山東省泰安市一中西校長城中學2021年高三數學文模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.定義方程的實數根叫做函數的“駐點”，若函數的“駐點”分別為，則的大小關系為A.

B.

C.

D.參考答案：A略2.某校高三一班有學生54人，二班有學生42人，現在要用分層抽樣的方法從兩個班抽出16人參加一項活動，則一班和二班分別被抽取的人數是(

)

A

8，8

B9，7

C

10，6

D12，4參考答案：B3.函數的圖象如圖所示，若，則函數餓解析式為（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：C由圖象知，，根據圖象設，則根據三角函數的圖象對稱性知，則，所以，，于是由，得，解得（舍去）或，即，所以，，于是由，，故函數的解析式為，故選C．4.

設為偶函數，對于任意的的數都有，已知，那么等于

(

）A．2

B．-2

C．．8

D．-8參考答案：C5.函數的零點所在的可能區(qū)間是A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）參考答案：B6.在復平面內，復數對應的點的坐標為（） A．（1，1） B． （﹣1，1） C． （1，﹣1） D． （﹣1，﹣1）參考答案：略7.已知函數g（x）=a﹣x2（≤x≤e，e為自然對數的底數）與h（x）=2lnx的圖象上存在關于x軸對稱的點，則實數a的取值范圍是（）A．[1，+2] B．[1，e2﹣2] C．[+2，e2﹣2] D．[e2﹣2，+∞）參考答案：B【考點】對數函數的圖象與性質．【分析】由已知，得到方程a﹣x2=﹣2lnx?﹣a=2lnx﹣x2在上有解，構造函數f（x）=2lnx﹣x2，求出它的值域，得到﹣a的范圍即可．【解答】解：由已知，得到方程a﹣x2=﹣2lnx?﹣a=2lnx﹣x2在上有解．設f（x）=2lnx﹣x2，求導得：f′（x）=﹣2x=，∵≤x≤e，∴f′（x）=0在x=1有唯一的極值點，∵f（）=﹣2﹣，f（e）=2﹣e2，f（x）極大值=f（1）=﹣1，且知f（e）＜f（），故方程﹣a=2lnx﹣x2在上有解等價于2﹣e2≤﹣a≤﹣1．從而a的取值范圍為[1，e2﹣2]．故選B．8.已知集合，則（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D9.一個幾何體的三視圖如圖所示，其軸截面的面積為6，其中正視圖與側視圖均為等腰梯形，則該幾何體外接球的表面積為

（）A. B. C. D.參考答案：B【分析】由三視圖可得該幾何體為一個圓臺，上下底面圓的半徑分別為，由軸截面的面積，求得，再由求得性質，求得求得半徑，利用球的表面積公式，即可求解，得到答案.【詳解】該幾何體為一個圓臺，上下底面圓的半徑分別為，設其高為，由軸截面的面積為6，得，解得，設圓臺外接球的半徑為R，由題意得，解得，外接球的表面積為，故選B.【點睛】本題考查了幾何體的三視圖及球的表面積的計算，在由三視圖還原為空間幾何體的實際形狀時，要根據三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線，求解以三視圖為載體的空間幾何體的表面積與體積的關鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關系和數量關系，利用相應公式求解.10.如圖所示，等邊△ABC的邊長為2，D為AC中點，且△ADE也是等邊三角形，讓△ADE以點A為中心向下轉動到穩(wěn)定位置的過程中，則的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.甲、乙、丙三名同學中只有一人考了滿分，當他們被問到誰考了滿分時，甲說：丙沒有考滿分；乙說：是我考的；丙說：甲說真話．事實證明：在這三名同學中，只有一人說的是假話，那么得滿分的同學是_________．參考答案：略12.求值：＝________參考答案：略13.若直線3x+4y﹣12=0與圓（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N兩點，則線段MN的長為．參考答案：2略14.設點是區(qū)域內的隨機點，則滿足的概率是____．參考答案：15.幾何證明選講選做題）如圖2，在中，斜邊，直角邊，如果以C為圓心的圓與AB相切于，則的半徑長為

．參考答案：略16.設函數是（﹣∞，+∞）上的增函數，那么實數k的取值范圍為

．參考答案：（﹣∞，﹣1]∪[1，2]

【考點】函數單調性的性質．【分析】根據函數的解析式、一元二次函數的單調性、函數單調性的性質，列出不等式組，求出實數k的取值范圍．【解答】解：∵f（x）=是（﹣∞，+∞）上的增函數，∴，解得k≤﹣1或1≤k≤2，則實數k的取值范圍是（﹣∞，﹣1]∪[1，2]，故答案為：（﹣∞，﹣1]∪[1，2]．17.（1）在極坐標系中，定點，點在直線上運動，當線段最短時，點的極坐標為

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分13分）某企業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計厚度，長度單位：米)，其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設計要求容器的容積為立方米，且L≥2r.假設該容器的建造費用僅與其表面積有關．已知圓柱形部分每平方米建造費用為3千元，半球形部分每平方米建造費用為c(c>3)千元．設該容器的建造費用為y千元．(1)寫出y關于r的函數表達式，并求該函數的定義域；(2)求該容器的建造費用最小時的r.參考答案：∴0<r≤2.

由于c>3，所以c－2>0.所以r＝2是函數y的最小值點．………13分19.（14分）已知為正整數，（I）用數學歸納法證明：當時，；（II）對于，已知，求證：，；（III）求出滿足等式的所有正整數．參考答案：本小題主要考查數學歸納法、數列求和、不等式等基礎知識和基本的運算技能，考查分析問題能力和推理能力．解析：解法1：（Ⅰ）證：用數學歸納法證明：（?。┊敃r，原不等式成立；當時，左邊，右邊，因為，所以左邊右邊，原不等式成立；（ⅱ）假設當時，不等式成立，即，則當時，，，于是在不等式兩邊同乘以得，所以．即當時，不等式也成立．綜合（?。áⅲ┲?，對一切正整數，不等式都成立．（Ⅱ）證：當時，由（Ⅰ）得，于是，．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，當時，，．即．即當時，不存在滿足該等式的正整數．故只需要討論的情形：當時，，等式不成立；當時，，等式成立；當時，，等式成立；當時，為偶數，而為奇數，故，等式不成立；當時，同的情形可分析出，等式不成立．綜上，所求的只有．解法2：（Ⅰ）證：當或時，原不等式中等號顯然成立，下用數學歸納法證明：當，且時，，．①（?。┊敃r，左邊，右邊，因為，所以，即左邊右邊，不等式①成立；（ⅱ）假設當時，不等式①成立，即，則當時，因為，所以．又因為，所以．于是在不等式兩邊同乘以得，所以．即當時，不等式①也成立．綜上所述，所證不等式成立．（Ⅱ）證：當，時，，，而由（Ⅰ），，．（Ⅲ）解：假設存在正整數使等式成立，即有．②又由（Ⅱ）可得，與②式矛盾．故當時，不存在滿足該等式的正整數．下同解法1．

20.已知函數,(1)若兩函數圖象有兩個不同的公共點,求實數的取值范圍；(2)若,,求實數的最大值.參考答案：(1)解:函數與的圖象有兩個不同的公共點等價于方程在有兩個不同的解,即方程在有兩個不同的解.設,則函數的圖象與直線有兩個不同的交點.由，令，有列表如下：+0-增函數極大值減函數所以函數有極大值由時，；，，(注:或①當時,至多有一個公共點；②當時,因為時,,至多有一個公共點；③當時,因為,,所以上有一個零點,又,而,所以在上存在一個零點,即時,有兩個零點)(2)由題對恒成立,即對恒成立，即對恒成立，設,則只需,由,又,所以,在為增函數，所以，,又所以，存在使，即，則又時，,為減函數,時,,為增函數所以,所以,r(x)在為增函數,所以所以,,故實數的最大值為21.如圖，在平面四邊形ABCD中，，，.（1）求；（2）若，，求CD.參考答案：（1）；（2）CD＝5【分析】（1）直接利用余弦定理求cos∠BAC；（2）先求出sin∠DAC＝，再利用正弦定理求CD．【詳解】（1）在△ABC中，由余弦定理得：．（2）因為∠DAC＝90°－∠BAC，所以sin∠DAC＝cos∠BAC