數(shù)學(xué)建模講座一些簡單實(shí)例1例1某人平時(shí)下班總是按預(yù)定時(shí)間到達(dá)某處，然后他妻子開車接他回家。有一天，他比平時(shí)提早了30分鐘到達(dá)該處，于是此人就沿著妻子來接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，這一天，他比平時(shí)提前了10分鐘到家，問此人共步行了多長時(shí)間？一些簡單實(shí)例

似乎條件不夠哦…

換一種想法，問題就迎刃而解了。假如他的妻子遇到他后仍載著他開往會(huì)合地點(diǎn)，那么這一天他就不會(huì)提前回家了。提前的十分鐘時(shí)間從何而來？

顯然是由于節(jié)省了從相遇點(diǎn)到會(huì)合點(diǎn)，又從會(huì)合點(diǎn)返回相遇點(diǎn)這一段路的緣故，故由相遇點(diǎn)到會(huì)合點(diǎn)需開5分鐘。而此人提前了30分鐘到達(dá)會(huì)合點(diǎn)，故相遇時(shí)他已步行了25分鐘。

請思考一下，本題解答中隱含了哪些假設(shè)？2一些簡單實(shí)例例2某人第一天由A地去B地，第二天由B地沿原路返回A地。問：在什么條件下，可以保證途中至少存在一地，此人在兩天中的同一時(shí)間到達(dá)該地。假如我們換一種想法，把第二天的返回改變成另一人在同一天由B去A，問題就化為在什么條件下，兩人至少在途中相遇一次，這樣結(jié)論就很容易得出了：只要任何一人的到達(dá)時(shí)間晚于另一人的出發(fā)時(shí)間，兩人必會(huì)在途中相遇。3一些簡單實(shí)例例3交通燈在綠燈轉(zhuǎn)換成紅燈時(shí)，有一個(gè)過渡狀態(tài)——亮一段時(shí)間的黃燈。請分析黃燈應(yīng)當(dāng)亮多久？DL設(shè)想一下黃燈的作用是什么？不難看出，黃燈起的是警告的作用，意思是馬上要轉(zhuǎn)紅燈了，假如你能停住，請立即停車。停車是需要時(shí)間的，在這段時(shí)間內(nèi)，車輛仍將向前行駛一段距離L。4一些簡單實(shí)例DL就是說，在離街口距離為L處存在著一條停車線(盡管它沒被畫在地上)，見左下圖。對于那些黃燈亮?xí)r已過線的車輛，則應(yīng)當(dāng)保證它們?nèi)阅艽┻^馬路。馬路的寬度D是容易測得的，問題的關(guān)鍵在于L的確定。5一些簡單實(shí)例DL為確定L，還應(yīng)當(dāng)將L劃分為兩段：L1和L2，其中L1是司機(jī)在發(fā)現(xiàn)黃燈亮及判斷應(yīng)當(dāng)剎車的反應(yīng)時(shí)間內(nèi)駛過的路程，L2為剎車制動(dòng)后車輛駛過的路程。

L1較容易計(jì)算，交通部門對司機(jī)的平均反應(yīng)時(shí)間t1早有測算，反應(yīng)時(shí)間過長將考不出駕照。6一些簡單實(shí)例DL而此街道的行駛速度v也是交管部門早已定好的，目的是使交通流量最大，從而L1=v*t1。剎車距離L2既可用曲線擬合方法得出，也可利用牛頓第二定律計(jì)算出來。黃燈究竟應(yīng)當(dāng)亮多久現(xiàn)在已經(jīng)變得清楚多了。第一步，先計(jì)算出L應(yīng)多大才能使看見黃燈的司機(jī)停得住車。7一些簡單實(shí)例DL第二步，黃燈亮的時(shí)間應(yīng)當(dāng)讓已過線的車順利穿過馬路，即T至少應(yīng)當(dāng)達(dá)到(L+D)/v8一些簡單實(shí)例例4.艦艇的會(huì)合某航空母艦派其護(hù)衛(wèi)艦去搜尋其跳傘的飛行員，護(hù)衛(wèi)艦找到飛行員后，航母通知它盡快返回與其匯合并通報(bào)了航母當(dāng)前的航速與方向，問護(hù)衛(wèi)艦應(yīng)怎樣航行，才能在最短時(shí)間內(nèi)與航母匯合。9一些簡單實(shí)例建立如圖所示坐標(biāo)系。記v2/v1=a，通常a>1則|BP|2=a2|AP|2，即：A(0,b)XyB(0,-b)P(x,y)O航母,速度V1

護(hù)衛(wèi)艦,速度V2

θ1

θ2

可化為：令：10一些簡單實(shí)例則上式可簡記成：(護(hù)衛(wèi)艦的路線方程)(航母的路線方程)即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)和θ2

的值。本模型雖簡單，但分析極清晰且易于實(shí)際應(yīng)用

A(0,b)XyB(0,-b)P(x,y)O航母,速度V1

護(hù)衛(wèi)艦,速度V2

θ1

θ2

11一些簡單實(shí)例例5崖高的估算假如你站在崖頂且身上帶著一只具有跑表功能的計(jì)算器，你也許會(huì)出于好奇心想用扔下一塊石頭聽回聲的方法來估計(jì)山崖的高度，假定你能準(zhǔn)確地測定時(shí)間，你又怎樣來推算山崖的高度呢，請你分析一下這一問題。我有一只具有跑表功能的計(jì)算器。12一些簡單實(shí)例模型一假定空氣阻力不計(jì)，可以直接利用自由落體運(yùn)動(dòng)的公式來計(jì)算。例如，設(shè)t=4秒，g=9.81米/秒2，則可求得h≈78.5米。13一些簡單實(shí)例模型二除去地球吸引力外，對石塊下落影響最大的當(dāng)屬空氣阻力。根據(jù)流體力學(xué)知識，此時(shí)可設(shè)空氣阻力正比于石塊下落的速度，阻力系數(shù)K為常數(shù)，因而，由牛頓第二定律可得：令k=K/m，解得14一些簡單實(shí)例代入初始條件v(0)=0，得c=－g/k，故有再積分一次，得：代入初始條件h(0)=0，得到計(jì)算山崖高度的公式：15一些簡單實(shí)例若設(shè)k=0.05并仍設(shè)t=4秒，則可求得h≈73.6米。進(jìn)一步深入考慮：聽到回聲再按跑表，計(jì)算得到的時(shí)間中包含了反應(yīng)時(shí)間。不妨設(shè)平均反應(yīng)時(shí)間為0.1秒，假如仍設(shè)t=4秒，扣除反應(yīng)時(shí)間后應(yīng)為3.9秒，代入上式，求得h≈69.9米。

再一步深入考慮：16一些簡單實(shí)例模型三是否還應(yīng)考慮回聲傳回來所需要的時(shí)間。為此，令石塊下落的真正時(shí)間為t1，聲音傳回來的時(shí)間記為t2，還得解一個(gè)方程組：17一些簡單實(shí)例這里給大家介紹兩種非常有效的數(shù)字解法：1.二分法先取兩個(gè)端點(diǎn)為左右點(diǎn)，求其中點(diǎn)。并將中點(diǎn)值帶入方程組中求得h1和h2，若h1>h2，則令左邊的點(diǎn)移至中點(diǎn)；若h2>h1，則將右邊的點(diǎn)移至中點(diǎn)。如此反復(fù)，直到|h1-h2|<ε。18一些簡單實(shí)例%用二分法求山崖高度k=0.05;g=9.81;left=0.0;right=3.9;eps=1.0;while(abs(eps)>0.1)t2=(left+right)/2;t1=3.9-t2;h2=340*t2;h1=g*(t1+exp(-k*t1)/k)/k-g/k^2;eps=h1-h2;if(eps>0)left=t2;elseright=t2;endendt2h=340*t2運(yùn)行結(jié)果為：>>shanyagaodu1t2=0.1871h=63.613019一些簡單實(shí)例2.疊代法相對于石塊速度，聲音速度要快得多，我們可用第一個(gè)方程先求一次

h，令t2=h/340，校正t，求石塊下落時(shí)間t1≈t-t2將t1代入式①再算一次，得出崖高的近似值。如此反復(fù)，直到滿足給定誤差要求。20一些簡單實(shí)例%用疊代法求山崖高度k=0.05;g=9.81;temp=3.9;t2=0.0;while(abs(temp-t2)>0.01)t1=3.9-t2;h=g*(t1+exp(-k*t1)/k)/k-g/k^2;temp=t2;t2=h/340;endt2h=340*t2>>shanyagaodu2t2=0.1873h=63.681421一些簡單實(shí)例銀行還貸已知銀行貸款年利率為5.58%，如果今年需要在銀行貸款15萬元，要求20年還清，而在這20年中每個(gè)月的還貸金額相等，問每個(gè)月應(yīng)還多少元？如果你已經(jīng)還了14個(gè)月，此時(shí)銀行降低貸款年利率為5.31%，假設(shè)在此后的貸款按新的年利率計(jì)算，問此后每個(gè)月應(yīng)還多少錢？

22一些簡單實(shí)例變量說明：x:每月還貸金額；r:月利率；ai:第i月后還欠銀行的金額；n:還款月數(shù)；于是，我們有如下遞推公式：a1=a0(1+r)-x其中，a0為最初的貸款額23一些簡單實(shí)例a2=a1(1+r)-x=(a0(1+r)-x)(1+r)-x=a0(1+r)2-x(1+(1+r))a3=a2(1+r)-x=(a0(1+r)2-x(1+(1+r)))(1+r)-x=a0(1+r)3-x(1+(1+r)+(1+r)2)…………顯然有：24一些簡單實(shí)例an=an-1(1+r)-x=a0(1+r)n-x(1+(1+r)+(1+r)2+……+(1+r)n-1)=a0(1+r)n-x[(1+r)n