課時作業(yè)(三)正弦定理與余弦定理的應用一、選擇題1．海上的A，B兩個小島相距10nmile，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成75°的視角，則B島與C島之間的距離是()A．10eq\r(3)nmile B．eq\f(10\r(6),3)nmileC．5eq\r(2)nmile D．5eq\r(6)nmile2．如圖所示，從氣球A上測得正前下方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時氣球的高是60m，則河流的寬度BC等于()A．240(eq\r(3)－1)mB．180(eq\r(2)－1)mC．120(eq\r(3)－1)mD．30(eq\r(3)＋1)m3．在一幢20m高的樓頂測得對面一塔吊頂?shù)难鼋菫?0°，塔基的俯角為45°，那么這座塔吊的高是()A．20(1＋eq\f(\r(3),3))m B．20(1＋eq\r(3))mC．10(eq\r(6)＋eq\r(2))m D．20(eq\r(6)＋eq\r(2))m4．輪船A和輪船B在中午12時同時離開海港O，兩船航行方向的夾角為120°，兩船的航行速度分別為25nmile/h，15nmile/h，則14時兩船之間的距離是()A．50nmile B．70nmileC．90nmile D．110nmile二、填空題5．如圖，河流上有一座橋，其長度BC＝100m，在橋的兩端C，B處測得空中一氣球的仰角分別為α＝30°，β＝45°，試求氣球的高度h為________.6．如圖所示，設A，B兩點在河的兩岸，一測量者在A的同側，在A所在的河岸邊選定一點C.測出AC的距離為50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，則A，B兩點的距離為______m．7．某校運動會開幕式上舉行升旗儀式，在坡角為15°的看臺上，同一列的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°，若同一列的第一排和最后一排之間的距離為10eq\r(6)米(如圖所示)，則旗桿的高度為________米．三、解答題8．如圖所示，某海輪以60海里/時的速度航行，在A點測得海面上油井P在南偏東60°，向北航行40分鐘后到達B點，測得油井P在南偏東30°，海輪改為北偏東60°的航向再行駛80分鐘到達C點，求P，C間的距離．9．如圖所示，在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距A處(eq\r(3)－1)nmile的B處有一艘走私船，在A處北偏西75°的方向，距離A處2nmile的C處的緝私船奉命以10eq\r(3)nmile/h的速度追截走私船．此時，走私船正以10nmile/h的速度從B處向北偏東30°方向逃竄，問緝私船沿著什么方向能最快追上走私船？[尖子生題庫]10．△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊為a，b，c，且2acosA＝bcosC＋ccosB，(1)求角A的大??；(2)若a＝2，求△ABC面積的最大值．課時作業(yè)(三)正弦定理與余弦定理的應用1.解析：由題意，做出示意圖，如圖，在△ABC中，C＝180°－60°－75°＝45°，由正弦定理，得eq\f(BC,sin60°)＝eq\f(10,sin45°)，解得BC＝5eq\r(6)(nmile).答案：D2．解析：∵tan15°＝tan(60°－45°)＝eq\f(tan60°－tan45°,1＋tan60°tan45°)＝2－eq\r(3)，∴BC＝60tan60°－60tan15°＝120(eq\r(3)－1)(m)，故選C.答案：C3．解析：如圖，由條件知四邊形ABCD為正方形，∴AB＝CD＝20m，BC＝AD＝20m.在△DCE中，∠EDC＝60°，∠DCE＝90°，CD＝20m，∴EC＝CD·tan60°＝20eq\r(3)m．∴BE＝BC＋CE＝(20＋20eq\r(3))m.選B.答案：B4．解析：到14時，輪船A和輪船B分別走了50nmile，30nmile，由余弦定理得兩船之間的距離為l＝eq\r(502＋302－2×50×30×cos120°)＝70(nmile).答案：B5．解析：由題可知，∠ABO＝β＝45°，∠ACO＝α＝30°，∴OB＝OA＝h，∴OC＝OB＋BC＝h＋100，在Rt△AOC中，∵∠ACO＝30°，∴CO＝eq\r(3)AO，即h＋100＝eq\r(3)h，解得h＝eq\f(100,\r(3)－1)＝50(eq\r(3)＋1).∴氣球的高度為50(eq\r(3)＋1)m.答案：50(eq\r(3)＋1)m6．解析：由題意知∠ABC＝30°，由正弦定理，得eq\f(AC,sin∠ABC)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，∴AB＝eq\f(AC·sin∠ACB,sin∠ABC)＝eq\f(50×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝50eq\r(2)(m).答案：50eq\r(2)7．解析：如圖所示，依題意可知∠PCB＝45°，∠PBC＝180°－60°－15°＝105°，∴∠CPB＝180°－45°－105°＝30°，∴在△PBC中，由正弦定理，可知PB＝eq\f(CB,sin∠CPB)·sin∠PCB＝20eq\r(3)(米)，∴在Rt△POB中，OP＝PB·sin∠PBO＝20eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝30(米)，即旗桿的高度為30米．答案：308．解析：因為AB＝40，∠BAP＝120°，∠ABP＝30°，所以∠APB＝30°，所以AP＝40，所以BP2＝AB2＋AP2－2AP·AB·cos120°＝402＋402－2×40×40×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝402×3，所以BP＝40eq\r(3).又∠PBC＝90°，BC＝80，所以PC2＝BP2＋BC2＝(40eq\r(3))2＋802＝11200，所以PC＝40eq\r(7)海里．9．解析：設緝私船用th在D處追上走私船，則有CD＝10eq\r(3)t，BD＝10t，在△ABC中，∵AB＝eq\r(3)－1，AC＝2，∠BAC＝120°，∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(eq\r(3)－1)2＋22－2×(eq\r(3)－1)×2·cos120°＝6，∴BC＝eq\r(6)，且sin∠ABC＝eq\f(AC,BC)·sin∠BAC＝eq\f(2,\r(6))×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(2),2)，∴∠ABC＝45°，∴BC與正北方向垂直．∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝eq\f(BD·sin∠CBD,CD)＝eq\f(10tsin120°,10\r(3)t)＝eq\f(1,2)，∴∠BCD＝30°.即緝私船沿北偏東60°方向能最快追上走私船．10．解析：(1)依題意2acosA＝bcosC＋ccosB，由正弦定理得2sinAcosA＝sinBcosC＋sinCcosB＝sin(B＋C)＝sinA，由于0＜A＜π，sinA>0，所以2cosA＝1，cosA＝eq\f(