專題13圓錐曲線壓軸解答題?？继茁窔w類

【命題規(guī)律】

解析幾何是高考數(shù)學(xué)的重要考查內(nèi)容，常作為試卷的拔高與區(qū)分度大的試題，其思維要求高，計(jì)算量

大.令同學(xué)們畏懼.通過對(duì)近幾年高考試題與模擬試題的研究，分析歸納出以下考點(diǎn)：

（1）解析幾何通性通法研究；

（2）圓錐曲線中最值、定點(diǎn)、定值問題；

（3）解析幾何中的常見模型；

解析幾何的核心內(nèi)容概括為八個(gè)字，就是“定義、方程、位置關(guān)系所有的解析幾何試題都是圍繞這八

個(gè)字的內(nèi)容與三大核心考點(diǎn)展開.

【核心考點(diǎn)目錄】

核心考點(diǎn)一：軌跡方程

核心考點(diǎn)二：向量搭橋進(jìn)行翻譯

核心考點(diǎn)三：弦長(zhǎng)、面積背景的條件翻譯

核心考點(diǎn)四：斜率之和差商積問題

核心考點(diǎn)五：弦長(zhǎng)、面積范圍與最值問題

核心考點(diǎn)六：定值問題

核心考點(diǎn)七：定點(diǎn)問題

核心考點(diǎn)八：三點(diǎn)共線問題

核心考點(diǎn)九：中點(diǎn)弦與對(duì)稱問題

核心考點(diǎn)十：四點(diǎn)共圓問題

核心考點(diǎn)十一：切線問題

核心考點(diǎn)十二：定比點(diǎn)差法

核心考點(diǎn)十三：齊次化

核心考點(diǎn)十四：極點(diǎn)極線問題

【真題回歸】

1.（2022?浙江?統(tǒng)考高考真題）如圖，已知橢圓《+V=1.設(shè)A,B是橢圓上異于P（0,l）的兩點(diǎn)，且點(diǎn)

在線段AB上，直線PAM分別交直線y=-gx+3于C,。兩點(diǎn).

⑵求181的最小值.

【解析】⑴設(shè)“（2指cos。,sin。）是橢圓上任意一點(diǎn),P設(shè)1）,

|PH|2=12cos2+(1-sin0)2=13-1Isin，0-2sin0=-ll|sinO+三i喈理，當(dāng)且僅當(dāng)血。T時(shí)取

等號(hào)，故|叨|的最大值是u相

（2）設(shè)直線46:y=而+，直線AB方程與橢圓目+丁=1聯(lián)立，可得f+心;一；=0,設(shè)

+

212\H

Xl+X2=----------f

k2+-

12

4（大,y）,8（孫力），所以，

3

xz二--7-------r

4*2+-

l12

因?yàn)橹本€尸A：y=X二L+1與直線y=-：x+3交于C.

為2

4X2

則xc=，同理可得,々,=則

X+2y—2(2攵+1)*—1X-)+2y2—2(2%+1)^2—1

\CD\=~XD\=

2(J2k+l)Xj—1(2,k+l)x2-1

--------:--=-------=ZvJ----------:--=---------

[(2A+1)工]—1][(2Z+l)x2—1](2k+1)~X[X>—Qk+1)(3+x,)+1

3石Jl6k2+T6石^16/：+1V16+1^6>/5^4A><4+1><J6非,

2|3女+1|5伙+1|-5|3%+1|5

當(dāng)且僅當(dāng)％=得時(shí)取等號(hào)，故|cq的最小值為竽.

2.(2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)已知雙曲線。:，-，=13>0/>0)的右焦點(diǎn)為尸(2,0),漸近線方程為>；=±7^.

(1)求C的方程；

⑵過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)尸(芭/),。(々,火)在C上，且為>七>0,必>0.過

產(chǎn)且斜率為-6的直線與過。且斜率為白的直線交于點(diǎn)M.從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一

個(gè)成立：

①加在A8上；@PQ//AB.?\MA\=\MB\.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

【解析】(D右焦點(diǎn)為F(2,0),.?.c=2,；漸近線方程為y=士石x,=#，.?"=島，

a

c2=。2+人2=4。2=4，/.?=1,:?b=G.

.?.C的方程為：/-￡=1；

3

(2)由已知得宜線產(chǎn)。的斜率存在且不為零，直線A8的斜率不為零，

若選由①②推③或選由②③推①：由②成立可知直線AB的斜率存在且不為零；

若選①③推②,則M為線段AB的中點(diǎn),假若直線AB的斜率不存在,則由雙曲線的對(duì)稱性可知M在x軸上，

即為焦點(diǎn)尸，此時(shí)由對(duì)稱性可知P、。關(guān)于x軸對(duì)稱，與從而玉=工2，已知不符：

總之，直線AB的斜率存在且不為零.

設(shè)直線A8的斜率為h直線A8方程為y=&(x-2),

則條件①以在A8上，等價(jià)于%=刈/-2)=伙=42伉一2)；

兩漸近線的方程合并為3/-丫？=0,

聯(lián)立消去y并化簡(jiǎn)整理得：(二-3卜2-4&28+4二=0

設(shè)A?,線段中點(diǎn)為則/=審=番,如“(赤-2)=3，

2k,—Jk—J

設(shè)

則條件③|AM|=|3M|等價(jià)于伍一天)2+(%-%)2=(七-七『+(%-”)2，

移項(xiàng)并利用平方差公式整理得：

(%,一七)[2%一優(yōu)+匕)]+(%一%)[2%—(%+1)]=0,

[2X0-(X3+X4)]+?_[2%一(力+乂)]=0,即毛-A+&(%-%)=0.

X3X4

8*2

即吃+60=萬二；

K.J

由題意知直線PM的斜率為-石，直線QM的斜率為6,

?,?由%一%=6（々一%），

+X-

**'y一32=_6（%22X0）,

所以直線PQ的斜率加='二%=_&-%）,

xl-x2x{-x2

直線PM:y=-V3（x-x0）+y0,BP丫=%+&/-石x,

代入雙曲線的方程3/-V7=0，即（&+川底；-），）=3中,

得：（%+任（＞）［2屬-（%+6%）］=3,

%

.?.條件②PQ//AB等價(jià)于m=&o僅=3%,

綜上所述：

條件①M(fèi)在AB上，等價(jià)于機(jī)=%2(x0-2)；

條件②尸?！ˋB等價(jià)于6。=3與；

條件③=忸徵等價(jià)于天+后。=黑：

k—3

選①②推③：

Dk?區(qū)”2

由①②解得：=-,x+ky=4x0=-p，，③成立;

K,D(}()K~~J

選①③推②：

2k26k2

由①③解得：Xo=-r—,

k-3K-3

.?.僅)=3/，.?.②成立；

選②③推①：

由②③解得：/=分2k2，如,=6/k—2，???七一2=一6，

K-JK—3K—3

.=公(為一2)，...①成立.

3.(2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)。(p,0),過廣的直線交C于M,

N兩點(diǎn).當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)，|Mr|=3.

(1)求C的方程；

(2)設(shè)直線M2MD與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A,B,記直線MN,AB的傾斜角分別為a1.當(dāng)a-尸取得最大

值時(shí)，求直線AB的方程.

【解析】(1)拋物線的準(zhǔn)線為x=-^，當(dāng)MD與x軸垂直時(shí)，點(diǎn)”的橫坐標(biāo)為p.

此時(shí)尸|=p+5=3,所以p=2,

所以拋物線C的方程為V=4x；

(2)［方法一］:【最優(yōu)解】直線方程橫截式

設(shè)《卷,yj，直線"N:x=my+1,

\x=my+\.

由〈2，可得y--4股一4=°，A>0,yty2=-4,

［y=4x

k-Xf_4-_4

由斜率公式可得.一至三一不五，人"一支寶一五五，

4444

直線MD:x=±二-y+2,代入拋物線方程可得尸-也二義.丫-8=0,

A>O,y,y3=-8,所以％=2必，同理可得”=2乂，

44k,MN

所以%AB

%+為2(%+%)~2

又因?yàn)橹本€MN、AB的傾斜角分別為a,￡,所以^=tan/?=^=詈,

若要使a-4最大，則夕e(0，^

，設(shè)我,"N=2kAB=2k>0,則

tan(f)Jana-tan.k]_V2

1+tanatanp1+2公1+2k一4,

k

當(dāng)且僅當(dāng);=2/即氏=立時(shí)，等號(hào)成立,

k2

所以當(dāng)a一夕最大時(shí)，1^=與,設(shè)直線AB:x=&y+",

代入拋物線方程可得y2-4^2y-4n=0,

△>0,%>4=_4〃=4%必=-16,所以〃=4,

所以直線AB:x=>/2y+4.

［方法二］:直線方程點(diǎn)斜式

由題可知，直線MN的斜率存在.

設(shè)”（5,*）,'（々,％）4（電,為）8（%，％）直線的：丁=&（刀一1）

由］二￡一。得：&2-0二+4卜+女2=0，占々=1,同理，>通=-<

直線加。:），=二4（》-2）,代入拋物線方程可得：x聲=4,同理，X2X4=4.

代入拋物線方程可得:%為=-8,所以為=2%，同理可得％=2y,

k_2（--。）_必-MJ卜

ABMN

由斜率公式可得：x4-x3（11］2（X2-X,）2,

Ex\）

（下同方法一）若要使夕最大，則夕

/tana-tan/?_k_11_應(yīng)

a2

設(shè)=2&,m=2%>0,則a1+tan?tanp\+2kL+2k21^2/c4'

當(dāng)且僅當(dāng)!=2%即％=正時(shí)，等號(hào)成立，

k2

所以當(dāng)a-4最大時(shí)，*當(dāng),設(shè)直線AB:x=J^y+w,

代入拋物線方程可得丁-4應(yīng)y-4〃=0,△>（）,乃以=-4〃=4），通=一16,所以〃=4,所以直線

A8:x=0y+4.

［方法三］:三點(diǎn)共線

設(shè)M仔,yj,喈,%L，%）喈,%），

設(shè)P（r,O）,若P、仞、N?:點(diǎn)共線，由PM=13T,yJ,

/2\/2\

所以3T%=乂，化簡(jiǎn)得乂必=-期，

I4/I47

反之，若X%=-十,可得MN過定點(diǎn)。,0）

因此，由M、N、尸三點(diǎn)共線，得丫跖=-4,

由M、D、4三點(diǎn)共線，得乂為=-8,

由N、。、B三點(diǎn)共線，得%以=-8,

則為北=4yly2=T6,A8過定點(diǎn)(4,0)

(下同方法一)若要使a-4最大，則力e(0，U，

,x_tana-tan/?_k_11_^2

設(shè)G=2L=2%>0,則t叫"〃尸1+tanatan尸=一?0』=才，

k2\k'2

當(dāng)且僅當(dāng)g=24即氏=立時(shí)、等號(hào)成立，

k2

所以當(dāng)a-夕最大時(shí)，心“=1，所以直線AB:x=J^)，+4.

【整體點(diǎn)評(píng)】(2)法?：利用直線方程橫截式，簡(jiǎn)化了聯(lián)立方程的運(yùn)算，通過尋找直線48的斜率關(guān)系，

由基本不等式即可求出直線A3的斜率，再根據(jù)韋達(dá)定理求出直線方程，是該題的最優(yōu)解，也是通性通法;

法二：常規(guī)設(shè)直線方程點(diǎn)斜式，解題過程同解法一；

法三：通過設(shè)點(diǎn)由三點(diǎn)共線尋找縱坐標(biāo)關(guān)系，快速找到直線AB過定點(diǎn)，省去聯(lián)立過程，也不失為一種簡(jiǎn)化

運(yùn)算的好方法.

4.(2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、y軸，且過

兩點(diǎn).

(1)求E的方程：

(2)設(shè)過點(diǎn)P(b2)的直線交E于M,N兩點(diǎn)，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T,點(diǎn)H滿足

MT=TH,證明：直線HN過定點(diǎn).

【解析】⑴設(shè)橢圓E的方程為叩?+心1,過A(0,-2),唱,-1),

4〃=1

則<91,解得帆=!，〃，

—m+n=134

14

所以橢圓E的方程為：^+―=1.

43

3一2

(2)A(0,—2),B(—1),所以43:丁+2=3工，

①若過點(diǎn)尸(1，-2)的宜線斜率不存在，直線x=l.代入工+2=1,

34

可得半)，N(1,平)，代入4B方程y=|x-2,可得

T(-&+3,-半)，^MT=TH得至I」”(-2#+5,-孚).求得HN方程:

丫=(2+半》一2,過點(diǎn)(0,-2).

②若過點(diǎn)尸(1，-2)的直線斜率存在，設(shè)區(qū)-y-(%+2)=0,V⑻,y),N(%,y?).

kx-y-（k+2）=0

聯(lián)立，x2y2，得（3公+4）f-6攵（2+Z）x+3Z（攵+4）=0,

—+—=1

34

62（2+A）-8（2+&）

…=而’

可得

3%（4+k）4（4+4"2公），

"2=3&2+4

一2妹小

且石必+々,=正百(*)

y=yx

2可得T（孕+3，X）,H（3X+6-N，X）.

聯(lián)立

y=尸-22

可求得此時(shí)創(chuàng):廣當(dāng)=3y二曷-

將（0,-2）,代入整理得2（%+々）-6（y+%）+%%+當(dāng)乂-3yly2T2=0,

將（*）代入，得24k+12/+96+48%-24k-48-48%+24公-36公_48=0,

顯然成立,

綜上，可得直線，N過定點(diǎn)(0,-2).

22

5.(2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)已知點(diǎn)42,1)在雙曲線=l(a＞l)上，直線/交C于尸，Q兩點(diǎn),

a~a-

直線AP,4。的斜率之和為0.

⑴求/的斜率；

⑵若tan/PAQ=20,求△PAQ的面積.

V-4

【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)A(2,l)在雙曲線C：=-Y—=1(。＞1)匕所以r-=1,解得〃=2,即雙曲線

a-a^-1a

C：ji.

易知直線/的斜率存在，設(shè)/：丫="+機(jī)，尸(士,兇),。(々,％),

y=kx+m

聯(lián)立1爐可得，（1一2公）12-4疝決一2加一2=0,

----y2=117

12-

4mk2m2+2,△=16機(jī)％2—4（2/+2）（2公一1）＞0=＞m2-1+2公＞（）且狂土日

所以，%+%=-

2&-2公-1

所以由心,，+分。=0可得，&4+上二1=°,

x2-2%1-2

即（3-2）（乜+zn—1）+（七-2）（腦+/7?-1）=0,

即2g9+（小一1一2Z）（x,+^）-4（m-l）=0,

”2m2+2/<…\（4mk、，/八八

所以2人定一^+（巾-1-2&）-赤：-4（機(jī)-1）=0,

化簡(jiǎn)得，8公+4左一4+4〃?（％+1）=0,即（Z+l）（2k-l+m）=0,

所以左=—1或m=1-2Z,

當(dāng)機(jī)=1一2々時(shí)，直線/:y=h+m=A：(x-2)+l過點(diǎn)4(2,1),與題意不符，舍去,

故％=-1.

(2)［方法一］:【最優(yōu)解】常規(guī)轉(zhuǎn)化

不妨設(shè)直線PAAQ的傾斜角為。，夕因?yàn)樵瓚?七2=。，所以a+￡=兀，由（1）知,

2

xtx2=2m+2>0,

當(dāng)AB均在雙曲線左支時(shí)，ZPAQ=2a,所以tan2a=2后,

艮Sa/a+tana-夜=。，解得tana當(dāng)(負(fù)值舍去)

此時(shí)必與雙曲線的漸近線平行，與雙曲線左支無交點(diǎn)，舍去；

當(dāng)A8均在雙曲線右支時(shí)，

因?yàn)閠anN尸40=2近，所以tan(力-a)=20,即tan2c=-2&,

Bl-I-Jltan2a-tana-V2=0,解得tana=5/^(負(fù)值舍去)，

于是，直線PA:y=0(x—2)+1,直線QA:y=-0(x-2)+l,

y=&(x-2)+l

（&-4）x+lO_40=O,

聯(lián)立，j可得,lx》

因?yàn)榉匠逃幸粋€(gè)根為2,所以呼=吐逑，y±/2-5；

33

同理可得，&=膽逆，%=如上.

°33

51A2+1--r-

所以PQ:x+y—7=0,|PQ|==，點(diǎn)A到直線尸。的距離3_2V2,

33"=飛-=亍

故△FAQ的面積為_lx更x述=史亞.

2339

[方法二1:

設(shè)直線A尸的傾斜角為a,由tanNPA。=2后，得tan筲義=*，

Hl2a+Z.P.AQ—7i,得kAP=tana=y[2,即~~~=及,

聯(lián)立河=及,及4"1a=印，內(nèi)車，

X（-2233

e工田10+4應(yīng)-4>/2-5卅工2068

同理，x,=------,>*=-------，JxXj+x=—,=—-

323239

而|”|=歷…I,\AQ\=y/3\x2-2\,

由tanNPAQ=2拒，得sinNPAQ=半，

&I.SPAQ=^\AP\\AQ\sm^PAQ=y/2\xlx2-2（xA+x2）+4\=^^.

【整體點(diǎn)評(píng)】（2）法一：由第一問結(jié)論利用傾斜角的關(guān)系可求出直線抬,依的斜率，從而聯(lián)立求出點(diǎn)尸，。坐

標(biāo)，進(jìn)而求出三角形面積，思路清晰直接，是該題的通性通法，也是最優(yōu)解；

法二：前面解答與法一求解點(diǎn)P,。坐標(biāo)過程形式有所區(qū)別，最終目的一樣，主要區(qū)別在于三角形面積公式

的選擇不一樣.

【方法技巧與總結(jié)】

1、直接推理計(jì)算，定值問題一般是先引入?yún)?shù)，最后通過計(jì)算消去參數(shù)，從而得到定值.

2、先猜后證，從特殊入手，求出定點(diǎn)或定值，再證明定點(diǎn)或定值與參數(shù)無關(guān).

3、建立目標(biāo)函數(shù)，使用函數(shù)的最值或取值范圍求參數(shù)范圍.

4、建立目標(biāo)函數(shù)，使用基本不等式求最值.

5、根據(jù)題設(shè)不等關(guān)系構(gòu)建不等式求參數(shù)取值范圍.

【核心考點(diǎn)】

核心考點(diǎn)一：軌跡方程

【規(guī)律方法】

求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程有如下幾種方法：

（1）直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡(jiǎn)后即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；

（2）定義法：如果能確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程；

（3）相關(guān)點(diǎn)法：用動(dòng)點(diǎn)。的坐標(biāo)X、y表示相關(guān)點(diǎn)尸的坐標(biāo)與、%,然后代入點(diǎn)戶的坐標(biāo)（七,％）所滿

足的曲線方程，整理化簡(jiǎn)可得出動(dòng)點(diǎn)。的軌跡方程；

（4）參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x、y之間的直接關(guān)系難以找到時(shí)，往往先尋找x、）'與某一參數(shù)，得到方程，

即為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程;

（5）交軌法：將兩動(dòng)曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡方程.

【典型例題】

例1.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）雙曲線C:，-，=l（a>0乃>0）的一條漸近線為廣行工，且一個(gè)焦點(diǎn)到漸

近線的距離為G.

（1）求雙曲線方程；

（2）過點(diǎn)（0,1）的直線/與雙曲線交于異支兩點(diǎn)P,Q,OM=OP+OQ,求點(diǎn)M的軌跡方程.

【解析】（1）由漸近線為y=J5x知，2=百①，又焦點(diǎn)到漸近線的距離為6,即（。,0）到直線y=Gx的距

a

離^^=匝=石，所以c=2,/+/=4②，聯(lián)立①②，解得/=i,從=3,則雙曲線方程為*2-片=1.

V3+123

（2）因?yàn)橹本€/與雙曲線交于異支兩點(diǎn)RQ,所以直線I的斜率必存在,且經(jīng)過（0,1）點(diǎn)，可設(shè)直線l-.y=kx+\,

與雙曲線聯(lián)立得：（3-公）/-2"-4=0,

A>0

2k

設(shè)A/（x,y）,P（辦,％）,Q（x?，%），則有，Xj+x2=——解得—<k<，

-4

X.-=------7<0

1-3-k?

2k

X=X1,+X2.=----------27

UUUUUL1UUII3-k

由OM=OP+OQ知，'

y=y+%=%(*+%)+2=獲正

xk346

兩式相除得一=￡,即改=女代入y得/-2丫-3/=0,

yJy5-k,

又-如<k<￡,所以）"2,

所以點(diǎn)M的軌跡方程為2y-3x2=0（y..2）.

2

例2.（2022春?吉林遼源?高三遼源市第五中學(xué)校?？计谥校┮阎^定點(diǎn)P（0,l）的直線/交曲線f一5=1于A,

B兩點(diǎn).

⑴若直線/的傾斜角為45。，求|相|；

（2）若線段A8的中點(diǎn)為〃，求點(diǎn)M的軌跡方程.

【解析】⑴由題得/方程為：尸川’將其與聯(lián)立有

y=x+1

,y2,消去y得：3X2-2X-5=0,解得4-1或%="

x---=l3

4

8啦

亍

（2）山題，直線/存在，故設(shè)/方程為：y=kx+l.

y=kx+\

將其與=1聯(lián)立有：’2丁,消去y得：（4-k2）x2-2kx-5=0

X---=1

4

4-公工0

因/與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn),則

△=80-16^2>0

2

得0<k<5且無2H4.設(shè)A（%，x）,B（x2,y2）.

又設(shè)M坐標(biāo)為（不，%）,則土？=%"21=%?

2

X1=1

44（%+^）X-%=4%_/：

因A,8在雙曲線上，則有，=

y+必玉一々%

r2%

又M,尸（04）在直線/上，則&=2二

x（）

%_口="22=0

吆丫、，一七人0幾于Jo0

玉）為

2k8

由韋達(dá)定理有，玉+%2=-,%+%

—一K4-k2

k

則M坐標(biāo)為

、4_A

4

又"=二不,°"<5且心4,則為21或%—

綜上點(diǎn)M的軌跡方程為：4x2-y2+y=0,其中yW（YO,-4）31,+8）.

例3.（2022.全國(guó)?高三專題練習(xí)）在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，我們通常運(yùn)用類比猜想的方法研究問題.

（1）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P為圓O：/+y2=/外一點(diǎn)，過尸引圓。的兩條切線B4、PB,A、8為切點(diǎn)，若2473=0,

求動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡方程；

（2）若動(dòng)點(diǎn)Q為橢圓M:4+[=l外一點(diǎn)，過。引橢圓M的兩條切線。C、Q。，C、。為切點(diǎn)，若QCQD=0,

94

求出動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程；

22

⑶在（2）問中若橢圓方程為■+4=1（。>6>0）,其余條件都不變，那么動(dòng)點(diǎn)。的軌跡方程是什么（直接

ab-

寫出答案即可，無需過程）.

【解析】（1）山切線的性質(zhì)及P4PB=0可知，四邊形加生為正方形，

所以點(diǎn)尸在以。為圓心，IOPI長(zhǎng)為半徑的圓上，且|OP|=&|OA|=&r,

進(jìn)而動(dòng)點(diǎn)p的軌跡方程為x2+r=2r

（2）設(shè)兩切線為4，4，

①當(dāng)人與x軸不垂直且不平行時(shí)，設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為。（與，%）則與工±3,

設(shè)4的斜率為左，則女二0，4的斜率為-J，

k

4的方程為y-%=z（x-A）,聯(lián)立工+t=1,

94

得（4+942）%2+184（%一線）％+9（%一處）產(chǎn)-36=0,

因?yàn)橹本€與橢圓相切，所以△=（）,得18*2（%-㈣）2-4（4+%2）.9[（%-5）2-4]=0,

化簡(jiǎn),9吐%-心）2_（4+9^）（%_什尸+（4+9公）4=0,

進(jìn)而（為-5）2-（4+9&2）=0,

2

所以（片-9U-2xoyok+$-4=0

所以火是方程（x；-9）二-+y：-4=0的一個(gè)根，

同理-；是方程（片-9正-2Xoyok+q-4=0的另一個(gè)根，

K

*-3，得呼+尤=13,其中々#±3,

②當(dāng)4與X軸垂直或平行時(shí)，4與X軸平行或垂直,

可知：P點(diǎn)坐標(biāo)為：（±3,±2）,

P點(diǎn)坐標(biāo)也滿足X；+7o=13,

綜上所述，點(diǎn)尸的軌跡方程為：x：+y；=13.

（3）動(dòng)點(diǎn)。的軌跡方程是石+￥=/+/

以卜是證明：

設(shè)兩切線為4，4,

①當(dāng)4與x軸不垂直且不平行時(shí)，設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為。（%，%）則/中士a,

心的斜率為左,則七。，，2的斜率為f

f丫2

4的方程為y-%=%（x-與）,聯(lián)立『,

22222222

得(從+ak)x+2ak(y0-kx?)x+a(y0-kx0)-ab=0,

因?yàn)橹本€與橢圓相切，所以△=（）,

得（2*”（券-5）2-4（6+儲(chǔ)&2）./[（為_此）2"]=0,

2222222122

化簡(jiǎn)，ak(y0-kxa)-(h+ak)(y0-AJ0)+(b+ak-)h=0,

進(jìn)而（%-此）2-（/+。%）=0，

所以（X；-*-24獷+$-/=（）

所以火是方程（片~a2）k2-2%），/+y：-從=0的一個(gè)根,

同理-1是方程（片-。2*-2與），/+y：-/=0的另一個(gè)根,

k

?.（-：）=；二：,得X+yinT+b。其中

②當(dāng)4與x軸垂直或平行時(shí)，。與x軸平行或垂直，

可知：尸點(diǎn)坐標(biāo)為：（土a±份，

P點(diǎn)坐標(biāo)也滿足片+y；=a2+lr,

綜上所述，點(diǎn)P的軌跡方程為：x-+yl=a2+b2.

核心考點(diǎn)二：向量搭橋進(jìn)行翻譯

【規(guī)律方法】

把幾何語言轉(zhuǎn)化翻譯為向量語言，然后用向量知識(shí)來解決.

【典型例題】

22

例4.（2023?廣西南寧?南寧二中?？家荒＃┮阎獧E圓C:§+與=1（。>6>0）,傾斜角為30。的直線過橢圓的

ab-

左焦點(diǎn)/和上頂點(diǎn)&且“「1+日（其中A為右頂點(diǎn)）.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若過點(diǎn)M（0,時(shí)的直線/與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)P,Q,且PM=2MQ,求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

b

1J3

【解析】（1）由題可知5（。+9=1+,

/=/+c2

a=2,

解得b=L

.c="

故橢圓的方程為t+y2=l.

4

（2）當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，設(shè)尸（0,1）,2（0,-1）,M（0,m）,

由PM=2MQ,（0,/n-l）=2（0,-l-w）,得加=-；,

同理，當(dāng)Q（O,1）.P（O,-1）時(shí)，得機(jī)=；，所以機(jī)=土;，

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，即mw士g時(shí)，

設(shè)直線PQ的方程為丫=履+，”，

聯(lián)立

[x+4y=4,

消去y得（1+4/）Y2+Skmx+4m2-4=0.

因?yàn)橹本€/與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)P、Q,

所以△=（8km）2-4（1+4Z:2）（4/M2-4）>0,

即4A:2-m2+l>0@.

設(shè)P（x，yJ，Q（孫％），

8km4/n2-4

貝!|+x,=-②,

1+4二1+4k2

則PM=(<-xl,m-yl),MQ-(x2,y2-m),

由PM=2M。，得一%=2々③,

(8攵加)2W-4

③代入②得一2'

(1+4公)2-1+4公

化簡(jiǎn)整理得A=④,

36加一

將④代入①得上s>療-1,

9m"-1

化簡(jiǎn)得[<病<1,

解得T<???<--sg-</n<1.

33

綜上，〃?的取值范圍為1-1,-gUg,l）.

例5.（2023.全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知橢圓C：/■+/=">b>0）的離心率e考，點(diǎn)A（a,0）、8（0力）

之間的距離為石.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若經(jīng)過點(diǎn)（0,正）且斜率為左的直線/與橢圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和。，則是否存在常數(shù)%,使得

OP+OQ與A8共線？如果存在，求女的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由.

【解析】（D因?yàn)辄c(diǎn)A（”,0）、8（0乃）之間的距離為

所以^/77p■=G，因?yàn)闄E圓的離心率e=9Z,所以有￡=也，而〃=巨+。2,

2a2

\/a2+b2—G

因此組成方程組為：\-=~n[(=：=E+y2=i；

a2[b2=I2

a2=h2+c2

(2)設(shè)/的方程為y=fcv+0,與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)聯(lián)立為:

《+2-1

■~2+'=(1+2/"+4限:+2=0,

y=kx+垃

T是有（40幻2-4（1+2/）.2>0=公>；,此時(shí)設(shè)P（%,%），Q（W，%），

-4垃k

于是有％+九2=

1+2公

假設(shè)存在常數(shù)M使得OP+OQ與A8共線，

因?yàn)镺P+OQ=（X+冗2,必+%），AB=（—a,b）=（->/2,1）,

所以后+%）=—（玉+x,）=>>/2（AX）+\/2+kx2+5/2）=—（X|+%），

=血&（玉+X）+4=-（X+￡）,因?yàn)?1+%=，

21J%,

所以近匕巴生+4=-土空nk=顯,不滿足&2>:，

因此不存在常數(shù)3使得OP+OQ與A8共線.

例6.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知雙曲線=1與圓「2：f+y2=4+/（6>0）交于點(diǎn)4（乙,%）（

4h~

第一象限），曲線「為口、「2上取滿足x>|xj的部分.

（1）若4=m，求b的值；

⑵當(dāng)b=非,「2與X軸交點(diǎn)記作點(diǎn)6、弓，尸是曲線r上一點(diǎn)，且在第一象限，且|「用=8,求/"6；

（h1\b

（3）過點(diǎn)。0,—+2斜率為-g的直線/與曲線「只有兩個(gè)交點(diǎn)，記為M、N,用。表示OM.ON,并求

OM-ON的取值范圍.

【解析】（1〉由七=卡，點(diǎn)A為曲線J與曲線后的交點(diǎn)，

（22

"_A_=1

聯(lián)立，4b2,解得〃=&,b=2；

.x；+y：=4+〃

（2）由題意可得耳，鳥為曲線口的兩個(gè)焦點(diǎn),

由雙曲線的定義可得|延卜|「局=2即

又|P耳|=8,2a=4,

所以|明=8-4=4,

因?yàn)椤?逐，則°="7?=3,

所以忸國(guó)=6,

在△居居中,由余弦定理可得

忖6F+歸工『一|片鳥『

COSZFPF=

}22儼6卜|尸耳

64+16-36J2

2x8x4-16

ill0</尸尸居<7i,可得/耳尸￡,=arccos—；

16

|4+￡|

（3）設(shè)直線/：y=-^x+絲1,可得原點(diǎn)。到直線/的距離d=L=^L="TF,

22樓

所以直線/是圓的切線，設(shè)切點(diǎn)為M,

所以勺”=7,并設(shè)。加：丫=工工與圓/+丁=4+〃聯(lián)立,

bb

可得x?+Q2=4+/，

可得x=b,y=2,即例僅,2）,

注意直線/與雙曲線的斜率為負(fù)的漸近線平行，

所以只有當(dāng)然>2時(shí)，直線/才能與曲線「有兩個(gè)交點(diǎn),

o2

工江=1A4

由{4b-可得）

_V+V=4+^

I4

所以有4V——r,解得/>2+2退或/<2-2右（舍去）,

4+b~

因?yàn)?例為ON在。M上的投影可得，OMON=4+b2>

所以O(shè)MON=4+〃>6+2若，

貝i]OM.ONe（6+26+8）.

22

例7.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知雙曲線C:二-與=l（a>0力>0）的左、右焦點(diǎn)分別為"，尸2,且

ab~

忻閭=8,P（4,6）是C上一點(diǎn).

（1）求C的方程；

⑵過點(diǎn)的直線與C交于兩點(diǎn)A,B,與直線/：y=3x-12交于點(diǎn)N.設(shè)W4=zlAA/,NB=pBM,求證:

2+〃為定值.

【解析】（D設(shè)C的焦距為2c,則忻閭=加=8,

即c=4,E（TO）,片（4,0）；

由雙曲線的定義，得雙=|P用-閘|=，（4+4了+62-J（4-4y+62=4,即a=2,

2*>

所以匕=>/?=7=Ji直4=2。故c的方程為:4=1.

⑵設(shè)A（x「yJ,8（孫必），N（m,〃），顯然直線AB的斜率存在，

可設(shè)直線AB的方程為y-1=-x-l）,代入3/-V=[2,

得（3-公卜2-2%（1-少+213-%2=0.

由過點(diǎn)的直線與C交于兩點(diǎn)A,B,得3-小w0,

由韋達(dá)定理，得%+工,=也;。，玷=21二13￡①

由N（〃7,〃）在直線/:y=3x-12上，得〃=3〃?一12,即12—3加+仕=0；②

由N（m,〃）在直線A8上，得〃-1=氏（加-1）.③

由NA=/IAM，得（%一，珥%-"）=幾（1一%,1->|）,

八/x>4x.-tn.,X.-tn

即X1_/〃=4(1_斗)解4得)=]—x.同理，由NB=〃B例>得〃=x

+x)-2xx-2m

結(jié)合①②③，得4+〃=-^—+7—2t2

1-X]l-Xj

2k(\-k]2k-U-k2.

(加+1>3〃-2x3r-2m2耳助[)6社+26

2(〃一1)-6m+262(〃-3〃z+12)

故義+〃是定值.

(1-%])(1-%2)(1-X1)(1-X2)

核心考點(diǎn)三：弦長(zhǎng)、面積背景的條件翻譯

【規(guī)律方法】

首先仍是將題目中的基本信息進(jìn)行代數(shù)化，坐標(biāo)化，遵循直線與圓錐曲線題目通解中的套路，即設(shè)點(diǎn)

設(shè)線、直由聯(lián)立、看判別式、韋達(dá)定理.

將有關(guān)弦長(zhǎng)、面積背景的問題進(jìn)行條件翻譯時(shí)，一般是應(yīng)用弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式及面積公

式（在圓中要用半徑、半弦、弦心距組成的直角三角形求弦長(zhǎng)）將有關(guān)弦長(zhǎng)、面積的條件翻譯為：（1）關(guān)

于某個(gè)參數(shù)的函數(shù)，根據(jù)要求求出最值；（2）關(guān)于某個(gè)參數(shù)的方程，根據(jù)要求得出參數(shù)的值或兩參數(shù)間的

關(guān)系.

【典型例題】

例8.（2022春?內(nèi)蒙古呼和浩特?高三呼市二中階段練習(xí)）已知橢圓C:二■+￡=1（。>0）的左、右焦點(diǎn)分別為

/8

K，工，P為C上一點(diǎn)，且當(dāng)軸時(shí)，|P^|=y,

（1）求C的方程；

（2）設(shè)C在點(diǎn)尸處的切線交x軸于點(diǎn)0,證明：|P耳卜|。閭=忸巴卜|。耳|.

【解析】（1）由題意知，/>8,得a>20，

當(dāng)PF}_Lx軸時(shí)，設(shè)P（-c,y0）（y0>0）,

代入橢圓方程，得超=1,解得%=白，即同|=￡

a8aa

由橢圓的定義知，|M|+|P周=2a,又|P周=],

Q1n

所以&+；=2。，由”>20,解得。=3,

a3

故橢圓C的方程為《+1=1；

9o

（2）當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，切線方程為x=±3,此時(shí)點(diǎn)尸與點(diǎn)。重合，等式成立;

當(dāng)切線斜率為0時(shí)，切線與x軸不相交，不符合題意；

當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)P（x。,%）,

則，，苦

由WI，2當(dāng)g

所以切線的斜率為k=-22x°,得切線方程為丫=-2產(chǎn)。/）