

【例4](1)**己知圓。-2)2+丁=1,求上的最大值與最小值.

X

(2)x2+y2=4Blx2+y2+lay-6=O(cz>0)的公共弦的長(zhǎng)為，貝ija=

【解析】(1)上的最大值與最小值分別為且和.

X33

(2)a=\.

提高班學(xué)案2

【拓1】⑴已知X,y滿足尤2+/=1,則2二的最小值為；

x—\

(2)求圓心為(2,1),且與已知圓f+/-31=0的公共弦所在直線過(guò)點(diǎn)(5,-2)的圓的方程.

【解析】(1)2；

4

(2)(x-2)2+(j-l)2=4.

尖子班學(xué)案2

【拓2】如果實(shí)數(shù)x、y滿足(x-2y+y2=3,則上的最大值為，V+y?的最大值為,

X

【解析】67+46；

目標(biāo)班學(xué)案2

【拓3】(1)已知圓C:(x+2)2+V=l,P(x,y)為圓上任一點(diǎn)，求匕心的最大、最小值.

x-\

(2)已知兩圓f+y2=4和+(尸8)2=4.

①若兩圓在直線y=,x+b的兩側(cè)，求實(shí)數(shù)6的取值范圍；

②求經(jīng)過(guò)點(diǎn)40,5)且和兩圓都沒(méi)有公共點(diǎn)的直線斜率k的取值范圍.

【解析】⑴上匕的最大值為三且，最小值為上正

x-144

⑵①3W6W5.

g非，垂>

22

考點(diǎn)4：與圓有關(guān)的對(duì)稱問(wèn)題

【例5】⑴*★已知圓G：(x+l)2+(1-l)2=l，圓c?與圓C1關(guān)于直線x—y-l=O對(duì)稱，則圓C?的方程

為()

A.(x+2)2+(y-2)2=1B.(x-2)2+(y+2)2=1

C.(x+2)2+(>+2)2=1D.(x-2)2+(y-2)2=1

⑵由一條光線從點(diǎn)P(2,3)射出，經(jīng)x軸反射，與圓(x+3)2+(y-2)2=l相切，求反射光線所

在的直線的方程.

【解析】⑴B

(2)4x+3y+1=0或3x+4y+6=0.

提高班學(xué)案3

【拓1】已知點(diǎn)A是圓C:x?+y?+or+4y-5=0上任意一點(diǎn)，A點(diǎn)關(guān)于直線x+2y-1=0的對(duì)稱點(diǎn)也

在圓C上，則實(shí)數(shù)。等于.

【解析】一解

尖子班學(xué)案3

【拓2】己知圓Y+y2+8x-4y=0與以原點(diǎn)為圓心的某圓關(guān)于直線產(chǎn)質(zhì)+b對(duì)稱，求36的值.

【解析】k=2,b=5.

目標(biāo)班學(xué)案3

【拓3】自點(diǎn)A(-3,3)發(fā)出的光線/射到x軸上，被x軸反射，反射光線所在的直線與圓

C：丁+)2-4》-4了+7=0相切，求入射光線/和反射光線所在的直線方程，并求光線自A到

切點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程.

【解析】7.

考點(diǎn)5：圓上的點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題

【例6】?jī)?nèi)已知圓C:(x-3>+(y+5>=/和直線/:4x-3y—2=0,

⑴若圓C上有且只有4個(gè)點(diǎn)到直線/的的距離等于1,求半徑，的取值范圍；

⑵若圓C上有且只有3個(gè)點(diǎn)到直線/的的距離等于1,求半徑，?的取值范圍；

⑶若圓C上有且只有2個(gè)點(diǎn)到直線/的的距離等于1,求半徑r的取值范圍.

【解析】方法一采用轉(zhuǎn)化為直線與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)解決；方法二從劣弧的點(diǎn)到直線/的最大距離作為觀

察點(diǎn)入手.,

(Dr>6；I//,

⑵廠=6；|///

⑶4?6----------4力、'“、個(gè)

【點(diǎn)評(píng)】將圓上到直線/的距離等于1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩條直線與圓/'/￥""'''>\

的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，是一種簡(jiǎn)明的處理方法，對(duì)解決這類問(wèn)題特別/力不、、、、

有效.、'e寸

8

【備選】已知圓C:(x-4)、(y-3)2=1和點(diǎn)A(0,-1),B(l,0),點(diǎn)P在圓上，求△RIB面積的最小值.

2-5/2

【解析】

2

考點(diǎn)6：直線與圓綜合

【例7】卻如圖，已知圓心坐標(biāo)為(后，1)的圓M與x軸及直線尸石x分別

相切于A、B兩點(diǎn),另一圓N與圓M外切、且與x軸及直線y=Gx

分別相切于C、。兩點(diǎn).

⑴求圓M和圓N的方程；

⑵過(guò)點(diǎn)8作直線MN的平行線/,求直線/被圓N截得的弦的長(zhǎng)度.

【解析】⑴M的方程為(x-G『+(y-iy=l,

代的方程為1-3商+(>-3)2=9;

⑵底.

Q實(shí)戰(zhàn)演練

【演練1】過(guò)原點(diǎn)。作圓/+9-6工-8>+2()=()的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為P、Q,則線段PQ的長(zhǎng)

為.

【解析】4

【演練2】已知圓C與直線x-y=0及x-y-4=0都相切，圓心在直線x+y=0上，則圓C的方程為

()

A.(x+l)2+(y-l)2=2B.(x-l)2+(y+l)2=2

C.(x-l)2+(y-l)2=2D.(x+l)2+(y+l)2=2

【解析】B

【演練3】直線y=-2x+l上的點(diǎn)到圓/+丁+以―2y+4=0上的點(diǎn)的最近距離是()

A.述B.逑+1C,拽7D.1

555

【解析】C

【演練4】已知圓(x-3)2+(y+5)2=36和點(diǎn)42,2),B(—l,-2),若點(diǎn)C在圓上且△/WC的面積為*,

2

則滿足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2D.4

【解析】C;

【演練5】如圖，矩形XBCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)M(2,0),四邊所在直線的方程為x-3y-6=0,

點(diǎn)T(-l,1)在4)邊所在直線上.|y

⑴求4)邊所在直線的方程；\I

⑵求矩形外接圓的方程.\C

【解析】(1)3x+y+2=0.A

⑵(x-2『+V=8.一%A一?

【演練6】設(shè)點(diǎn)尸(x,y)是圓V+y2=i上任