PAGEPAGE1大數(shù)定理與中心極限定理doc第一篇：大數(shù)定理與中心極限定理doc第五章：大數(shù)定律與中心極限定理一，切貝謝夫不等式：0，有pXEXDX2或PXEX1nDX2二，序列Xn依概率收斂于a；0，有l(wèi)imPXna1三，大數(shù)定理：設X1,X2,是相互獨立的序列：EXi1、若均存在，且DXil，則有切貝謝夫定理．DXi1n1nPXiEXi10，有l(wèi)imnni1ni12、若：XBnp，即XXi1ni某事件發(fā)生的次數(shù)，則有XPp1貝努里大數(shù)定律；0，有l(wèi)imnn3、若Xi同分布，且EXia，則有辛欽大數(shù)定律1n0，有l(wèi)imPXia1nni1注：小概率原理四，中心極限定理：１、李亞普諾定理：相互獨立（同分布）的和服從正態(tài)分布即：設X1,,Xn相互獨立，則X２、拉普拉斯定理：若XBnp,i1n李說XiNE,XDX則paXpFbFa拉說例1、一個螺絲釘重量是個隨機變量，期期望是1兩，標準差是0.1兩，求一盒（100）個同型號螺絲釘?shù)闹亓砍^10.2斤的概率？EXi1解：設Xi=“一個螺絲釘?shù)闹亓俊?DXi(0.1)0.01X“一盒螺絲釘?shù)闹亓俊?00EXEXi100100李i1則XXiN(EX,DX)100i1DXDXi1000.011i1102100所求P(X102)1P(X102)1F(102)111(2)10.977250.022750例2．美、英戰(zhàn)機向基地組織投彈100次，每次命中目標的炸彈數(shù)目是一個隨機變量，期數(shù)學期望為2，方差為1.69。求在100次轟炸中有180顆到220XX彈命中目標的概率？EXi2解：設Xi=“第次命中目標得得炸彈數(shù)”DXi1.69X“100次命中得炸彈數(shù)”100EfEfi20XX00李i1則XXiN(EX,DX)其中100i1DfDfi169i1所求220XX0018020XX(180f220XXF(220XXF(180)1313(1.54)(1.54)2(1.54)10.87644例3．已知某電網(wǎng)10000盞燈，沒盞開著得概率為0.7，求有6800—720XX燈開著得概率？解：設X“開著得燈數(shù)”EXinp7000則XB(10000,0.7)DXinpq45.83所求為：720XXnp6800npP(6800X720XXF(720XXF(6800)拉=2(4.36)10.99999例4．一批產(chǎn)品次品率為0.005，求10000件產(chǎn)品中的次品數(shù)不大于70的概率？解：設X“10000件中的次品數(shù)”EXinp50則XB(10000,0.005)7.053,拉70np所求為P(X70)F(70)(2.84)0.9977第二篇：第五章大數(shù)定理與中心極限定理第五章大數(shù)定律與中心極限定理§1大數(shù)定律概率論中用來闡明大量隨機變量現(xiàn)象平均結(jié)果的穩(wěn)定性的一系列定理統(tǒng)稱大數(shù)定律。大數(shù)定律是一種表現(xiàn)必然性與偶然性之間的辨證關(guān)系的規(guī)律。由于大數(shù)定理的作用，大量的隨機因素的總合作用必然導致某種不依賴個別隨機事件的結(jié)果。為了證明一系列關(guān)于大數(shù)定律的定理，我們首先介紹切貝謝夫不等式。一、切貝謝夫不等式設隨機變量X的數(shù)學期望為E(X)及方差D(X)，若對于任意的正數(shù)，有下列不等式成立：即PXE(X)D(X)2，或PXE(X)1D(X)2。證設X是連續(xù)隨機變量，其密度函數(shù)為f(x)，則由P(XE(X))f(x)dxXE(X)(xE(x))2XE(x)2f(x)dx12(XE(X))f(x)dx2=D(X)2，所以有PXE(X)D(X)2。由對立事件，PXE(X)1D(X)2。切貝謝夫不等式的作用就在于在不知道分布，而僅知道期望和方差的情況下，可以估計隨機變量的概率。例在每次試驗中，事件A發(fā)生的概率為0.5。利用切貝謝夫不等式估計：在1000次試驗中的事件。因為和式中的每一項都是非負數(shù)，所以如果擴大求和范圍至隨機變量X一切可能值xi，則只能增大和式的值。因此A發(fā)生的次數(shù)在450至550次之間的概率。解設X表示在1000次試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，則X~B(1000,0.5)的二項分布，且有E(X)np500,D(X)npq250,P450X550=PX5005012505020.9450X550450500X500550500X50050，所以有P450X5500.9。特別是當3，則有PXE(x)30.8887，若知道X~N(,2)的正態(tài)分布，則有PXE(x)30.9974。二切貝謝夫大數(shù)定理設Xn為獨立隨機變量序列，具有有限的期望為EXi,(i1,2,,n)及方差DXi2,(i1,2,,n)若對于任意的正數(shù)，恒有1limPnnni1Xinni11E(Xi)1?；騦imPnnni1Xinni1E(Xi)0.證因為E（11nni1nXi)1nnEXii1，D（nXi)ni11nnDXii1n。對隨機變量Xi應用切貝謝夫不等式得ni1n1Pni1Xi1nnEXii112n。當n時，得到1limPnn1limPnnni1nXi1n1ni1nEXi1。但概率不能大于一，所以我們有1。XinEXii1i1切貝謝夫定理的意義可以作如下解釋：獨立隨機變量X1,X2,,Xn的算術(shù)平均值X1nni1Xi，當n時，與其真值是相同的。推論設獨立隨機變量X1,X2,,Xn服從同一分布，并且有數(shù)學期望a及方差2，則X1,X2,,Xn的算術(shù)平均值，當n時，按概率收斂于數(shù)學期望a，即對于任何正數(shù)，恒有1limPnnni1Xia1。（5.4）三、貝努里大數(shù)定律在n次獨立試驗中，事件A發(fā)生的頻數(shù)為nA，P(A)p,P(A)q,0p1nAlimPp當試驗次數(shù)無限增大時(n)，頻率按概率收斂于它的概率。即n1。nn證設在第i次試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)Xi(i1,2,,n,)。由貝努里試驗知，X1ni1,2,,n。EAnnnXi，i1EXip,DXipq,EXii1nnpnp，i11n又DA2nnni1pqp(1p)nnn2Pp1所以有由切貝謝夫不等式，則有AlimPp1。這就在理論上證明了頻率收斂于概率，也就是我們在第一章中用頻率nnn來代替概率計算的理論根據(jù)?！?中心極限定理概率論中有關(guān)論證明隨機變量和的極限分布是正態(tài)分布的一系列定理，叫做中心極限定理。一、獨立同分布中心極限定理設X1,X2,,Xn,是獨立同分布的隨機變量，具有有限的期望EXi,及方差D(Xi)2nnni1,2,,n。設隨機變量nnnni1Xi，則有Eni1n,Dni1n。設n，En0,Dn1。若對任意的實數(shù)x，有l(wèi)imPnxn12xetdt，當n時，有nN(0,1)標準正態(tài)分布。二、棣莫佛-拉普拉斯中心極限定理設隨機變量n(n1,2,)服從參數(shù)為n,p(0p1)的二項分布，對任意的區(qū)間(a,b)，恒有l(wèi)imPannnpnpqnb12abetdt(b)(a)。證：設ni11,第i次A發(fā)生Xi,而Xi0，第i次A不發(fā)生，EXip,DXipq,i1,2,,n將隨機變量n(n1,2,)標準化，YnnnpxlimPnnpqxtnnpnpq,則由獨立同分布中心極限定理，有edt(x)，tnnpb若對任意的區(qū)間(a,b)有l(wèi)imPannpq12aebdt。更一般地Px1Xx2Px1npnpqXnpnpqx2npx1npx2np()()，npqnpqnpq稱這個公式為棣莫佛-拉普拉斯中心極限定理。例某運輸公司有500輛汽車參加保險，在一年內(nèi)汽車出事故的概率為0.006，參加保險的汽車每年交800元的保險費，若出事故最多可得保險費50000元，求在一年內(nèi)保險公司賺錢不小于20XX0元的概率。解設X表示500輛汽車中出事故的車輛數(shù)，則X~B(500,0.006)的二項分布，而np5000.0063,npq30.9942.982，保險公司賺錢不小于20XX0元的事件X4，即求P(0X4)，12.98232.982)50080050080050000X20XX0032.982X32.982事件0因此P(0X4)P43(2.982)（=(0.579)(1.737)0.7190.959110.7781.所以保險公司賺錢不小于20XX0元的概率為0.7781。例假設生產(chǎn)線上組裝每件成品的時間服從指數(shù)分布，統(tǒng)計資料表明該生產(chǎn)線每件成品的組裝時間平均為10分鐘，各件產(chǎn)品的組裝時間相互獨立。（1）試求組裝100件成品需要15至20XX的概率；（2）以95%的概率在16小時之內(nèi)最多可以組裝多少成品？解設Xi(i1,2,,100)是第i件成品的組裝時間，由條件知：X1,,X100服從獨立指數(shù)分布，且EXi10(分鐘)，DXi102（1）由于n100充分大，根據(jù)中心極限定理定理，100件成品的組裝時間Xi近似服從i1正態(tài)分布N(10010,100102)，因此，有Xi120XXP1P900i1Xi1001010i12(2)(1)0.9772(10.8413)0.8185其中9001560,120XX20XX0,(x)是N(0,1)分布函數(shù)。（2）16小時即960分鐘，要求確定n，使nPXi9600.95i1n由于當n充分大時，Xi近似服從正態(tài)分布N(10n,102n)，可見i1NxI10n96010n96010ni10.95Pn10n10n另一方面，查表可求(1.645)0.95于是，有96010n10n1.645（*）由此，得方程100n219470.6025n96020其解為n181.18,n2113.53，其中n2不滿足（*），為增根。于是，在16個小時之內(nèi)以概率0．95最多組裝81或82件產(chǎn)品。習題五、2；4；6；9；13；15。第三篇：第五章大數(shù)定理及中心極限定理0.***4第五章大數(shù)定理及中心極限定理一、選擇題1.已知的Xi密度為f(xi)(i1,2,,100),且它們相互獨立,則對任何實數(shù)x,概率P{Xii1100x}的值為(C).100A.無法計算B.xixi1100[f(xi)]dx1dx100i1C.可以用中心極限定理計算出近似值D.不可以用中心極限定理計算出近似值2.設X為隨機變量,EX,DX2,則P{|X|3}滿足(A).A.B.C.D.13193.設隨機變量X1,X2,,X10相互獨立,且EXi1,DXi2(i1,2,,10)，則（C）A.P{Xi1}1B.P{Xi1}122i110i11010C.P{Xi10}120XX.P{Xi}120XX22i1i14.設對目標獨立地發(fā)射400發(fā)炮彈,已知每發(fā)炮彈的命中率為0.2由中心極限定理,則命中60發(fā)～100發(fā)的概率可近似為(C).A.(2.5)B.2(1.5)1C.2(2.5)1D.1(2.5)5.設X1,X2,,Xn獨立同分布,EXi,DXi2,i1,2,,n,當n30時,下列結(jié)論中錯誤的是(C).A.Xi近似服從N(n,n2)分布i1nnXin近似服從N(0,1)分布C.X1X2服從N(2,22)分布D.Xi不近似服從N(0,1)分布i1n6.設X1,X2,為相互獨立具有相同分布的隨機變量序列,且Xii1,2,服從參數(shù)為2的指數(shù)分布,則下面的哪一正確?(D)nnXn2XniiA.limPxx;B.limPxx;nnnnX2X2iiC.limPxx;D.limPxx;nn其中x是標準正態(tài)分布的分布函數(shù).二、填空題1、設n是n次獨立重復試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，P(A)p,q1p，nnp[a,b]則對任意區(qū)間有l(wèi)imPab＝nnpq2、設n是n次獨立重復試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，p是事件A在每次試驗中發(fā)生的概率，則對于任意的0，均有l(wèi)imP|np|=.nn3、一顆骰子連續(xù)擲4次，點數(shù)總和記為p(10X18)X，估計4、已知生男孩的概率為0.515，求在1000個新生嬰兒中女孩不少于男孩的概率=.第四篇：04第四節(jié)大數(shù)定理與中心極限定理第四節(jié)大數(shù)定理與中心極限定理概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的學科.而隨機現(xiàn)象的規(guī)律性在相同的條件下進行大量重復試驗時會呈現(xiàn)某種穩(wěn)定性.例如,大量的拋擲硬幣的隨機試驗中,正面出現(xiàn)頻率;在大量文字資料中,字母使用頻率;工廠大量生產(chǎn)某種產(chǎn)品過程中,產(chǎn)品的廢品率等.一般地,要從隨機現(xiàn)象中去尋求事件內(nèi)在的必然規(guī)律,就要研究大量隨機現(xiàn)象的問題.在生產(chǎn)實踐中,人們還認識到大量試驗數(shù)據(jù)、測量數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值也具有穩(wěn)定性.這種穩(wěn)定性就是我們將要討論的大數(shù)定律的客觀背景.在這一節(jié)中，我們將介紹有關(guān)隨機變量序列的最基本的兩類極限定理大數(shù)定理和中心極限定理.內(nèi)容分布圖示★大數(shù)定理的引入★切比雪夫不等式★例1★例2★大數(shù)定理★中心極限定理的引入★林德伯格—勒維定理★例3★例6★推論大數(shù)定理★棣莫佛—拉普拉斯定理★例4★例5★例7★例8★高爾頓釘板試驗中心極限定理★內(nèi)容小結(jié)★課堂練習★習題4-4內(nèi)容要點：一、依概率收斂與微積分學中的收斂性的概念類似,在概率論中,我們要考慮隨機變量序列的收斂性.定義1設X1,X2,,Xn,是一個隨機變量序列,a為一個常數(shù),若對于任意給定的正數(shù),有l(wèi)imP{|Xna|}1,則稱序列X1,X2,,Xn,依概率收斂于a,記為nXnaP(n).PP定理1設Xna,Ynb,又設函數(shù)g(x,y)在點(a,b)連續(xù),則g(Xn,Yn)g(a,b).P二、切比雪夫不等式定理2設隨機變量X有期望E(X)和方差D(X)2,則對于任給0,有P{|X|}22.上述不等式稱切比雪夫不等式.注：(i)由切比雪夫不等式可以看出,若2越小,則事件{|XE(X)|}的概率越大,即,隨機變量X集中在期望附近的可能性越大.由此可見方差刻劃了隨機變量取值的離散程度.(ii)當方差已知時,切比雪夫不等式給出了X與它的期望的偏差不小于的概率的估計式.如取3,則有P{|XE(X)|3}9220.111.故對任給的分布,只要期望和方差2存在,則隨機變量X取值偏離E(X)超過3的概率小于0.111.三、大數(shù)定理1．切比雪夫大數(shù)定律定理3(切比雪夫大數(shù)定律)設X1,X2,,Xn,是兩兩不相關(guān)的隨機變量序列,它們數(shù)學期望和方差均存在,且方差有共同的上界,即D(Xi)K,i1,2,,則對任意0,有1limPnnni1Xi1nni1E(Xi)11nn注:定理表明:當n很大時,隨機變量序列{Xn}的算術(shù)平均值學期望2．伯努利大數(shù)定理1nni1Xi依概率收斂于其數(shù)E(X).ii1定理4(伯努利大數(shù)定律)設nA是n重伯努利試驗中事件A發(fā)生的次數(shù),p是事件A在每次試驗中發(fā)生的概率,則對任意的0,有nnlimPAp1或limPAp0.nnnn注：(i)伯努利大數(shù)定律是定理1的推論的一種特例,它表明:當重復試驗次數(shù)n充分大時,事件A發(fā)生的頻率nAn依概率收斂于事件A發(fā)生的概率p.定理以嚴格的數(shù)學形式表達了頻率的穩(wěn)定性.在實際應用中,當試驗次數(shù)很大時,便可以用事件發(fā)生的頻率來近似代替事件的概率.(ii)如果事件A的概率很小，則由伯努利大數(shù)定律知事件A發(fā)生的頻率也是很小的，或者說事件A很少發(fā)生.即“概率很小的隨機事件在個別試驗中幾乎不會發(fā)生”，這一原理稱為小概率原理，它的實際應用很廣泛.但應注意到，小概率事件與不可能事件是有區(qū)別的.在多次試驗中，小概率事件也可能發(fā)生.3．辛欽大數(shù)定理定理5(辛欽大數(shù)定律)設隨機變量X1,X2,,Xn,相互獨立,服從同一分布,且具有數(shù)學期望E(Xi),i1,2,,則對任意0,有1limPnnni1Xi1.注:(i)定理不要求隨機變量的方差存在;(ii)伯努利大數(shù)定律是辛欽大數(shù)定律的特殊情況;(iii)辛欽大數(shù)定律為尋找隨機變量的期望值提供了一條實際可行的途徑.例如,要估計某地區(qū)的平均畝產(chǎn)量,可收割某些有代表性的地塊,如n塊,計算其平均畝產(chǎn)量,則當n較大時,可用它作為整個地區(qū)平均畝產(chǎn)量的一個估計.此類做法在實際應用中具有重要意義.四、中心極限定理在實際問題中,許多隨機現(xiàn)象是由大量相互獨立的隨機因素綜合影響所形成,其中每一個因素在總的影響中所起的作用是微小的.這類隨機變量一般都服從或近似服從正態(tài)分布.以一門大炮的射程為例,影響大炮的射程的隨機因素包括:大炮炮身結(jié)構(gòu)的制造導致的誤差,炮彈及炮彈內(nèi)炸藥在質(zhì)量上的誤差,瞄準時的誤差,受風速、風向的干擾而造成的誤差等.其中每一種誤差造成的影響在總的影響中所起的作用是微小的,并且可以看成是相互獨立的,人們關(guān)心的是這眾多誤差因素對大炮射程所造成的總影響.因此需要討論大量獨立隨機變量和的問題.中心極限定理回答了大量獨立隨機變量和的近似分布問題,其結(jié)論表明:當一個量受許多隨機因素(主導因素除外)的共同影響而隨機取值,則它的分布就近似服從正態(tài)分布.1．林德伯格—勒維定理定理6(林德伯格—勒維)設X1,X2,,Xn,是獨立同分布的隨機變量序列,且E(Xi),D(Xi),i1,2,,n,2則nXini1limPxnnx12et2/2dt注:定理6表明:當n充分大時,n個具有期望和方差的獨立同分布的隨機變量之和近似服從正態(tài)分布.雖然在一般情況下,我們很難求出X1X2Xn的分布的確切形式,但當n很大時,可求出其近似分布.由定理結(jié)論有ni1Xinn1近似n~N(0,1)ni1Xin近似/~N(0,1)X~N(,22/n),X1nni1Xi.故定理又可表述為:均值為,方差的0的獨立同分布的隨機變量X1,X2,,Xn,的算術(shù)平均值X,當n充分大時近似地服從均值為,方差為2/n的正態(tài)分布.這一結(jié)果是數(shù)理統(tǒng)計中大樣本統(tǒng)計推斷的理論基礎(chǔ).2.棣莫佛—拉普拉斯定理在第二章中，作為二項分布的正態(tài)近似，我們曾經(jīng)介紹了棣莫佛—拉普拉斯定理，這里再次給出，并利用上述中心極限定理證明之.定理7（棣莫佛—拉普拉斯定理）設隨機變量Yn服從參數(shù)n,p(0p1)的二項分布,則對任意x,有YnnplimPxnnp(1p)x12et22dt(x)注:易見，棣莫佛—拉普拉斯定理就是林德伯格—勒維定理的一個特殊情況.3．用頻率估計概率的誤差設n為n重貝努里試驗中事件A發(fā)生的頻率,p為每次試驗中事件A發(fā)生的概率,q1p,由棣莫佛—拉普拉斯定理,有nPpPnnpqnnpnpqnpqn1.pqnpqn2pq這個關(guān)系式可用解決用頻率估計概率的計算問題:4.李雅普諾夫定理定理8（李雅普諾夫定理）設隨機變量X1,X2,,Xn,相互獨立,它們具有數(shù)學期望n和方差:E(Xk)k,n時,D(Xk)2k0,i1,2,，記B2n.若存在正數(shù),使得當k12k1Bn2nnE{|k1Xkk|2}0，則隨機變量之和Xk的標準化變量:k1nZnk1nXkEXkk1DXkk1nnnkXk1Bnk1k的分布函數(shù)Fn(x)對于任意x,滿足nnXkkk1k1limFn(x)limPxnnBnx12et/22dt(x).注：定理8表明,在定理的條件下,隨機變量nnZnk1XkBnk1k.nn當n很大時,近似地服從正態(tài)分布N(0,1).由此,當n很大時,XkBnZnk近似地服k1k1n2.這就是說,無論各個隨機變量Xk(k1,2,)服從什么分布,只要滿從正態(tài)分布N,Bknk1n足定理的條件,那么它們的和Xk當n很大時,就近似地服從正態(tài)分布.這就是為什么正態(tài)隨k1機變量在概率論中占有重要地位的一個基本原因.在很多問題中,所考慮的隨機變量可以表示成很多個獨立的隨機變量之和,例如,在任一指定時刻,一個城市的耗電量是大量用戶耗電量的總和;一個物理實驗的測量誤差是由許多觀察不到的、可加的微小誤差所合成的,它們往往近似地服從正態(tài)分布.例題選講：切比雪夫不等式例1(講義例1)已知正常男性成人血液中,每一毫升白細胞數(shù)平均是7300,均方差是700.利用切比雪夫不等式估計每毫升白細胞數(shù)在520XX9400之間的概率.解設每毫升白細胞數(shù)為X,依題意,7300,27002，P{520XXX9400}P{520XX7300X730094007300}P{2100X2100}P{|X|2100}.所求概率為由切比雪夫不等式P{|X|2100}1222/(2100)1(700/2100)11/98/9，即每毫升白細胞數(shù)在520XX~9400之間的概率不小于8/9.例2在每次試驗中,事件A發(fā)生的概率為0.75,利用切比雪夫不等式求:事件A出現(xiàn)的頻率在0.74~0.76之間的概率至少為0.90?解設X為次試驗中,事件A出現(xiàn)的次數(shù),則X~b(n,0.75),0.75n,20.750.25n0.1875n，所求為滿足P{0.74X/n0.76}0.90的最小的n.P{0.74X/n0.76}可改寫為P{0.74nX0.76n}P{0.01nX0.75n0.01n}P{|X|0.01n}在切比雪夫不等式中取0.01n,則P{0.74X/n0.76}P{|X|0.01n}122/(0.01n)210.1875n/0.0001n11875/n依題意,取n使11875/n0.9,解得n1875/(10.9)1875,0即n取18750時,可以使得在n次獨立重復試驗中,事件A出現(xiàn)的頻率在0.74~0.76之間的概率至少為0.90.中心極限定理例3(講義例2)一盒同型號螺絲釘共有100個,已知該型號的螺絲釘?shù)闹亓渴且粋€隨機變量,期望值是100g,標準差是10g,求一盒螺絲釘?shù)闹亓砍^10.2kg的概率.解設為第i個螺絲釘?shù)闹亓?i1,2,,100，100且它們之間獨立同分布,于是一盒螺絲釘?shù)闹亓繛閄Xi1i，且由E(Xi)100,D(Xi)10,n100，知E(X)100E(Xi)10000,由中心極限定理有P{X1020XXPnD(X)100，i1Xinn1020XXnX10000pn1001020XX10000100X10000X10000P21P21001001(2)10.977250.02275.例4(講義例3)計算機在進行數(shù)學計算時,遵從四舍五入原則.為簡單計.現(xiàn)在對小數(shù)點后面第一位進行舍入運算,則誤差X可以認為服從[0.5,0.5]上的均勻分布.若在一項計算中進行了100次數(shù)字計算,求平均誤差落在區(qū)間[3/20XX/20XX的概率.解n100,用Xi表示第i次運算中產(chǎn)生的誤差.相互獨立,都服從[0.5,0.5]上的均勻分布,X1,X2,,X100且E(Xi)0,var(Xi)1/12,i1,2,,100,從而Y100100i1Xi1000100/1235100i1近似Xi~N(0,1).故平均誤差X1100100i133,Xi落在20XX上的概率為3331PXP20XX0020XX20XX0i1Xi320XX3P35100i1Xi3(3)(3)0.9973.例5(講義例4)某公司有20XX員工參加一種資格證書考試.按往年經(jīng)驗考試通過率為0.8,試計算這20XX員工至少有150人考試通過的概率.解1,令10,第i人通過考試第i人未通過考試,i1,2,,20XX依題意,P{Xi1}0.8,np20XX0.8160,np(1p)32.20XX1Xi是考試通過人數(shù),由中心極限定理4,得P{XiX160/32~N(0,1)，150}P{X160/32}150160/20XX似i1i20XXi32P{20XX1Xi160/321.77}1(1.77)(1.77)0.96,即至少有150名員工通過這種考試的概率為0.96.例6(講義例5)某市保險公司開辦一年人身保險業(yè)務,被保險人每年需交付保險費160元,若一年內(nèi)發(fā)生重大人身事故,其本人或家屬可獲2萬元賠金.已知該市人員一年內(nèi)發(fā)生重大人身事故的概率為0.005,現(xiàn)有5000人參加此項保險,問保險公司一年內(nèi)從此項業(yè)務所得到的總收益在20XX40萬元之間的概率是多少?解記Xi1,若第i個被保險人發(fā)生重大事0,若第i個被保險人未發(fā)生重大故事故(i1,2,,5000)于是Xi均服從參數(shù)為p0.005的兩點分布,且p{Xi1}0.005,np25.5000i1Xi是5000個被保險人中一年內(nèi)發(fā)生重大人身事故的人數(shù),保險公司一年內(nèi)從此5000i1項業(yè)務所得到的總收益為0.01650002于是Xi萬元.5000P20XX.01650002Xi40P20XXi15000i1Xi30P20XX5250.9955000i1Xi25250.995(1)(1)0.6826250.9953025例7對于一個學校而言,來參加家長會的家長人數(shù)是一個隨機變量,設一個學生無家長,1名家長,2名家長來參加會議的概率分別0.05,0.8,0.15.若學校共有400名學生,設各學生參加會議的家長數(shù)相互獨立,且服從同一分布.求參加會議的家長數(shù)X超過450的概率.解以Xk(k1,2,,400)記第k個學生來參加會議的家長數(shù),則Xk的分布律為Xkpk00.0510.820XX5400易知E(Xk)1.1,D(Xk)0.19,k1,2,,400,而XXk1k,由定理3,隨機變量400Xk1k4001.1X4001.14000.190.19近似~400N(0,1),故X4001.14504001.1P{X450}P4000.194000.19X4001.11P1.1474000.191(1.147)0.1357.例8設有1000人獨立行動,每個人能夠按時進入掩蔽體的概率為0.9.以95%概率估計,在一次行動中,至少有多少人能進入掩蔽體.解用Xi表示第i人能夠按時進入掩蔽體,令SnX1X2X1000.設至少有m人能進入掩蔽體,則要求P{mSn}0.95,Sn90090{mSn}m10000.910000.90.1Sn90090近似由中心極限定理,有~N(0,1),所以m900Sn900S900m900P{mSn}Pn1P90909090查正態(tài)分布數(shù)值表,得m900901.65,故m90015.65884.35884人.課堂練習某地有甲、乙兩個電影院競爭當?shù)孛刻斓?000名觀眾,觀眾選擇電影院是獨立的和隨機的.問:每個電影院至少應設有多少個座位,才能保證觀眾因缺少座位而離去的概率小于1%?第五篇：第四章大數(shù)定律與中心極限定理第四教學目的：大數(shù)定律與中心極限定理1．使學員理解隨機變量序列依概率收斂、按分布收斂的含義，知道兩種收斂的關(guān)系，理解連續(xù)性定理的意義。2．使學員牢固掌握馬爾科夫大數(shù)定律、辛欽大數(shù)定律及其證明、理解契貝曉夫、貝努力里大數(shù)定律的意義。3．使學員能熟練應用DeMoivre-Laplace中心極限定理作近似計算及解決生產(chǎn)、生活中的實際問題。4．使學員掌握、獨立同分布場合下的Lindeberg-Leve中心極限定理的證明及應用，知道德莫佛—拉斯定理是其特例。本課程一開始引入事件與概率的概念時，我們就知道就一次試驗而言，一個隨機事件可以出現(xiàn)也可不出現(xiàn)，但作大量的重復試驗則呈現(xiàn)出明顯的規(guī)律性——統(tǒng)計規(guī)律性。即，任一事件出現(xiàn)的頻率是穩(wěn)定于某一固定數(shù)的，這固定數(shù)就是該事件在一次試驗下發(fā)生的概率，這里說的“頻率穩(wěn)定于概率”實質(zhì)上是頻率依某種收斂意義趨于概率，“大數(shù)定律”就是解釋這一問題的。另外在前一章介紹正態(tài)分布時，我們一再強調(diào)正態(tài)分布在概率統(tǒng)計中的重要地位和作用，為什么實際上有許多隨機現(xiàn)象會遵循正態(tài)分布？這僅僅是一些人的經(jīng)驗猜測還是確有理論依據(jù)，“中心極限定理”正是討論這一問題的?！?.2*隨機變量序列的兩種收斂性假設1(),2(),,n(),是定義在同一概率空間（，F(xiàn),P）上的一列隨機變量，顯然，其中每個r.v，k()可以看成是定義在概率空間上的一個有限可測函數(shù)，因此，我們*§4.2使用的是原教材的編號，是方便學員看書復習?？梢韵笤趯嵶兒瘮?shù)論中對可測函數(shù)列定義收斂性一樣，給出隨機變量列{k()}的收斂性概念。以下我們討論時，總假定r.v列{n}和r.v.都是定義在同一概率空間（，F(xiàn),P）上的，對于某樣本點0，顯然{n(0)}可視為一普通實數(shù)列，(0)則可看作一實數(shù)，此時若有l(wèi)imn(0)(0)，則稱隨機變量列{n}在點0收斂到。若對任意，均有nlimn()()，則稱{n}在上點點收斂到。但在本章的討論中，我們沒有必n要對{n}要求這么高，一般是考慮下面給出的收斂形式。定義4.2設有一列隨機變量,1,2,，如對任意的＞0，有l(wèi)imP{:n()()}0（4.6）n則稱{n}依概率收斂到，并記作4.6limnPnP,4.6或n（4.6）式也等價于limP{n}}0n從定義可見，依概率收斂就是實函中的依測度收斂。時，其相我們知道，隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律由它的分布函數(shù)完全刻劃，當n應的分布函數(shù)Fn(x)與F(x)之間的關(guān)系怎樣呢？例4．2設n(n1)及都服從退化分布：P1P{n}1,n1,2,nP{0}1對任給＞0，當n＞1時，有P{n}P{n}02,(n)所以nP10n而n的d.f為Fn(x)1x1nx的d.f為F(x)01x0x0易驗證當x0時，有Fn(x)→F(x)（n→）但x0時，F(xiàn)n(0)1不趨于F(0)0上例表明，一個隨機變量依概論收斂到某隨機變量，相應的分布函數(shù)不是在每一點都收斂，但如果仔細觀察這個例，發(fā)現(xiàn)不收斂的點正是F(x)的不連續(xù)點，類似的例子可以舉出很多，使人想到要求Fn(x)在每一點都收斂到F(x)是太苛刻了，可以去掉F(x)的不連續(xù)點來考慮。定義4.3設{Fn(x)}為一分布函數(shù)序列，如存在一個函數(shù)F(x)，使在F(x)的每一連續(xù)點x，都有l(wèi)imFn(x)F(x)n則稱分布函數(shù)列{Fn(x)}弱收斂于F(x)，并F(x)n（4.7）記作Fn(x)定義4.3設r.v.n(n1)和的分布函數(shù)分別為Fn(x)，F(xiàn)(x)，若WLFn(x)F(x)n，則稱n按分布收斂于，并記作n（n）W，則n定理4.4若n證對于xR,任取xx，因有PL(x)(nx,x)(nx,x)(nx)(nx,x)故P(x)P(nx)P(nx,x)即F(x)Fn(x)P(nxx)，故P(nxx)0因n所以有F(x)limFn(x)nP同理可證，對xx有F(x)limFn(x)n于是對任意xxx有F(x)limFn(x)limFnF(x)nn令xx,xx，有F(x0)limFn(x)limFnF(x0)nn若x是F(x)的連續(xù)點，就有l(wèi)imFn(x)F(x)。證畢。此定理的逆不真。n例4.3拋擲一枚均勻硬幣，記1=“出現(xiàn)正面”，2=“出現(xiàn)反面”則P(1)P(2)1211令n()n=1，2，??02()10211因Fn(x)與F(x)完全相同，顯然有Fn(x)→F(x)對xR成立。但P{n12}P(n0,1)P(n1,1)=P11111。對n1成立22222不成立?！鄋一般來說，按分布收斂不能推出依概率收斂，但在特殊情況下，卻有下面的結(jié)果。n,定理4.5設C是一常數(shù)，P(C)1，則n（即n，CnC）PLPL證（）由定理4.1推得（）（不妨就設C）對任給0，有P{nC}P(nC)P(nC)1Fn(C)Fn(C0)(4.8)因C的分布函數(shù)為0xCWF(x)F(x)只在xc處不連續(xù)，而c處都是連續(xù)的，由Fn(x)1xC在（(4.8）中令n得limP(nc)1100n本章將要向大家介紹的大數(shù)定律實際上就是隨機變量列依概率收斂于常數(shù)的問題，由定理4.5知，它可歸結(jié)為相應的分布函數(shù)列弱收斂于一退化分布，而中心極限定理就是隨機變量的分布函數(shù)列弱收斂問題，可見分布函數(shù)列的弱收斂在本章討論中占重要地位。然而，要直接判斷一個分布函數(shù)列是否弱收斂是很困難的上一章我們就知道，分布函數(shù)與特征函數(shù)一一對應，而特征函數(shù)較之分布函數(shù)性質(zhì)優(yōu)良很多，故判斷特征函數(shù)的收斂一般較易，那么是否有WFnxF(x)相應的n(t)(t)答案是肯定的。定理4.6分布函數(shù)列{Fn(x)}弱收斂于分布函數(shù)F(x)的充要條件是相應的特征函數(shù)列{n(t)}收斂于F(x)的特征函數(shù)(t)例4.4若～P()證明1limP(x)2xet22dt隨機變量到依pr收斂具有如下性質(zhì)。a,nb定理4.7（斯魯茨基）若nPP則有（1）nPnab（2）b0時，nPanbP，f(x)為連續(xù)函數(shù)書P220XX4.8nf()（4.9）則有f(n)P§4.1大數(shù)定律本章一開始我們就指出大數(shù)定律是從討論“頻率穩(wěn)定于概率”這件事引入的，概率的發(fā)展史上，這件事又是從貝努里試驗這個概型入手的。設事件A在一次試驗中發(fā)生的概率為P，將試驗獨立重復地進行n次，如果其中事件A發(fā)生的次數(shù)為n，則nn就是這n次試驗中事件A發(fā)生的頻率。所謂頻率nn穩(wěn)定到概率P，是指當n增大時，斂。nn依某種收斂意義向P逼近。很容易驗證，這里的收斂意義不是普通的收limnnnP（4.1）事實上，（4.1）意味著，對任給0，能找到N，當nN時，有nnP4.1我們知道，在n重貝努里試驗中，不管n多大，{A出現(xiàn)n次}這一結(jié)果都是可能發(fā)生的，當這個結(jié)果發(fā)生時，nn，即nnP1P，因此，對于01P，不管N取多大，nP不發(fā)生的可n也不能保證nN時（4.1）′成立。但可以想見，當n很大時，6能性很小了，比如PnP1Pn0(n)。于是猜想可能有nP。這個猜想nn是正確的，其證明暫放后一步?，F(xiàn)不妨先承認有事實nnPP（4.2）若令k1,第k次試驗A發(fā)生k1,2,0,第k次試驗A不發(fā)生則（4.2）意味著1n1nPkE(k)nk1nk1上式反映出大量隨機現(xiàn)象的平均結(jié)果具有的一種穩(wěn)定性，我們稱之為大數(shù)定律。k為一隨機變量序列，它們具有有限的數(shù)學期望Ek,k1,2。定義4.1，設1nPPEn（或（nEn）k服從大令nk，若n，則稱隨機序列0）nk1數(shù)定律。下面的定理給出隨機序列服從大數(shù)律的一個充分條件。k是一列兩兩不相關(guān)的隨機變量序列，其中每一隨定理4.1（契貝曉夫大數(shù)定律）設機變量都有有限的數(shù)學期望和方差，且方差有公共上界：DkC,(C為常數(shù));K1,2,k服從大數(shù)定律。則證明：只須證，對任給0，均有1n1nP{kEk}0(0)（4.3）nk1nk1由契貝曉夫不等式1n1n0PkEknk1nk1下面我們來證明（4.2）式1nD(k)nk12Cn2(n)0定理4.2（貝努里大數(shù)定律）設n是n重貝努重試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，每次試驗都有P(A)P,則nnPP。k，則EkP,DkP(1P)[證明]照（4.2）定義隨機序列1,k1,2,4k服從大數(shù)律，因此由定理4.1知，k1nkPEkk1nnn,這就是nnPP，k服從大上面所述的兩個大數(shù)定律，后一個是前一個的特款，從定理4.1的證明看出，數(shù)律的一個充分條件是D(k)k12nn0(n)(4.4)(4.4)所示的條件常稱為馬爾可夫條件，由此得如下的馬爾可夫大數(shù)定律（書P222習題4.23）k滿足（4.4）所示的馬爾可夫條件，則它服從大數(shù)定律。若隨機變量序列證：對任給0，由契貝曉夫不等式，有1n1n0PkEknk1nk1D(k)nk122n再由(4.4)立得結(jié)論。k相互獨立的條件。另方面，顯然定理4.1我們注意到，馬爾可夫大數(shù)律并沒有附加又是它的特款。因此，上面所述的三個大數(shù)定律，馬爾可夫大數(shù)律才是最基本的，當然，它的條件也是充分而非必要的。我們還注意到上面的三個大數(shù)定律，其證明都要依靠契貝曉夫不等式，所以要求隨機變量的方差存在。但進一步的研究表明，方差存在這個條件并不一定必要。比如在獨立同分布的場合，就可去掉這個條件。著名的俄國數(shù)學家XИНЧИН證明了這點。定理4.3（辛欽大數(shù)定律）設k為相互獨立，同分布的隨機序列，具有有限的數(shù)學期望Eka(a為常數(shù))，則k服從大數(shù)定律。證：因1,2,同分布，故有相同的特征函數(shù)(t),又Eka在t=0處展開，有(0)i，將（t）(t)(0)(0)t0(t)1iat0(t)1n由1,2,相互獨立，得nk的特征函數(shù)為nk1tttgn(t)[()]n[1ia0()]nnnnttnL1iata，再由定對于任意tR,limgn(t)lim[1ia0()]e，由定理4.6知nnnnna，即k服從大數(shù)定理。理4.5得nP貝努里大數(shù)定律顯然是辛欽大數(shù)定律的特款。k為獨立同分布隨機變量序列，存在Ena,Dn，令例4.1設21n1n2nk,Sn(kn)2nk1nk1證明Sn2P2ki·證：i·d則{n}亦i·i·d21n2Pa，k(2a2)由辛欽大數(shù)律nnk1Pa由（4.9），(n)2P21n2P2由斯魯茨基定理Sk(n)2（4.5）nk12n§4.3中心極限定