第四十四講空間幾何體的表面積與體積回歸課本1.柱體、錐體、臺體的側(cè)面積,就是各側(cè)面面積之和,表面積是各個面的面積之和,即側(cè)面積與底面積之和.2.把柱體、錐體、臺體的面展開成一個平面圖形,稱為它的展開圖,它的表面積就是展開圖的面積.3.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積及表面積S圓柱側(cè)=2πrl,S柱=2πr(r+l);S圓錐側(cè)=πrl,S錐=πr(r+l);S圓臺側(cè)=π(r′+r)l,S臺=π(r′2+r2+r′l+rl).4.柱、錐、臺體的體積V長方體=abc,V正方體=a3,V柱=Sh,V錐= ,V臺=

(S′+S+ )h.這是柱體?錐體?臺體統(tǒng)一計算公式,特別的圓柱?圓錐?圓臺還可以分別寫成:V圓柱=πr2h,V圓錐=πr2h,V圓臺=πh(r′2+r′r+r2).5.球的體積及球的表面積設球的半徑為R,V球=πR3,S球=4πR2.考點陪練答案:D2.圓臺上、下底面面積分別是π、4π,側(cè)面積是6π,這個圓臺的體積是()答案:D3.用與在球心秧距離影為1的平嫂面去霜截球,所得番的截黃面面珍積為π,則球男的體折積為(繡)答案:B4.宰(2相01豆0·廣州餃一模)如果嚴一個排幾何符體的罪三視哥圖如拌下圖坑所示(單位聰長度:售cm脂),則此澡幾何幕體的果表面?zhèn)鞣e是(撒)A.陣(8蓄0+加16純)餐cm2B.求96各c習m2C.亮(9產(chǎn)6+博16鏈)唇cm2D.滑11滋2藥cm2解析:將幾暈何體橡還原,如圖:該幾棗何體確是由笑邊長崗為4的正哭方體零和一舅個底啟面邊組長為4高為2的正傲四棱劉錐構(gòu)苦成的,在正賓四棱地錐中,可得四棱吳錐的謀表面廉積為S1=4擁×跳×垂4×正方弱體除歲去一郵個面石的表涂面積杏為S2=5雹×42=8反0,所以住此幾自何體捕的表足面積答案:A5.輝(2有01嗚0·山東醬臨沂衫二模)有一漁個正嘴三棱限柱,其三嚇視圖訪如圖,則其夸體積默等于(瘡)解析:由圖幟知該羅幾何厚體為鑄底面禮為正溪三角俊形的堂三棱稈柱,底面衣三角狐形高摟為2,三棱倦柱的滾高為秘故體烤積為答案:D類型什一鏟棱柱?棱錐?棱臺譯的表染面積?體積解題存準備:求解云有關客多面跳體表糞面積禁問題瘋的關見鍵是能利用追幾何針圖形拆的性后質(zhì)找御到其補特征痰幾何傳圖形,從而灶體現(xiàn)嗓出高唇、斜間高、泡邊長境等幾截何元挺素間撒的關割系,如棱很柱的荷矩形技、棱畜錐中殘的直辮角三具角形邁、棱袋臺中諒的直冊角梯墊形等.1.柱體希、錐膀體、壟臺體歸的體找積公房誠式之菊間的候關系,可表浩示為2.解決歐不規(guī)牙則幾賽何體起的問恰題應離注意浴應用徐以下毯方法:(1禿)幾何門體的“分割”依據(jù)工已知全幾何態(tài)體的片特征,將其刺分割制成若乓干個法易于蛇求體喜積的飄幾何膽體,進而桐求解.(2惡)幾何莫體的“補形”有時刃為了雹計算布方便,可將卡幾何欺體補李成易朋求體高積的恭幾何足體,如長村方體斑、正醉方體蹲等.【典例1】如圖,三棱君柱AB撞C—A1B1C1中,若E?練F分別蘭為AB渠?A兵C的中雜點,平面EB1C1將三決棱柱茂分成毫體積竭為V1?V2的兩僵部分,那么V1：V2=__叮__嚼__肌__.[解析]設三搖棱柱接的高社為h,上下字底的悅面積嬌為S,體積仍為V,則V=劫V1+V2=S顏h.∵E?F分別推為AB?AC的中助點,[答案]峰7：5.類型島二喜圓柱企、圓糧錐、協(xié)圓臺伯的表斃面積產(chǎn)、體載積解題億準備:1范.圓柱陜、圓儲錐、早圓臺烤的側(cè)他面積垮分別和是它卻們側(cè)聚面展哭開圖唇的面歷積,因此外弄清吼側(cè)面適展開肝圖的圓形狀菠及側(cè)編面展椅開圖烤中各沉線段被與原敞幾何度體的已關系過是掌誤握它脊們的意面積份公式豬及解確決相銹關問塵題的珠關鍵.2.計算箭柱體顛、錐莊體、溪臺體浮的體際積關搖鍵是室根據(jù)霜條件愉找出慚相應涂的底媽面面聽積和域高,要充迎分利傘用多辨面體薦的截鳴面及刪旋轉(zhuǎn)宮體的擠軸截鎮(zhèn)面,將空退間問間題轉(zhuǎn)內(nèi)化為犯平面賄問題.【典例2】已知突底面阻半徑倡為,母線塊長為汁的衫圓柱,挖去嚇一個但以圓察柱上仇底面名圓心驕為頂妥點,下底卸面為臂底面開的圓晚錐,求所非得幾連何體喊的表芹面積滴和體仁積.[解]如圖,圓柱晶一個昏底面船的面汁積為S底=π雁r2=π?(棕)2=3喇π(米cm3).圓柱筍側(cè)面臥面積抵為:S柱側(cè)=2村π×金π尸(c腔m2).所挖驗圓錐塑的母諸線長賣為=3戴(c男m)志.類型扣三況球的搏表面曾積、堅體積解題雞準備:球的均表面鴉積與煉體積熊都只翻與半術(shù)徑R有關,是以R為自夏變量驅(qū)的函殺數(shù),一個甜球的本半徑顯給定,它的腿表面寶積、狡體積縱隨之椒確定,反過蘭來,給定恐一個槐球的蘭表面當積或賄體積,這個號球的錄半徑粉也就災確定納了.【典例3】如圖,正三砍棱錐拐的高德為1,底面貢邊長摸為錄內(nèi)鏡有一川個球窮與它幅的四絹個面氧都相虜切.求:(銷1)棱錐蔥的全吐面積;(瘦2)內(nèi)切程球的怎表面緩積與棄體積.(2貨)設正艦三棱蔥錐P—AB防C的內(nèi)懲切球懇球心梢為O,連接OP宅?O評A?工OB趴?O斥C,而O點到許三棱感錐的武四個戰(zhàn)面的懼距離扒都為告球的淹半徑r.∴VP—AB票C=VO—PA卻B+VO—PB書C+VO—PA奏C+VO—AB沉C類型晝四母由愧幾何食體的課三視榜圖求番幾何撲體的聲表面暢積與像體積解題集準備:已知肝空間刻幾何斑體的僅三視兔圖求車表面筒積?體積暗是高竄考考兔查的烤熱點,對三圖視圖卻的應輩用是侍解題何的關亞鍵.主要抵體現(xiàn)勤在以杏下兩定個方搭面的匯應用:一是津數(shù)據(jù)膠的給株出,通過呼三視渣圖的愧長?寬?高對田應出宮空間糾幾何早體的凳相關躬長?寬?高,從而是求表蓮面積盛和體顯積,但是夕要注闊意三獵視圖載中的賭數(shù)據(jù)放與原告幾何恭體中只的數(shù)泡據(jù)不般一定敘一一攔對應,識圖秋時注滔意甄握別.二是鐵揭示罰空間村幾何橫體的閱結(jié)構(gòu)上特征.包括鄙幾何皂體的翅形狀,平行街垂直鉤等結(jié)檢構(gòu)特嚇征,這些造正是糊數(shù)據(jù)帖運算爐的依滴據(jù).【典例4】一幾脅何體出按比倍例繪旁制的貫三視淋圖如框圖所匹示(單位:m莫):(1只)試畫涉出它滴的直旬觀圖;(2譽)求它伶的表村面積根和體榜積.[分析]由三占視圖,正確糟的畫賴出幾歲何體仿的直扔觀圖,確定確幾何會體中箱線段倚的位況置關搏系及清數(shù)量煎關系.[解]喇(糟1)直觀犬圖如絹圖所仰示.(2鎮(zhèn))解法癢一:由三伐視圖距可知絹該幾這何體侍是長啄方體坊被截離去一盟個角,且該刺幾何峽體的獸體積懲是以A1A,哭A1D1,A1B1為棱洲的長念方體節(jié)的體栽積的在直恒角梯鄙形AA1B1B中,作BE杠⊥A1B1,則AA1EB是正辭方形,∴A互A1=B歡E=呈1在Rt負△B么EB1中,B講E=喂1,披EB1=1∴B怒B1=∴幾何轟體的恩表面練積S=相S正方霉形AA激1D懼1D+2匠S梯形AA禮1B格1B+S矩形BB膽1C逮1C+S正方養(yǎng)形AB納CD+S矩形A1暫B1罷C1只D1=1竊+2民×卡×(謎1+續(xù)2)測×1如+1囑×味+1伏+1賀×2錢=7輝+(m2).∴幾何適體的株體積V=禿×匹1×物2×倦1=(m3),∴該幾姜何體庭的表柱面積藍為(7浸+渾)m2,體積污為m3.解法豬二:幾何環(huán)體也米可以毛看作柜是以AA1B1B為底得面的要直四裹棱柱,其表凱面積圈求法驚同解吊法一,V直四團棱柱D1忽C1予CD—A1膚B1需BA=Sh=顛×(形1+碧2)稀×1客×1=(m2).∴幾何滴體的雁表面肉積為(7拆+枝)m2,體積饞為m3.[反思燦感悟]幣(銀1)由三牙視圖骨畫幾娃何體雜的直購觀圖,掌握芝“長稍對正薪、寬窄相等,高平餐齊”特的規(guī)中則,是確匹定幾投何體餅特征遙的關猶鍵.(2澡)把不自規(guī)則睡幾何韻體分執(zhí)割成斯幾個泰規(guī)則云幾何僻體或添者是塞補上敘一部簡分使魂之成朱為規(guī)旁則幾尋何體,是求宮不規(guī)誼則幾喉何體裹常用甘方法.錯源很一蘇問題場考慮雖不全【典例1】是否傍存在住這樣參的球,在該呀球內(nèi)角有距語離為3的兩旬個平部行截迫面且慨截面隙的面京積分計別為5π和8π瞎?若存幫在,求出勝球面默的表適面積;若不壺存在,請說述明理殊由.[錯解]假設發(fā)存在失滿足活題意葉的球,過圓柔心與歷截面覺的圓韻心作蟻球的僚軸截扒面,如圖.圓O是球積的大峽圓,A1B1,A2B2分別部是兩反個平座行截召面圓緊的直掉徑,C1,C2分別然是兩賓個截羊面圓含的圓呼心,設兩庭截面膊圓的肉半徑斥分別辟為r1,r2,(意r1>r2),由題敵意可喊得第又此方聾程無瞞解,所以園滿足朗題意紐奉的球妨不存虜在.[剖析]錯解氧只考雀慮了椒兩個碌平行診截面諒都在全球心韻同一鮮側(cè)的梯情形,事實偉上兩修個平雹行截如面不慘一定俯都在走球心益的同采一側(cè).[正解]假設阻存在管滿足淹題意訊的球.(1總)如果慌兩個趴平行賢截面溉都在懷球心緊的同哪一側(cè),則解活法同衡錯解.(榮2)如果禽兩個匙平行燙截面零在球豪心兩完側(cè),過圓技心與凱截面色的圓魚心作卡球的幕軸截毫面,如圖.圓O是球塔的大裁圓,A1B1,A2B2分別吵是兩思個平舒行截染面圓柿的直詠徑,C1,C2分別援是兩腐個截央面圓巨的圓嫩心,設兩樂截面萄圓的疼半徑敲分別絹為r1,r2(r1<r2).由題框意可艇得哪又解得R2=9鼻,所以音球的忙表面材積S=餓4π置R2=3落6π偉.綜上廉可得,存在鳳滿足嶼題意鏈的球,該球提的表鴨面積悶為36覺π.錯源萌二彈對三御視圖梁的形概成認業(yè)識不鄙清【典例2】設某錯幾何船體的載三視還圖如揀圖(尺寸頑的長酷度單完位為m)架.則該肝幾何臭體的恥體積籍為__賭__照__誰__m3.[錯解]該幾德何體運為三齒棱錐,底面案為腰殺為4,底為3的等輕腰三羨角形,高為2.∴[剖析]把正柱視圖腸看成根三棱裁錐的組一個鋸面造喬成誤貍解.三視霜圖中市的每莖一個艇視圖闊都是承整個茄幾何奮體在如某一弱屏幕孩上的醒投影,不一塑定是憶某個尿面留沸下的渾投影.這類與問題淘不能繞孤立優(yōu)的分匹析某瓦一視吊圖.[正解]由三扔視圖雷可知礙原幾殺何體單是一金個三狼棱錐,由“長對槍正,寬相舒等,高平問齊”的原埋則可輕知三笨棱錐扛的高扔為2,底面疫三角恨形的捕底邊躁長為4,高為3,則所租求棱塌錐的欠體積鳴為V=纖×叼3×也4×嚴2=蜜4.[答案]行4技法沉一鞏等積刮轉(zhuǎn)化咬思想醉方法【典例1】如圖,一個腦三棱陣柱容籌器中損盛有冰水,且側(cè)離棱AA1=8門,若AA1B1B水平呢放置籃時,液面洽恰好帽過AC坐,B窯C,蜘A1C1,B1C1的中辯點,則當快底面AB理C水平山放置亂時,液面劑的高亂為多患少?[解]當AA1B1B水平搞放置梨時,縱截決面中毀水的傻面積泥占1-所以半水的讀體積流與三連棱柱訂體積范比為逼當瞎底面AB嶄C水平墻放置由時,液面面高度欄為8×連=6暫.[方法滿與技齡巧]容器臨中水師的體還積不運會減樹少,運用滔等積捎思想頭可不序用計羞算體扯積,而通吳過體愁積比悶進而盒化為業(yè)高度詞比.技法中二納巧解威三棱洞錐的值體積【典例2】已知皂正三地棱錐P—AB舟C的三柄條側(cè)溜棱兩床兩垂球直,側(cè)棱厘長都醫(yī)等于a,如圖1,求此銜三棱掏錐的誕體積.[解]解法純一:設頂桑點P在底井面AB租C上的運射影甲為O,則O為△AB以C的中歸心,連接CO延長副交AB于M,連接PM蹈,則C