[課時(shí)跟蹤檢冽J]

[A級(jí)一一易錯(cuò)清零練]

1.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

C.24D.30

解析：選C由三視圖知，該幾何體是一個(gè)長(zhǎng)方體的一半再

截去一個(gè)三棱錐后得到的，如圖所示，該幾何體的體積V=^

X4X3X5-：X；X4X3X（5-2）=24,故選C.

2.某四面體的三視圖如圖所示（單位:cm）,則該四面體三個(gè)側(cè)面中的最大

面積是（）

的視圖

1

A-

2V23

C

.V2T

解析：選D根據(jù)三視圖可知該幾何體的直觀圖如圖所示

在三棱錐P-ABC中，△必C的面積為gx1X1,&ABP的面

8,

1

1

-1,APBC的面積為:X艱=,所以APBC的面積最大,

2

為可，故選D.

3.（2019.寧波模擬）如圖，正四面體ABC。的棱CO在平

面a內(nèi)，E為棱8C的中點(diǎn)，當(dāng)正四面體ABCO繞CO旋轉(zhuǎn)

時(shí)，直線AE與平面a所成最大角的正弦值為.

解析：過點(diǎn)E作CO的平行線，交BD于F,則正四面體繞CD旋轉(zhuǎn)時(shí)AE

與平面a所成角相當(dāng)于繞旋轉(zhuǎn)時(shí)AE與平面a所成角.此時(shí)，直線AE形成

一個(gè)圓錐所以可知直線AE與平面a所成角的最大值即為AE與EF所成的角.設(shè)

l3+1-3./3

正四面體的棱長(zhǎng)為2,則AE=AF=y]3,EF-1,所以coszAEF=—云萬一=%,

所以sinzAEF=^,即直線AE與平面a所成最大角的正弦值為噂.

\/33

答案：看

4.正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中，有4個(gè)恰是正四面體的頂點(diǎn)，則正方體與正四面

體的表面積之比為

解析：如圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,則正方體的表面積為S1

=6。2.

正四面體P-ABC的邊長(zhǎng)為"H,則其表面積為S2

=4x1x^2aX^/2aXsin60°=2事出.

所以正方體與正四面體的表面積之比為S［：S2=6a2：2*a2=*：i.

答案：\/3：1

［B級(jí)一一方法技巧練］

1.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）

A.6

C.10D.12

解析：選D根據(jù)題中所給的三視圖，可以還原幾何體，

如圖所示.

該幾何體可以將凸出的部分補(bǔ)到凹進(jìn)去的地方成為一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別是

3,2,2的長(zhǎng)方體，所以該幾何體的體積為2X2X3=12,故選D.

2.圓錐的母線長(zhǎng)為L(zhǎng),過頂點(diǎn)的最大截面的面積為g2,則圓錐底面半徑與

母線長(zhǎng)的比*1勺取值范圍是()

AO

d0,當(dāng)D慢1)

解析：選D設(shè)圓錐的高為h,過頂點(diǎn)的截面的頂角為e,則過頂點(diǎn)的截面

的面積S=)2sine,而0<sin,所以當(dāng)sin0=1,即截面為等腰直角三角形

時(shí)取最大值，故圓錐的軸截面的頂角必須大于或等于90。，得L>r?Lcos45o="

3.在長(zhǎng)方體ABCD-A'|C|O]中，A8=A￡>=2,A4]=l,則點(diǎn)8到平面0AC

的距離等于.

解析：如圖，連接Bq,易知就是三棱錐0-A8CDiCI

的高，AD1=CD]=p,AC=2*，取AC的中點(diǎn)O,連接

DQ,則D1O±AC,所以「|。=pA%-4。2=4

設(shè)點(diǎn)B到平面0AC的距離為〃，則由VB-D{AC=VD^-ABC,^S^D1AC-h

,又S*AC=；D?AC=；NX2*=#,

=^S,ABC-D}DSJBC=58BC=；

X2X2=2,所以/?=*.

套案."

口■3

4.（2019?浙江十校聯(lián)盟）如圖，在四棱錐尸-A8C。中，側(cè)棱

物，底面ABC。，AD//BC,ZABC=9Q°,AD=\,PA=AB|

=BC=2,“是棱P8的中點(diǎn).[.

⑴已知點(diǎn)E在棱BC上，且平面AME〃平面PCD,試確,

定點(diǎn)E的位置并說明理由；

（2）設(shè)點(diǎn)N是線段C。上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)N在何處時(shí)，直線MN與平面"8所

成角最大？并求最大角的正弦值.

解：（1）點(diǎn)￡為3c的中點(diǎn).

證明如下：

■：M,E分別為PB,8C的中點(diǎn)，

：.ME\[PC,

又.加欣平面PCD,PCU平面PCD，，初E||平面PCD.

又：EC飆AD，，四邊形EA0C為平行四邊形，

.?.AE||￡>C..S磯平面PCD,

又...AEn〃E=E,

平面AME||平面PCD.

⑵以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AD,AB,AP所在直線為x,y,z軸建立如圖

所示的空間直角坐標(biāo)系，則4(0,0,0),5(0,2,0),C(2,2,0),P(1,0,0),P(0,0,2),

設(shè)直線MN與平面鞏8所成角為6,DN=XDC,2e[0,l],

^\MN=MA+AD+DN=(A+1,2/1-1,-1),

取平面PAB的一個(gè)法向量為n=(1,0,0),

rA+1

貝(Jsin0=Icos(MN,〃〉I=/

J(A+l)2+(22-1)2+1

(2+1)2

5z2-22+3，

令2+1=正[1,2],

nilG+l)2fi1.5

則---------=----------=—7i\-B-y7，

522-22+35ft-12r+1010flj2_12+5

所以sin但率，

當(dāng)，=|即2=|時(shí)，等號(hào)成立,

即當(dāng)點(diǎn)N在線段。?？拷麮的三等分點(diǎn)時(shí)，直線MN與平面匕18所成角最

大，最大角的正弦值為

5.如圖，在矩形45。中，AB=2,BC=\,E為CD中點(diǎn).把△AOE沿

AE翻折，使得平面AOEJ_平面ABCE.

⑴求證：AD1BE；

(2)求BD與平面DEC所成角的正弦值.

解：⑴證明：?.在矩形ABC。中，A0=1,A8=2,￡為CO中點(diǎn)，

：.AE=6=EB,貝ljA4+痛=AB2,

：.BE1AE.

?.?平面A0E1平面ABCE,平面ADEH平面ABCE=AE,

..BE，平面ADE,：AD1BE.

(2)法一:取AE的中點(diǎn)O,連接DO,則DO1AE.

,.平面AOEJL平面ABCE,平面AOEC平面A8CE=AE,

二。。，平面ABCE,

0O=；X；X1X1X*=*.

/.V

D-BCE

連接OB,OC,：0A=*,AB=2,zOAB=45°,

：.^OAB中，由余弦定理得，

22-2X坐X2Xcos45°=

0B=

同理可得。C=^.

在DOB中，80==木.

在Rt^POC中，。C=AWW4

：DE=1,EC=1,

12+12-(J§)2

1

.?.在A0EC中，由余弦定理得，coszDEC=

ZA1A121

：.zDEC=120°,：.SAnpr=^XlX\X^

A。“L/4

設(shè)B到平面DEC的距離為h,

,y=—xSX/?=解得h=

-'VB-DEC3&DEC〃125所1守〃3,

設(shè)。8與平面OEC所成的角為。,

a=^=3

則sin

：.BD與平面DEC所成角的正弦值為“.

法二：取AE的中點(diǎn)。，連接DO,則D01AE,

?.平面A0以平面A8CE，平面AOEA平面ABC￡=AE,

平面ABCE,

.?.以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。。所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

1311

則8--OOO--,0),C(-；,,

2222

3

2EC

13

--

DC22

設(shè)m=(x,y,l)為平面OEC的一個(gè)法向量，

fm.￡C=0,卜二°，

則［一即］13中

【mDC=0,I-蒙工+力-”=0,

取z=1,可得m=(-y/2,0,1)9

設(shè)8。與平面。EC所成的角為a,

Z.sina=Icos{BD,m)

0X*3

即BD與平面DEC所成角的正弦值為彳.

2級(jí)一一創(chuàng)新應(yīng)用練］

1.已知正方體ABCD-AiAqq的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)尸是平面AAQQ的中心，

點(diǎn)。是上底面A/|Cp上一點(diǎn)，且P?！ㄆ矫鍭4/聲，則線段PQ的長(zhǎng)的最小

值為（）

解析：選A由PQ|平面44盧盧知Q在過點(diǎn)P且平行于c.

平面AA聲聲的平面上，易知點(diǎn)Q在,國(guó)J中點(diǎn)的連線R'

1

MN上,故PQ的最小值為P/=/41=1.

2.（2019?寧波模擬）圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球（半徑為

r）組成一個(gè)幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所

示.若該幾何體的表面積為16+20兀，則r=（）^Sr-L

A.1B.2（\

C.4D.81

解析：選B由三視圖得該幾何體為一個(gè)半球和一個(gè)半圓柱的俯視圖

組合體，且半圓柱的底面和半球體的一半底面重合，則其表面積為;X4"2+”2

+2rX2r+2?rrX2r=4r2+5nr-=16+20兀，解得r=2,故選B.

3.在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱

為鱉脯，在鱉膈A-BC。中，AB±^W\BCD,^.BDLCD,AB

=3D=C￡>,點(diǎn)P在棱AC上運(yùn)動(dòng)，設(shè)CP的長(zhǎng)度為x,若△PBD

的面積為Ax）,則兀0的圖象大致是（）

解析：選A如圖，作PQLBC于Q,作QR±BD于A,連

接PR,則由鱉嚅的定義知PQ^AB,QR\\CD,PQiQR.iS.AB

=*72x2-2乖x+3,又由題知,所以共幻=*,2%2-28+3建

3

2+：,結(jié)合選項(xiàng)知選A.

4.已知圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為3的扇形，則該圓錐體積的最大值為

解析：由題意得圓錐的母線長(zhǎng)為3,設(shè)圓錐的底面半徑為r,高為力，則力

，9?",所以圓錐的體積V=gw21=5Hd9.修=卯4-〃.設(shè)f（r）=

加（廠＞0）,貝（Jf（r）=36戶-6戶，令f1（r）=36r3-6r5=6戶（6-泮）=0,得r=加，

所以當(dāng)0＜卜小時(shí)，/⑺＞0"⑺單調(diào)遞增，當(dāng)小通時(shí)，/⑺v0,/S單調(diào)遞減，

所以人「入儂=八水）=108,所以Vmax=17iX^TO8=2^/37r.

答案：2小71

5.某三棱錐的三視圖如圖所示，且圖中的三個(gè)三角形均為直角三角形，則

xy的最大值為

解析：將三視圖還原為如圖所示的三棱錐HA8C,其中底

面A8C是直角三角形，,孫，平面ABC,8C=2巾，%2

+y2=102,（2明）2+B42=/,所以孫=7102-氏2-（2明問=

--------X2+（128-%2）

128---------z--------=64,當(dāng)且僅當(dāng)/=128-尤2,即x=8時(shí)取等號(hào)，因

此專，的最大值是64.

答案：64

6.（20