第7講 函數(shù)的圖象最新考綱

1.理解點(diǎn)的坐標(biāo)與函數(shù)圖象的關(guān)系；2.會利用平移、對稱、伸縮變換，由一個函數(shù)圖象得到另一個

函數(shù)的圖象；3.會運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程解的個數(shù)與不等式的解的問題.知識梳理1.利用描點(diǎn)法作函數(shù)圖象其基本步驟是列表、描點(diǎn)、連線.首先：(1)確定函數(shù)的定義域，(2)化簡函數(shù)解析式，(3)討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性等).其次：列表(尤其注意特殊點(diǎn)、零點(diǎn)、最大值點(diǎn)、最小值點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等)，描點(diǎn)，連線.2.函數(shù)圖象間的變換

(1)平移變換y＝f(x)-k對于平移，往往容易出錯，在實(shí)際判斷中可熟記口訣：左加右減，上加下減.(2)對稱變換y＝-f(-x)(3)伸縮變換診斷自測判斷正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)當(dāng)x∈(0

，＋

∞)

時，函數(shù)y

＝|f(x)|與y

＝

f(|x|)

的圖象相同.(

×

)函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.(×)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(1＋x)＝f(1－x)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱.(√)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(x－1)＝f(x＋1)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱.(×)將函數(shù)y＝f(－x)的圖象向右平移1個單位得到函數(shù)y＝f(－x－1)的圖象.(

×

)2.(2015·廣州一調(diào))把函數(shù)y＝(x－2)2＋2的圖象向左平移1個單位，再向上平移1個單位，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式是()A.y＝(x－3)2＋3C.y＝(x－1)2＋3B.y＝(x－3)2＋1D.y＝(x－1)2＋1解析

把函數(shù)y＝f(x)的圖象向左平移1個單位，即把其中x換成x＋1，于是得y＝[(x＋1)－2]2＋2＝(x－1)2＋2，再向上平移1個單位，即得到y(tǒng)＝(x－1)2＋2＋1＝(x－1)2＋3.答案

C3.

點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，按逆時針方向沿周長為l的圖形運(yùn)動一周，

O，P兩點(diǎn)連線的距離y與點(diǎn)P走過的路程x的函數(shù)關(guān)系如圖，那么點(diǎn)P所走的圖形是()答案

C4.(2016·沈陽調(diào)研)已知圖(1)中的圖象對應(yīng)的函數(shù)為y＝f(x)，則圖(2)中的圖象對應(yīng)的函數(shù)為(

)A.y＝f(|x|)C.y＝f(－|x|)B.y＝|f(x)|D.y＝－f(|x|)解析

由圖(1)和圖(2)的關(guān)系可知，圖(2)是由圖(1)在y軸左側(cè)的部分及其關(guān)于y軸對稱圖形構(gòu)成的，故選C.答案

C5.(2015·長沙模擬)已知函數(shù)f(x)＝log2x（x＞0），2x（x≤0），且關(guān)于x

的方程f(x)－a＝0

有兩個實(shí)根，則實(shí)數(shù)a

的取值范圍是

.解析

當(dāng)

x≤0

時，0＜2x≤1，所以由圖象可知要使方程

f(x)－a＝0

有兩個實(shí)根，即函數(shù)y＝f(x)與y＝a的圖象有兩個交點(diǎn)，所以由圖象可知0＜a≤1.答案

(0，1]考點(diǎn)一

函數(shù)圖象的作法【例1】分別畫出下列函數(shù)的圖象：(1)y＝|lg(x－1)|；(2)y＝2x＋1－1；(3)y＝x2－|x|－2.解(1)首先作出y＝lg

x

的圖象C1，然后將C1

向右平移1個單位，得到y(tǒng)＝lg(x－1)的圖象C2，再把C2

在x

軸下方的圖象作關(guān)于x

軸對稱的圖象，即為所求圖象C3：y＝|lg(x－1)|.如圖1

所示(實(shí)線部分).(2)y＝2x＋1－1

的圖象可由y＝2x

的圖象向左平移1

個單位，得y＝2x＋1

的圖象，再向下平移一個單位得到，如圖2

所示.(3)y＝x2－|x|－2＝x2－x－2（x≥0），2x

＋x－2（x＜0），其圖象如圖所3

所示.規(guī)律方法

畫函數(shù)圖象的一般方法：直接法，當(dāng)函數(shù)表達(dá)式(或變形后的表達(dá)式)是熟悉的基本函數(shù)或解析幾何中熟悉的曲線時，可根據(jù)這些函數(shù)或曲線的特征直接作出.圖象變換法，若函數(shù)圖象可由某個基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對稱得到，可利用圖象變換作出，但要注意變換順序，對不能直接找到熟悉函數(shù)的要先變形，并應(yīng)注意平移變換與伸縮變換的順序?qū)ψ儞Q單位及解析式的影響.描點(diǎn)法，當(dāng)上面兩種方法都失效時，則可采用描點(diǎn)法.為了通過描少量點(diǎn)，就能得到比較準(zhǔn)確的圖象，常常需要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)討論.【訓(xùn)練1】分別畫出下列函數(shù)的圖象：x＋1

；(1)y＝|x2－4x＋3|；(2)y＝2x＋1

(3)y＝10|lg

x|.解

(1)先畫函數(shù)y＝x2－4x＋3的圖象，再將其x軸下方的圖象翻折到x軸上方，如圖1.2x＋12（x＋1）－1＝

x＋1

＝

x＋1

1

(2)y

＝2－x＋1.1可由函數(shù)y＝－向左平移1

個單位，再向上平x移2

個單位得到，如圖2.x，x≥1，(3)y＝10|lg

x|＝1x，0＜x＜1，如圖3.考點(diǎn)二 函數(shù)圖象的辨識

1【例

2】

(1)(2015·浙江卷)函數(shù)

f(x)＝x－xcos

x(－π≤x≤π且

x≠0)的圖象可能為(

)(2)小明騎車上學(xué)，開始時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時間后，為了趕時間加快速度行駛，與以上事件吻合得最好的圖象是()1

1解析

(1)因?yàn)?/p>

f(－x)＝－x＋xcos(－x)＝－x－xcos

x＝

－f(x)，－π≤x≤π且x≠0，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，排除

1A，B.當(dāng)x＝π

時，f(x)＝π－πcos

π＜0，排除C，故選D.(2)小明勻速運(yùn)動時，所得圖象為一條直線，且距離學(xué)校越來越近，排除A.因交通堵塞停留了一段時間，與學(xué)校的距離不變，排除D.后來為了趕時間加快速度行駛，排除B.故選C.答案(1)D

(2)C規(guī)律方法辨識函數(shù)圖象常用方法：(1)定性分析法，通過對問題進(jìn)行定性分析，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、對稱性等解決問題；(2)定量計(jì)算法，通過定量(如特殊點(diǎn)、特殊值)的計(jì)算，來分析解決問題；(3)函數(shù)模型法，由所提供的圖象特征，結(jié)合實(shí)際問題的含義以及相關(guān)函數(shù)模型分析解決問題.【訓(xùn)練2】

(1)函數(shù)f(x)＝(1－cos

x)sin

x在[－π，π]的圖象大致為(

)(2)(2016·杭州模擬)已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則

f(x)的解析式可能是(

)A.f(x)＝x2－2ln

|x|C.f(x)＝|x|－2ln

|x|B.f(x)＝x2－ln

|x|D.f(x)＝|x|－ln

|x|解析(1)因?yàn)閒(－x)＝[1－cos(－x)]sin(－x)＝－(1－cos

x)·sin

x＝－f(x)，且－π≤x≤π，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除B；當(dāng)x∈(0，π)時，

1－cos

x＞0，sin

x＞0，所以f(x)＞0，排除A；又函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝sin2x－cos2x＋cos

x，所以f′(0)＝0，排除D，故選C.(2)由函數(shù)圖象可得，函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且x＞0

時，函數(shù)f(x)的單調(diào)性為先減后增，最小值為正，極小值點(diǎn)小于1，分別對選項(xiàng)中各個函數(shù)求導(dǎo)，并求其導(dǎo)函2數(shù)等于0

的正根，可分別得1，2，2，1，由此可得僅函數(shù)f(x)＝x2－ln

|x|符合條件.答案

(1)C

(2)B考點(diǎn)三

函數(shù)圖象的應(yīng)用[微題型1]求解不可解方程根的個數(shù)問題【例3－1】已知函數(shù)y＝f(x)的周期為2，當(dāng)x∈[－1，1]時，f(x)＝x2，那么函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝|lg

x|的圖象的交點(diǎn)共有(

)A.10個

B.9個

C.8個D.7個解析

根據(jù)f(x)的性質(zhì)及f(x)在[－1，1]上的解析式可作圖如下：可驗(yàn)證當(dāng)x＝10時，y＝|lg10|＝1；當(dāng)x＞10時，|lg

x|＞1.因此結(jié)合圖象及數(shù)據(jù)特點(diǎn)知y＝f(x)與y＝|lg

x|的圖象交點(diǎn)共有10個.答案

A規(guī)律方法

當(dāng)某些方程求解很復(fù)雜時，可以考慮利用函數(shù)的圖象判斷解的個數(shù)，即將方程解的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，對應(yīng)圖象有幾個交點(diǎn)，則方程有幾個解.[微題型

2]

求解參數(shù)的取值范圍問題【例3－2】已知a＞0，且a≠1，f(x)＝x2－ax，當(dāng)x∈(－1，211)時，均有

f(x)＜，則實(shí)數(shù)

a

的取值范圍是

.解析

由題知，當(dāng)

x∈(－1，1)時，f(x)＝x2－ax1

12

x函數(shù)y＝x211＜2，即x

－2＜a

.在同一坐標(biāo)系中分別作出二次－2，指數(shù)函數(shù)y＝ax

的圖象，如圖，當(dāng)x∈(－1，1)時，要使指數(shù)函數(shù)的圖象均在二次函數(shù)圖象的上方，需2≤a≤2

且a≠1.故實(shí)數(shù)a的1

2取值范圍是

，1∪(1，2].1

2答案

，1∪(1，2]規(guī)律方法

對于含有參數(shù)的函數(shù)求參數(shù)范圍時，一般是將含參數(shù)部分分離出來，轉(zhuǎn)化為一個已知函數(shù)和一個含有參數(shù)的

函數(shù)的問題，再借助圖象處理.[微題型3]

求不等式的解集【例3－3】已知函數(shù)y＝f(x)的圖象是圓x2＋y2＝2上的兩段弧，如圖所示，則不等式f(x)＞f(－x)－2x的解集是

.解析由圖象可知，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，故原不等式可等價(jià)轉(zhuǎn)化為f(x)＞－x，在同一直角坐標(biāo)系中分別畫出y＝f(x)與y＝－x的圖象，由圖象可知不等式的解集為(－1，0)∪(1，2].答案(－1，0)∪(1，2]規(guī)律方法

對于形如f(x)＞g(x)或可化為f(x)＞g(x)的不等式，可以分別作出函數(shù)f(x)，g(x)的圖象，找到f(x)的圖象位于g(x)的圖象上方部分所對應(yīng)的x的取值范圍，即為不等式f(x)＞g(x)的解集.【訓(xùn)練

3】(1)函數(shù)

f(x)＝2ln

x

的圖象與函數(shù)

g(x)＝x2－4x＋5

的圖象的交點(diǎn)個數(shù)為(

)A.3

B.2

C.1

D.0|x2－1|(2)已知函數(shù)y＝

x－1

的圖象與函數(shù)y＝kx－2

的圖象恰有兩個交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)

k

的取值范圍是

.解析

(1)在同一直角坐標(biāo)系下畫出函數(shù)

f(x)＝2ln

x

與函數(shù)g(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1

的圖象，如圖所示.∵f(2)＝2ln