關于射線衍射的幾何原理第1頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三產(chǎn)生衍射線的原因X射線晶體衍射現(xiàn)象不同的衍射花樣電子散射電磁波干涉作用輻射周期排列的散射波中心發(fā)出的相干散射波互相干涉振動方向相同，位相恒定

ν電=ν入，λ電=λ入

晶體中原子排列的周期性干涉加強出現(xiàn)衍射線測定晶體結(jié)構(gòu)研究與結(jié)構(gòu)相關的一系列問題分析沒有衍射線產(chǎn)生互相抵消第2頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三x射線衍射理論：

將晶體結(jié)構(gòu)和衍射花樣聯(lián)系起來x射線衍射理論包括：

衍射線束的方向：衍射線束的強度：衍射線束的形狀、大小：由晶胞的形狀、大小決定（本章）由晶胞中原子的位置和種類決定（下章）由晶體的形狀大小決定第3頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三衍射線束的方向用下列四種形式表示：布拉格定律衍射矢量方程厄瓦爾德圖解勞埃方程即衍射線方向與晶體結(jié)構(gòu)關系的四種表現(xiàn)形式第4頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三預備知識干涉加強布拉格實驗一.布拉格定律的推證二.布拉格方程的討論第5頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三如圖3-1S方向的合成波MλABSTT方向的合成波(振幅=0)波程差：δ=nλ(n=0，1，2，……)或相差：φ=2π?δ/λ=n?2π若δ=（2n+1）λ或φ=（2n+1）π削弱為0干涉加強第6頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三o布拉格實驗(圖3－2）

將X-ray沿與NaCl晶體（001）面平行的方向入射，且晶體繞O軸轉(zhuǎn)動θ，同時計數(shù)管轉(zhuǎn)動2θ。實驗結(jié)果：當θ=30°、64°時，有脈沖產(chǎn)生。λ(001)nθ12θ1(001)nλ第7頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三實驗表明：①可將晶面視為反射面，且θ反=θ入②反射具有選擇性那么：為什么是選擇反射？這與晶體結(jié)構(gòu)有什么關系？

第8頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三一.布拉格定律的推證假定在參與散射的晶體中：①晶面完整、平直②入射線平行③單色X-ray（波長一定）此時，X-ray滿足反射定律θ反=θ入。入射線、反射線、法線三線共面第9頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三晶面法線圖3-3晶體對X射線的衍射11a232a1`a1`2`3`2`aABCSMNQRθ2θPKβad一層原子面O第10頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三APKQRθθ1a1a`11`第11頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三1.一層原子面上散射X-ray的干涉

δ=KQ-PR=a(cosθ-cosβ)如圖3－3:X-ray以θ角入射到原子面A,并以β角散射時，相距為a的任意兩原子P、K散射X射線1-1`和1a-1`a的波程差為：當δ=nλ時，在β方向干涉加強

假定原子面上所有原子的散射線同位相，即φ=n?2π=0，δ=0(見圖3－1)則a(cosθ-cosβ)=0，θ=β第12頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三當入射角與散射角相等時，一層原子面上所有散射波干涉加強。與可見光的反射定律相類似，X-ray從一層原子面呈鏡面反射的方向，就是散射線干涉加強的方向：

即一層原子面對X-ray的衍射在形式上可看成原子面對入射線的反射。第13頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三∵X-ray具有強的穿透力，晶體的散射線來自若干層原子面，除同一層原子面的散射線互相干涉外，各原子面的散射線之間還要互相干涉。第14頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三2.相鄰原子面的散射波的干涉1-1`和2-2`的波程差：如圖3－3:δ=MO+ON=2dsinθ

若

δ=nλ則相鄰原子面散射波干涉加強——衍射時產(chǎn)生衍射。布拉格方程是產(chǎn)生衍射的必要條件。

即

2dsinθ=nλ（n=0,1,2,3,…)——布拉格方程方程中：λ：入射線波長d：晶面間距；

θ：掠射角或布拉格角（半衍射角）

2θ：衍射角；n：為整數(shù)，稱反射級數(shù)第15頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三二.布拉格方程的討論

選擇反射

產(chǎn)生衍射的限制條件

干涉面和干涉指數(shù)

衍射線方向與晶體結(jié)構(gòu)的關系

第16頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三選擇反射X-ray在晶體中的衍射，實質(zhì)上是晶體中各原子相干散射波之間互相干涉的結(jié)果。一束可見光以任意角度投射到鏡面上時都可以產(chǎn)生反射，不受條件限制。X-ray從原子面的反射是有選擇地，其選擇條件為布拉格方程∴將X-ray的晶面反射稱選擇反射。X-ray選擇“反射”的根源是X射線強的穿透本領，造成晶體內(nèi)若干原子面反射線干涉的結(jié)果。第17頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三產(chǎn)生衍射的限制條件

由2dsinθ=nλ因sinθ≤1考慮n=1（即1級反射）的情況，有——即能產(chǎn)生衍射的限制條件它說明：波長λ的X-ray→晶體時，只有面間距的晶面才能產(chǎn)生衍射。

第18頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三如：α-Fe的一組晶面，面間距為：2.02A,1.43A,1.17A,1.01A,0.90A,0.83A,0.76A……

哪些面能產(chǎn)生衍射？哪些不能？分別用銅靶\(zhòng)鐵靶第19頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三干涉面和干涉指數(shù)

我們將布拉格方程中的n隱含在d中得到簡化的布拉格方程：

把（hkl）晶面的n級反射看成為與（hkl）晶面平行、面間距為dHKL的晶面的一級反射。面間距為dHKL的晶面并不一定是晶體中的原子面，而是為了簡化布拉格方程所引入的反射面，我們把這樣的反射面稱為干涉面。干涉面的面指數(shù)稱為干涉指數(shù)。——實用布拉格方程第20頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三衍射線方向與晶體結(jié)構(gòu)的關系

由2dsinθ=λ有λ一定時，則θ是d的函數(shù)將上述立方、斜方晶系的面間距公式代入布拉格公式，平方，得：立方晶系：正方晶系：斜方晶系：∴由衍射線束的方向→確定晶胞的形狀、大小。無法確定原子種類和在晶胞中的位置的。

第21頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三小結(jié)：1.布拉格方程表明了選擇反射的規(guī)律，是一個物理模型。作用：由θ→d→a,b,c2.引入干涉指數(shù)后，方程簡化、實用。3.選擇反射的根源是X-ray有強的穿透力。第22頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三(b)體心立方Wa=b=c=0.3165nm(a)體心立方a-Fea=b=c=0.2866nm第23頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三圖3-4X射線衍射花樣與晶胞形狀及大小之間的關系

(c)體心四方a=b=0.286nm,c=0.320nm(d)體心正交:a=0.286nm,b=0.300nm,c=0.320nm(e)面心立方：g-Fea=b=c=0.360nm第24頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三衍射矢量方程和厄瓦爾德圖解

在描述X射線的衍射幾何時，主要是解決兩個問題:

為了把這兩個方面的條件用一個統(tǒng)一的矢量形式來表達，引入了衍射矢量的概念。

倒易點陣中衍射矢量的圖解法：厄瓦爾德圖解產(chǎn)生衍射的條件，即滿足布拉格方程；衍射方向，即根據(jù)布拉格方程確定的衍射角2。第25頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三衍射矢量

如圖所示，當一束X射線被晶面P反射時，假定N為晶面P的法線方向，入射線方向用單位矢量S0表示，衍射線方向用單位矢量S表示，則S-S0為衍射矢量。S-S0（衍射矢量圖示）S0SBCAλNP第26頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三——衍射矢量方程（由布拉格公式導出的布拉格公式矢量表達式）也可以說：、、

構(gòu)成一等腰三角形時，則產(chǎn)生衍射。衍射矢量方程是衍射的必要條件。

第27頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三厄瓦爾德圖解原理

要使（HKL）晶面發(fā)生反射，入射線必須沿一定方向入射，以保證反射線方向的矢量端點恰好落在倒易矢量的端點上，即的端點應落在HKL倒易點上。

——表征衍射幾何條件的圖解形式。第28頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三

由于晶體中存在各種方位和各種面間距的晶面，因此當入射線沿一定方位入射時，可能同時有若干束衍射線發(fā)生，則可用厄瓦爾德圖解法求衍射線束的方向。

設有n族面符合反射條件，則可作n個衍射矢量三角形，該三角形以C為頂點，為一公共邊，各自的倒易陣點至C≡，它們構(gòu)成一個球面，稱厄瓦爾德球或反射球。

第29頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三作圖

(見圖)1．

作晶體的倒易點陣，O*為倒易原點。2．

入射線沿OO*方向入射，且令OO*=3．以O為球心，以為半徑畫一個球——稱反射球。若球面與倒易點P1相交，連OP1則有OP1是一衍射線方向。衍射X射線衍射X射線衍射球O*ACB衍射X射線SO1/λS0第30頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三P0O*Or*第31頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三

以上求衍射線方向的作圖法稱厄瓦爾德圖解。

由此可見，當X-ray沿OO*方向入射，所有能發(fā)生反射的晶面，其倒易點都應落在以O為球心，以1/λ為半徑的球面上，即在球面上的倒易陣點可以反射，不在球面上的倒易陣點一定不可反射，從球心O指向倒易點的方向是相應晶面反射線的方向。

第32頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三作圖舉例用Cu-Kα照射多晶Al合金（fcc），a=4.09埃，若｛111｝、｛220｝產(chǎn)生反射，作圖表示反射圖象，θ111、θ220=？（λ=1.54埃）單晶立方晶體，a=3.6埃，λ=1.94埃，入射，（、）上倒易陣點能否反射？若要使（220）能產(chǎn)生反射，怎么辦？①改變波長，②轉(zhuǎn)動晶體，使220落在反射球上。第33頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三

勞埃方程組

由衍射矢量方程：先后分別以、、乘①式，得：

勞埃方程組矢量形式(H、K、L為干涉指數(shù))第34頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三總結(jié)：1.討論了晶體結(jié)構(gòu)與衍射方向的關系（即d或與θ關系），此關系用4種形式表達。①2dsinθ=λ（或2dsinθ=nλ）——布拉格方程標量式，是精確的數(shù)學計算式。②衍射矢量方程：——矢量式，是厄瓦爾德作圖的基礎③厄瓦爾德作圖：是衍射幾何的圖解形式，在衍射幾何分析、解釋各類成像原理時是關鍵工具。方便、直觀。④勞埃方程組：給出了衍射的實質(zhì)，是衍射學的基礎。2.這四種形式的作用等效，所反映的衍射規(guī)律是一致的，而且可由一種推導出另三種，可以互相衍變。3.四種形式只是說明在一定條件下，某一種平面反射的必