第7講 函數(shù)的圖象及其應(yīng)用知識梳理1．函數(shù)的圖象及作法2．圖象變換(1)平移變換(2)對稱變換①y＝f(x)關(guān)于x軸對稱――――――――→②y＝f(x)

――――――――→關(guān)于y軸對稱③y＝f(x)

關(guān)于原點對稱――――――――→關(guān)于y=x對稱④y＝ax(a＞0且a≠1)

――――――――→

y＝．y＝

－f(x)

；y＝

f(－x)

；y＝

－f(－x)

；logax(a＞0且a≠1)(3)翻折變換①y＝f(x)―――――――――――――――――→保留x軸上方圖象將x軸下方圖象翻折上去

.―――――――――――――――――→

②y＝f(x)保留y軸右邊圖象，并作其關(guān)于y軸對稱的圖象y＝

|f(x)|y＝

f(|x|)

．(4)伸縮變換―――――――――――――――――――――――→的a倍，橫坐標(biāo)不變①y＝f(x)縱坐標(biāo)伸長(a＞1)或縮短(0＜a＜1)為原來y＝af(x)(a＞0)――――――――1―――――――――――――――→的a倍，縱坐標(biāo)不變②y＝f(x)橫坐標(biāo)伸長(0＜a＜1)或縮短(a＞1)為原來y＝f(ax)(a＞0)辨析感悟1．圖象變換問題(1)為了得到函數(shù)y＝lg

x＋3

的圖象，只需把函數(shù)y＝lg

x的圖象10上所有的點向左平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度．

(√)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(x－1)＝f(x＋1)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱．

(×)當(dāng)x∈(0，＋∞)時，函數(shù)y＝|f(x)|與y＝f(|x|)的圖象相同．(×)函數(shù)y＝2|x－1|的圖象關(guān)于直線x＝1對稱．(√)將函數(shù)y＝f(－x)的圖象向右平移1個單位得到函數(shù)y＝f(－x－1)的圖象．

(×)2．圖象應(yīng)用問題(6)(2013·漢中模擬改編)方程|x|＝cos僅有兩個根．x在(－∞，＋∞)內(nèi)有且(√)

(7)(2013·洛陽調(diào)研改編)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象

c如圖所示，則點Pa，b所在的象限為第二象限．(√)[感悟·提升]三個防范

一是函數(shù)圖象中左、右平移變換可記口訣為“左加右減”，但要注意加、減指的是自變量．如(5)；二是注意含絕對值符號的函數(shù)的對稱性，如y＝f(|x|)與y＝|f(x)|的圖象是不同的，如(3)；三是混淆條件“f(x＋1)＝f(x－1)”與“f(x＋1)＝f(1－x)”的區(qū)別，前者告訴周期為2，后者告訴圖象關(guān)于直線x＝1對稱，如(2).考點一 作函數(shù)的圖象【例1】分別畫出下列函數(shù)的圖象．x＋1(1)y＝|x2－4x＋3|；(2)y＝2x＋1；(3)y＝10|lg

x|.解

(1)先畫函數(shù)y＝x2－4x＋3的圖象，再將其x軸下方的圖象翻折到x軸上方，如圖(1)．2x＋1(2)y＝1x＋1

＝

x＋1

x＋12(x＋1)－1＝2－

，x1可由函數(shù)y＝－向左平移1個單位，再向上平移2個單位，如圖(2)．x，x≥1，(3)y＝10|lg

x|＝1x，0＜x＜1，如圖(3)．規(guī)律方法

(1)熟知一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等函數(shù)的圖象，再掌握圖象變換的規(guī)律作圖．(2)掌握平移變換、伸縮變換、對稱變換、翻折變換、周期變換等常用的方法技巧，來幫助我們簡化作圖過程．【訓(xùn)練1】定義：若函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過變換T后所得的圖象對應(yīng)的函數(shù)與f(x)的值域相同，則稱變換T是f(x)的同值變換，下面給出了四個函數(shù)與對應(yīng)的變換：①f(x)＝(x－1)2，T：將函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱；②f(x)＝2x－1－1，T：將函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱；③f(x)＝xx＋1，T：將函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(－1,1)對稱．其中T是f(x)的同值變換的有

(寫出所有符合題意的序號)．解析

對于①：f(x)值域為[0，＋∞)，經(jīng)變換T后f(x)＝(x＋1)2，值域也是[0，＋∞)．對于②：f(x)的值域為(－1，＋∞)，經(jīng)變換T后f(x)＝1－2x－1，值域為(－∞，1)．x＋1對于③：f(x)＝1－

1

，其圖象關(guān)于點(－1,1)對稱，因此經(jīng)變換T后值域不變．答案

①③考點二

函數(shù)圖象的變換則y＝f(1－x)的圖象【例2】

函數(shù)f(x)＝是

．解析畫出y＝f(x)的圖象，再作其關(guān)于y軸對稱的圖象，得到

y＝f(－x)的圖象，再將所得圖象向右平移1個單位，得到y(tǒng)＝f[－(x－1)]＝f(－x＋1)的圖象．答案③規(guī)律方法

作圖象平移時，要注意不要弄錯平移的方向，必要時，取特殊點進(jìn)行驗證；平移變換只改變圖象的位置，不改變圖象的形狀．【訓(xùn)練2】(2013·江南十校聯(lián)考)函數(shù)y＝log2(|x|＋1)的圖象大致是

．解析當(dāng)x＞0時，y＝log2(x＋1)，先畫出y＝log2x的圖象，再將圖象向左平移1個單位，最后作出關(guān)于y軸對稱的圖象，得與之相符的圖象為②.答案

②考點三

函數(shù)圖象的應(yīng)用【例3】(1)已知函數(shù)y＝f(x)的周期為2，當(dāng)x∈[－1,1]時，f(x)＝x2，那么函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝|lg

x|的圖象的交點共有

個．(2)直線y＝1與曲線y＝x2－|x|＋a有四個交點，則a的取值范圍是

．審題路線

(1)畫出

x∈[－1,1]時，f(x)＝x2

的圖象?根據(jù)周期為

2

畫出

x∈(1，＋∞)時的函數(shù)圖象?畫出函數(shù)

y＝|lg

x|的圖象注意x＝10時的情形――――――――――→觀察圖象，得出交點個數(shù)．解析

(1)畫出兩個函數(shù)圖象可看出交點有10個．(2)y＝2x2－x＋a，x≥0，x

＋x＋a，x＜0，作出圖象，如圖所示．此曲線與y軸交于(0，a)點，最小值為a1－4

，要使y＝1與其有四個1交點，只需a－4＜1＜a，∴1＜a＜54.答案

(1)10 (2)1，

54規(guī)律方法

(1)曲線交點、函數(shù)零點、方程解的個數(shù)問題常常轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)的交點個數(shù)．利用此法也可由解的個數(shù)求參數(shù)值或范圍．(2)從圖象的最高點、最低點，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對稱性分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等都是函數(shù)圖象的基本應(yīng)用.【訓(xùn)練3】已知函數(shù)f(x)＝|x2－4x＋3|.求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，并指出其增減性；求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四個不相等的實根}．解

f(x)＝(x－2)2－1，x∈(－∞，1]∪[3，＋∞)，－(x－2)2＋1，x∈(1，3)，作出函數(shù)圖象如圖．函數(shù)的增區(qū)間為[1,2]，[3，＋∞)；函數(shù)的減區(qū)間為

(－∞，1]，[2,3]．在同一坐標(biāo)系中作出y＝f(x)和y＝m的圖象，使兩函數(shù)圖象有四個不同的交點(如圖)．由圖知0＜m＜1，∴M＝{m|0＜m＜1}．掌握平移變換、伸縮變換、對稱變換、翻折變換、周期變換等常用的方法技巧，來幫助我們簡化作圖過程．識圖的要點：重點根據(jù)圖象看函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、特殊點(與x、y軸的交點，最高、最低點等)．識圖的方法定性分析法：對函數(shù)進(jìn)行定性分析，從而得出圖象的上升(或下降)的趨勢，利用這一特征分析解決；定量計算法：通過定量的計算來分析解決；排除法：利用本身的性能或特殊點進(jìn)行排除驗證．研究函數(shù)性質(zhì)時一般要借助于函數(shù)圖象，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想；方程解的問題常轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題來解決．思想方法2——利用數(shù)形結(jié)合思想求參數(shù)的范圍2

1【典例】已知不等式x

－loga

x＜0，當(dāng)x∈0，2時恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．解

由x2－loga

x＜0，得x2＜logax.設(shè)f(x)＝x2，g(x)＝logax.

1由題意知，當(dāng)x∈0，2時，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)如圖，可知的圖象的下方，0＜a＜1，1

12

2f

≤g

，0＜a＜1，即12

2≤loga12，

1

解得16≤a＜1.

1

∴實數(shù)a

的取值范圍是16，1.[反思感悟](1)“以形助數(shù)”是已知兩圖象交點問題求參數(shù)范圍常用到的方法，解決此類問題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確作出不含參數(shù)的函數(shù)的圖象，并標(biāo)清一些關(guān)鍵點，對于含參數(shù)的函數(shù)圖象要注意結(jié)合條件去作出符合題意