高等數(shù)學(xué)第一章函數(shù)第二章極限與連續(xù)第三章導(dǎo)數(shù)與微分第四章微分中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第五章不定積分第六章定積分及應(yīng)用第七章常微分方程第八章向量代數(shù)與空間解析幾何第九章無窮級數(shù)第十章線性代數(shù)基礎(chǔ)全套PPT課件第一章函數(shù)第一節(jié)函數(shù)及其性質(zhì)第二節(jié)反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)第三節(jié)初等函數(shù)第一節(jié)函數(shù)及其性質(zhì)集合、區(qū)間及點的鄰域一、1.集合集合概念是數(shù)學(xué)中的一個最基本的概念，一般可以把集合（簡稱集）理解為具有某種特定性質(zhì)的事物的總體。例如，某學(xué)校全體師生組成的一個集合；某學(xué)校某個班級的全體同學(xué)組成的一個集合；全體實數(shù)組成的一個集合；全體正整數(shù)組成的一個集合等。集合中的每個事物稱為集合的元素（簡稱元）。

第一節(jié)

函數(shù)及其性質(zhì)如果一個集合只含有有限個元素，那么稱這個集合為有限集；不是有限集的集合稱為無限集。例如，全體英文字母組成的一個集合是有限集，全體整數(shù)組成的集合是無限集。

第一節(jié)

函數(shù)及其性質(zhì)習(xí)慣上，全體實數(shù)組成的集合記作R，即R={x|x為實數(shù)}；全體有理數(shù)組成的集合記作Q，即Q={x|x為有理數(shù)}；全體整數(shù)組成的集合記作Z，即Z={x|x為整數(shù)}；全體自然數(shù)組成的集合記作N，即N={x|x為自然數(shù)}。第一節(jié)

函數(shù)及其性質(zhì)設(shè)A，B是兩個集合，如果集合A中的元素都是集合B中的元素，則稱集合A是集合B的子集，記作A?B（讀作A包含于B）或B?A（讀作B包含A）如果集合B與集合A互為子集，即A?B且B?A，則稱集合B與集合A相等，記作A=B

特別地，不包含任何元素的集合稱為空集記作?．并規(guī)定空集是任何集合的子集。第一節(jié)

函數(shù)及其性質(zhì)

注意以后用到的集合主要指數(shù)集，即元素都是數(shù)的合。如果沒有特別聲明，以后提到的數(shù)都是指實數(shù)。第一節(jié)

函數(shù)及其性質(zhì)設(shè)A，B是兩個集合，由所有屬于A或者屬于B的元素組成的集合，稱為A與B的并集（簡稱并），記作A∪B，即A∪B={x|x∈A或x∈B}由所有既屬于A又屬于B的元素組成的集合，稱為A與B的交集（簡稱交），記作A∩B，即A∩B={x|x∈A且x∈B}由所有屬于A而不屬于B的元素組成的集合，稱為A與B的差集（簡稱差），記作A\B，即A\B={x|x∈A且x?B}特別地，若集合B包含于集合A(即BA)，則稱A\B為B關(guān)于A的余集，或稱為補(bǔ)集，記作。第一節(jié)

函數(shù)及其性質(zhì)集合的并、交、差運(yùn)算滿足下面的基本法則．設(shè)A，B，C為三個任意集合，則下列法則成立：（1）交換律A∪B=B∪A，A∩B=B∩A（2）結(jié)合律（A∪B）∪C=A∪（B∪C）（A∩B）∩C=A∩（B∩C）（3）分配律（A∪B）∩C=（A∩C）∪（B∩C）（A∩B）∪C=（A∪C）∩（B∪C）（A\B）∩C=（A∩C）\（B∩C）（4）冪等律A∪A=A，A∩A=A（5）吸收律A∪?=A，A∩?=?A∪B=B，A∩B=A，其中A?BA∪（A∩B）=A，A∩（A∪B）=A（6）對偶律（A∪B）C=AC∩BC（A∩B）C=AC∪BC第一節(jié)

函數(shù)及其性質(zhì)在許多問題中還經(jīng)常用到乘積集合的概念．設(shè)A，B是任意兩個非空集合，在集合A中任意取一個元素x，在集合B中任意取一個元素y，把有序?qū)Γ▁，y）作為新的元素，它們的全體組成的集合稱為集合A與集合B的直積，記作A×B，即A×B={（x，y）|x∈A，y∈B}例如，設(shè)A={x|a<x<b}，B={y|c<y<d}，則A×B={（x，y）|a<x<b，c<y<d}它表示xOy平面上以（a，c），（b，c），（b，d），（a，d）為頂點的矩形內(nèi)部的所有點構(gòu)成的集合，而R×R={（x，y）|x∈R，y∈R}就表示整個坐標(biāo)平面，記作R2。

第一節(jié)

函數(shù)及其性質(zhì)2.區(qū)間及點的鄰域區(qū)間就是實數(shù)軸上的一些實數(shù)的集合，它是用得較多的一類數(shù)集。設(shè)a、b都是實數(shù)，且a＜b，則（1）開區(qū)間：（a，b）={x|a＜x＜b}，這里a、b?（a，b），a和b分別稱為區(qū)間（a，b）的左、右端點。（2）閉區(qū)間：［a，b］={x|a≤x≤b}，這里a、b∈［a，b］。（3）半開區(qū)間：（a，b］={x|a＜x≤b};［a，b)={x|a≤x＜b}。

第一節(jié)

函數(shù)及其性質(zhì)圖1-1-1區(qū)間用數(shù)軸表示如圖1-1-1所示。

第一節(jié)

函數(shù)及其性質(zhì)鄰域也是一個經(jīng)常遇到的概念.設(shè)a與δ是兩個實數(shù)，且δ＞0，數(shù)集{x||x-a|＜δ}稱為點a的δ鄰域，記作U（a，δ），即U（a，δ）={x||x-a|＜δ}。

第一節(jié)

函數(shù)及其性質(zhì)鄰域用數(shù)軸表示如圖1-1-2所示。

圖1-1-2第一節(jié)

函數(shù)及其性質(zhì)函數(shù)的基本概念二、在對自然現(xiàn)象與社會現(xiàn)象的觀察與研究過程中，人們會碰到許多用來表示不同事物的量，通?？蓪⑺鼈兎譃閮深悾阂活愂窃谀硞€問題的研究過程中保持不變的量，稱之為常量；一類是在某個問題的研究過程中會出現(xiàn)變化，即可以取不同的值的量，稱之為變量。

第一節(jié)

函數(shù)及其性質(zhì)

例1正方體的體積V與其邊長x之間的關(guān)系為V=x3，這里V和x都是變量，當(dāng)邊長x變化時，其體積V也隨之作相應(yīng)的變化。例2在自由落體運(yùn)動中，設(shè)物體下落的時間為t，下落的距離為s，如果取開始下落的時刻t=0，那么s和t之間的關(guān)系由公式（g為重力加速度）表示，若物體到達(dá)地面的時刻t=T，則在時間區(qū)間［0，T］上任取一個數(shù)值時，由上面的公式都可以確定出s的對應(yīng)值。第一節(jié)

函數(shù)及其性質(zhì)

定義設(shè)D為一個給定的實數(shù)集，對于每個x∈D，按照某種對應(yīng)法則f，總存在唯一確定的實數(shù)值y與之對應(yīng)，則稱f為定義在D上的一個函數(shù)，習(xí)慣上也稱y是x的函數(shù)，并記作y=f（x），x∈D其中x稱為自變量，y稱為因變量，實數(shù)集D稱為這個函數(shù)f的定義域。第一節(jié)

函數(shù)及其性質(zhì)函數(shù)定義中，對于每個x∈D，按照某種對應(yīng)法則f，總存在唯一確定的實數(shù)值y與之對應(yīng)，這個實數(shù)值y稱為函數(shù)f在x處的函數(shù)值，記作f（x），即y=f（x）．當(dāng)x取遍實數(shù)集D的每個數(shù)值時，對應(yīng)的函數(shù)值的全體組成的數(shù)集W={y|y=f（x），x∈D}稱為函數(shù)f的值域。

第一節(jié)

函數(shù)及其性質(zhì)如果y是x的函數(shù)，有時也可記為y=g（x），y=F（x），y=φ（x）或y=y（x）等.當(dāng)討論到幾個不同的函數(shù)時，為了區(qū)別起見，需要用不同的記號來表示它們。由于函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則被確定后，其值域就隨之而定，因此定義域和對應(yīng)法則就成了函數(shù)的兩個要素．如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則都相同，則稱這兩個函數(shù)相同，否則就不同。

第一節(jié)

函數(shù)及其性質(zhì)通常情況下，求函數(shù)定義域時要注意以下幾點：（1）分式中分母不能為零；（2）偶次根式中，被開方式的值非負(fù)；（3）對數(shù)式中的真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1。第一節(jié)

函數(shù)及其性質(zhì)

例5求函數(shù)f（x）=的定義域。要使f（x）有意義，必須使9-x>0，即x<9，所以函數(shù)f（x）=的定義域為{x|x<9}。第一節(jié)

函數(shù)及其性質(zhì)一般情況下，表示函數(shù)的方法主要有三種：表格法、圖形法、解析法（公式法）。用表格法表示函數(shù)是將函數(shù)自變量的值與對應(yīng)的函數(shù)值列成表格的形式，如三角函數(shù)表、學(xué)生的成績表等都是這種形式表示的函數(shù)。用圖形法表示函數(shù)是基于函數(shù)圖形的概念，即坐標(biāo)平面上的點集{（x，y）|y=f（x），x∈D}稱為函數(shù)y=f（x），x∈D的圖形。

第一節(jié)

函數(shù)及其性質(zhì)例7函數(shù)y=|x|=x，x≥0-x，x<0稱為絕對值函數(shù)，它的定義域為（-∞，＋∞），值域為［0，＋∞），它的圖象如圖1-1-3所示。

圖1-1-3第一節(jié)

函數(shù)及其性質(zhì)例8函數(shù)y=sgnx=1，x>00，x=0-1，x<0稱為符號函數(shù)，它的定義域為（-∞，＋∞），值域為{-1，0，1}，它的圖象如圖1-1-4所示。

圖1-1-4第一節(jié)

函數(shù)及其性質(zhì)函數(shù)的幾種特性三、設(shè)I為關(guān)于原點對稱的區(qū)間，若對于任意x∈I，都有f(-x)=f(x)，則稱f(x)為偶函數(shù)；若f(-x)=-f(x)，則稱f(x)為奇函數(shù)。

1.奇偶性第一節(jié)

函數(shù)及其性質(zhì)2.周期性若存在不為零的數(shù)T，使得對于任意x∈I，有x+T∈I，且f(x+T)=f(x)，則稱f(x)為周期函數(shù)，T稱為f(x)的周期.通常所說的周期函數(shù)的周期是指它的最小正周期。第一節(jié)

函數(shù)及其性質(zhì)3.單調(diào)性若對于區(qū)間I內(nèi)任意兩點x1，x2，當(dāng)x1＜x2時，有f(x1)＜f(x2)，則稱f(x)在區(qū)間I上單調(diào)增加，區(qū)間I稱為單調(diào)增區(qū)間；若f(x1)＞f(x2)，則稱f(x)在區(qū)間I上單調(diào)減少，區(qū)間I稱為單調(diào)減區(qū)間.單調(diào)增區(qū)間或單調(diào)減區(qū)間統(tǒng)稱為單調(diào)區(qū)間。第一節(jié)

函數(shù)及其性質(zhì)4.有界性對于函數(shù)y=f(x)，若存在正數(shù)M，使得在區(qū)間I上恒有|f(x)|≤M，則稱f(x)在I上有界。第二節(jié)反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)反函數(shù)一、在函數(shù)定義中，規(guī)定了對于每一個x，都有唯一的y與之對應(yīng)，這樣定義的函數(shù)又稱為單值函數(shù)；如果有兩個或更多的數(shù)值y與之對應(yīng)，就稱y是x的多值函數(shù)．本書主要討論單值函數(shù)。

第二節(jié)反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)

定義1設(shè)函數(shù)y=f（x），其定義域為D，值域為M，如果對于任意y∈M，由函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f（x）恰好唯一確定出一個x∈D與之對應(yīng)，那么認(rèn)為x是y的函數(shù)，記作x=g（y），我們稱上述的y=f（x）與x=g（y）互為反函數(shù)，習(xí)慣上將x=g（y）記作x=f-1（y）習(xí)慣上常用x表示自變量，y表示因變量，故常把y=f（x）的反函數(shù)寫作y=f-1（x）由反函數(shù)的定義知，在定義區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)必有反函數(shù)。第二節(jié)反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)

例2函數(shù)y=x3和函數(shù)y=x的圖象如圖1-2-1所示．一般地，要求y=f（x）的反函數(shù)，只需先從y=f（x）中解出x的表達(dá)式，當(dāng)該表達(dá)式也是一個函數(shù)時，再將其中的字母x，y進(jìn)行交換即可。

圖1-2-1第二節(jié)反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)例3求函數(shù)y=4x+1的反函數(shù)．解由y=4x+1，解得然后交換x和y，得故所求反函數(shù)為。

第二節(jié)反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)

定理設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為D，值域為W。若f（x）在D上是單調(diào)增加或單調(diào)減少的，則在W上f（x）的反函數(shù)f-1（x）存在，且f-1（x）在W上也是單調(diào)增加或單調(diào)減少的。第二節(jié)反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)二、在很多實際問題中，兩個變量的聯(lián)系有時不是直接的。例如，在函數(shù)y=tan3x中，這個函數(shù)值不是直接由自變量x來確定的，而是通過3x來確定的．如果用u表示3x，那么函數(shù)y=tan3x就可表示成y=tanu，u=3x．這說明了y與x的函數(shù)關(guān)系是通過變量u來確定的。

第二節(jié)反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)

定義2如果y是u的函數(shù)y=f（u），u又是x的函數(shù)u=φ（x），就稱y是x的復(fù)合函數(shù)，記作y=f［φ（x）］其中u稱為中間變量。函數(shù)的復(fù)合中要注意的是，函數(shù)u=φ（x）的值域應(yīng)該在函數(shù)y=f（u）的定義域內(nèi)，這樣函數(shù)才能復(fù)合，否則復(fù)合就沒有意義。第二節(jié)反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)例5y=ecosx是由y=eu和u=cosx復(fù)合而成，y=（1＋lgx）3是由y=u3和u=1＋lgx復(fù)合而成，但函數(shù)y=arcsinu和u=3＋x2不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)，因為對于任意的x，u=3＋x2的值不在函數(shù)y=arcsinu的定義域［-1，1］內(nèi)，從而復(fù)合出的函數(shù)y=arcsin（3＋x2）是沒有意義的。

第二節(jié)反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)

例7設(shè)函數(shù)f（x）=x，x＞1，0＜x≤1，g（x）=ex，求復(fù)合函數(shù)f［g（x）］與g［f（x）］．解因為f（x），g（x）符合復(fù)合條件，所以f［g（x）］=ex，x>0e-x，x≤0；g［f（x）］=ex，x>1e，0<x≤1。第三節(jié)初等函數(shù)在初等數(shù)學(xué)中已經(jīng)學(xué)習(xí)過下面幾類函數(shù)：（1）冪函數(shù)：y=xα（α∈R是常數(shù)）；（2）指數(shù)函數(shù)：y=ax（a>0，且a≠1）；（3）對數(shù)函數(shù)：y=logax（a>0，且a≠1）；（4）三角函數(shù)：y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx，y=secx，y=cscx等；（5）反三角函數(shù)：y=arcsinx，y=arccosx，y=arctanx，y=arccotx等。以上五類函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。第三節(jié)初等函數(shù)在工程技術(shù)中經(jīng)常要用到一類初等函數(shù)是雙曲函數(shù)，它們是由指數(shù)函數(shù)y=ex與y=e-x生成的初等函數(shù)，它們的定義和符號如下：雙曲正弦函數(shù)，其圖象如圖1-3-1所示；雙曲余弦函數(shù)，其圖象如圖1-3-2所示；雙曲正切函數(shù)，其圖象如圖1-3-3所示；雙曲余切函數(shù)，其圖象如圖1-3-4所示。第三節(jié)初等函數(shù)圖1-3-1圖1-3-2第三節(jié)初等函數(shù)圖1-3-3圖1-3-4第三節(jié)初等函數(shù)其中shx，thx，cthx都是奇函數(shù)，chx是偶函數(shù)。shx，chx，thx的反函數(shù)稱為反雙曲函數(shù)，分別記作反雙曲正弦y=arshx反雙曲余弦y=archx反雙曲正切y=arthx同樣，反雙曲函數(shù)可以通過自然對數(shù)函數(shù)來表示，這里不作介紹。第三節(jié)初等函數(shù)

例1某工廠生產(chǎn)電視機(jī)，年產(chǎn)量為x臺，每臺售價1200元。當(dāng)年產(chǎn)量在500臺以內(nèi)，可以全部售出．經(jīng)廣告宣傳后又可以再多出售300臺，每臺平均廣告費為40元，若生產(chǎn)再多，本年就銷售不出去了。試建立本年的銷售總收入y與年產(chǎn)量x的關(guān)系。解因為總收入＝產(chǎn)量×單價，根據(jù)題意可列出函數(shù)關(guān)系如下：y=1200x，0≤x≤5001200×500＋（1200-40）（x-500），500<x≤8001200×500＋1160×300，x>800。

第三節(jié)初等函數(shù)例2某單位要建造一個容積為V的長方體水池，它的底為正方形。如果池底的單位面積造價為側(cè)面積造價的2倍，試建立總造價與底面邊長之間的函數(shù)關(guān)系。解設(shè)底面邊長為x，總造價為y，側(cè)面積單位造價為m。由已知可知水深為，側(cè)面積為，根據(jù)題意可得函數(shù)關(guān)系如下：y=2mx2＋4m，0<x<＋∞。ThankYou!高等數(shù)學(xué)第二章極限與連續(xù)第一節(jié)極限的概念第二節(jié)極限的運(yùn)算法則第三節(jié)無窮小與無窮大第四節(jié)函數(shù)的連續(xù)性第五節(jié)多元函數(shù)及其極限與連續(xù)第一節(jié)極限的概念極限的概念一、1.數(shù)列的定義

定義1自變量為正整數(shù)的函數(shù)un=f(n)(n=1，2，…)，其函數(shù)值按自變量n由小到大排列成一列數(shù)u1，u2，u3，…，un，…稱為數(shù)列，將其簡記為{un}，其中un稱為數(shù)列{un}的通項或一般項.例如，un=，相應(yīng)的數(shù)列為

由于一個數(shù)列{un}完全由其一般項un所決定，所以經(jīng)常把數(shù)列{un}簡稱為數(shù)列un。第一節(jié)極限的概念

例1已知下列數(shù)列的通項un，試寫出各數(shù)列{un}.（1）un=;(2)un=2n+1

解（1）{un}：（2）{un}：3，5，7，…，2n+1，…第一節(jié)極限的概念2.數(shù)列的極限定義2對于數(shù)列{un}，如果當(dāng)n無限增大時，通項un無限接近于某個確定的常數(shù)A，則稱A為數(shù)列{un}的極限，或稱數(shù)列{un}收斂于A，記為或un→A（n→∞）.第一節(jié)極限的概念應(yīng)當(dāng)注意，在一個變量前加上記號“l(fā)im”，表示對這個變量進(jìn)行取極限運(yùn)算，若變量的極限存在，所反映的不再是這個變量本身而是它的極限，即變量無限接近的那個數(shù)。例如，設(shè)A表示圓面積，Sn表示圓內(nèi)接正n邊形面面積，則知當(dāng)n較大以后，總有Sn≈A，但就不再是Sn，而是它的極限——圓面積A，所以它的表達(dá)式不含任何近似成分。

第一節(jié)極限的概念3.數(shù)列極限的精確定義設(shè){xn}為一數(shù)列，如果存在常數(shù)A，對于任意給定的正數(shù)ε（不論它多么小），總存在正數(shù)N，使得當(dāng)n＞N時，不等式|xn-A|＜ε成立，那么就稱數(shù)列{xn}以A為極限，或稱數(shù)列{xn}收斂于A，記作或xn→A（n→∞）。第一節(jié)極限的概念函數(shù)極限的概念二、把數(shù)列極限概念中的函數(shù)為f（n）而自變量的變化過程為n→∞等特殊性撇開，可以引入函數(shù)極限的概念．在自變量的某個變化過程中，如果對應(yīng)的函數(shù)值無限接近于某個確定的數(shù)值，那么這個確定的數(shù)值就稱為在這一變化過程中函數(shù)的極限。由于自變量的變化不同，函數(shù)的極限就表現(xiàn)為不同的形式。第一節(jié)極限的概念1.自變量趨于有限值時函數(shù)的極限定義3設(shè)函數(shù)f（x）在點x0的去心鄰域內(nèi)有定義，如果在x→x0的過程中，對應(yīng)的函數(shù)值f（x）無限接近于確定的數(shù)值A(chǔ)，那么稱A是函數(shù)f（x）當(dāng)x→x0時的極限，記作

或f（x）→A（x→x0）第一節(jié)極限的概念例3求下面函數(shù)的極限。（1）（C為常數(shù)）（2）（3）

解（1）因為C為常數(shù)，當(dāng)x無限接近于x0時，C不變，如圖2-1-2所示，因此圖2-1-2第一節(jié)極限的概念（2）因為當(dāng)x→x0時，x→x0，如圖2-1-3所示，因此（3）因為當(dāng)x無限接近于1時，x＋2就無限接近于3，如圖2-1-4所示，因此圖2-1-3圖2-1-4第一節(jié)極限的概念例4求函數(shù)f（x）=3x-1，x<1、x＋1，x>1在x=1處的極限。解因為從而所以第一節(jié)極限的概念例6函數(shù)f（x）=，x>10，x≤1，試判斷是否存在。解因為不存在，所以不存在。第一節(jié)極限的概念2.自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限定義4設(shè)函數(shù)f（x）當(dāng)|x|大于某一正數(shù)時有定義，如果在x→∞的過程中，對應(yīng)的函數(shù)值f（x）無限接近于確定的數(shù)值A(chǔ)，那么A稱為函數(shù)f（x）當(dāng)x→∞時的極限，記作或f（x）→A（x→∞）。第一節(jié)極限的概念如果把x取正值且無限增大，稱為x趨于正無窮大，記作x→＋∞，而把x取負(fù)值且|x|無限增大，稱為x趨于負(fù)無窮大，記作x→-∞．這樣，函數(shù)f（x）在這兩種極限過程下的極限，分別記作和的充分必要條件是

第一節(jié)極限的概念例7求函數(shù)f（x）=（x≠0）當(dāng)x→∞時的極限。解由函數(shù)的圖象(如圖2-1-5所示)容易看出，當(dāng)x往左或右無限增大時，f（x）都無限接近于0，所以有第一節(jié)極限的概念函數(shù)極限的性質(zhì)三、

性質(zhì)1(函數(shù)極限的唯一性)如果存在，那么它的極限是唯一的.

性質(zhì)2（局部有界性）如果存在，則函數(shù)f（x）在x0的某一去心鄰域內(nèi)有界．

性質(zhì)3（局部保號性）如果給定函數(shù)f（x），=A且A>0（或A<0），那么在x0的某一去心鄰域內(nèi)，有f（x）>0（或f（x）<0）。第一節(jié)極限的概念性質(zhì)4（夾逼準(zhǔn)則)如果函數(shù)g（x），f（x），h（x）在點x0的某個去心鄰域內(nèi)，滿足下列條件:(1)g（x）≤f（x）≤h（x）;(2)則函數(shù)f（x）的極限存在，且以上極限性質(zhì)是以x→x0為例，對其他極限過程和數(shù)列的極限有同樣的結(jié)論成立，這里不再敘述。第二節(jié)極限的運(yùn)算法則函數(shù)極限的運(yùn)算法則一、設(shè)則（1）;（2）;（3）。第二節(jié)極限的運(yùn)算法則以上函數(shù)極限的四則運(yùn)算可以推廣到有限多個收斂函數(shù)的情形．由積的運(yùn)算可以得到下面兩個結(jié)論:（1）；（2）（m為正整數(shù))。第二節(jié)極限的運(yùn)算法則例1求。解

==3×32＋2×3＋1=34第二節(jié)極限的運(yùn)算法則例2求。解這里分母的極限不為0，故===-

第二節(jié)極限的運(yùn)算法則例5求。解將分子、分母同除以最高次冪x2，得=

===

例5求。解將分子、分母同除以最高次冪x2，得=

===第二節(jié)極限的運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則二、設(shè)函數(shù)y=f［g（x）］是由函數(shù)y=f（u）與函數(shù)u=g（x）復(fù)合而成，f［g（x）］在點x0的某去心鄰域內(nèi)有定義，若，則

第二節(jié)極限的運(yùn)算法則

例6求。解因為=0，=1

由復(fù)合函數(shù)求極限法則知=-1第二節(jié)極限的運(yùn)算法則兩個重要極限三、1.=1證作單位圓如圖2-2-1所示，取∠AOB=x(rad)，于是有BC=sinx，弧AB=x，AD=tanx.比較△OAB、扇形OAB、△OAD的面積，得sinx＜x＜tanx由上式可得sinx＜x＜tanx除以sinx，有cosx＜＜1第二節(jié)極限的運(yùn)算法則圖2-2-1第二節(jié)極限的運(yùn)算法則例8求。解===1第二節(jié)極限的運(yùn)算法則2.=e數(shù)e無論在數(shù)學(xué)理論還是實際問題應(yīng)用中都有重要作用.物體的冷卻、放射元素的衰變等都要用到這個極限.關(guān)于這個極限，我們不作理論推導(dǎo)，但應(yīng)知道：當(dāng)x→∞時，（1+）x的極限是存在的，并且是一個無理數(shù)，其值為e，即=e第二節(jié)極限的運(yùn)算法則例11求。解令=u,則x=3u，于是===e3

第二節(jié)極限的運(yùn)算法則例12求。解

==e-2第三節(jié)無窮小與無窮大無窮小一、定義1如果函數(shù)f（x）當(dāng)x→x0（或x→∞）時的極限為零，那么稱函數(shù)為當(dāng)x→x0（或x→∞）時的無窮小量，簡稱無窮小。例如，f（x）=2x-4是x→2時的無窮小，而不是x→0時的無窮??；g（x）=是x→∞時的無窮小。

第三節(jié)無窮小與無窮大注意無窮小是一個變量（或函數(shù)），而不是一個定數(shù)，所以不能把無窮小和很小的數(shù)（如百萬分之一）混為一談，零是可以作為無窮小的唯一的常數(shù)，因為在任何極限過程中，均成立。

第三節(jié)無窮小與無窮大無窮大二、定義2如果函數(shù)f（x）當(dāng)x→x0（或x→∞）時，對應(yīng)的函數(shù)值的絕對值f（x）無限增大，就稱函數(shù)f（x）為當(dāng)x→x0（或x→∞）時的無窮大量，簡稱無窮大。

第三節(jié)無窮小與無窮大性質(zhì)1有限個無窮小的代數(shù)和仍為無窮小。性質(zhì)2有界函數(shù)與無窮小的乘積仍是無窮小。推論1常數(shù)與無窮小的乘積仍是無窮小。推論2有限個無窮小的乘積仍是無窮小。第三節(jié)無窮小與無窮大注意性質(zhì)1和推論2都不能推廣到無窮多個無窮小；另外，兩個無窮小之商未必是無窮小。

第三節(jié)無窮小與無窮大定理1的充分必要條件是f（x）=A＋α其中α為當(dāng)x→x0時的無窮小。

第三節(jié)無窮小與無窮大定理2如果函數(shù)f（x）當(dāng)x→x0（或x→∞）時，對應(yīng)的函數(shù)值的絕對值f（x）無限增大，就稱函數(shù)f（x）為當(dāng)x→x0（或x→∞）時的無窮大量，簡稱無窮大。

第三節(jié)無窮小與無窮大

例2求。解因為所以。第三節(jié)無窮小與無窮大無窮小的比較三、定義3設(shè)α（x），β（x）都是x→x0時的無窮小，且α（x）≠0。如果，則稱β（x）是比α（x）高階無窮小，也稱α（x）是比β（x）低階無窮??；如果，則稱β（x）與α（x）同階無窮小，特別地，當(dāng)k=1時，稱β（x）與α（x）等價無窮小，記作α（x）~β（x）（x→x0）第三節(jié)無窮小與無窮大定理3設(shè)當(dāng)x→x0時，α（x）~α′（x），β（x）~β′（x）且存在，則第三節(jié)無窮小與無窮大

例4求。解因為當(dāng)x→0時，tanx~x，ln(1＋3x）~3x，所以=第三節(jié)無窮小與無窮大例7求。解===第四節(jié)函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的概念一、

設(shè)變量u從一個初值u1變化到終值u2，終值與初值之差u2-u1稱為變量u的增量，記作Δu，即Δu=u2-u1，Δu可以為正，也可以為負(fù).當(dāng)Δu＞0時，u的變化是增大的；Δu＜0時，u的變化是減小的.設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x由x0變到x0+Δx時，函數(shù)y相應(yīng)由f(x0)變到f(x0+Δx)，因此函數(shù)相應(yīng)的增量為Δy=f(x1+Δx)-f(x0).其幾何意義如圖2-4-1所示。第四節(jié)函數(shù)的連續(xù)性圖2-4-1第四節(jié)函數(shù)的連續(xù)性定義1設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0的某鄰域內(nèi)有定義，如果自變量的增量Δx=x-x0趨于零時，對應(yīng)的函數(shù)增量也趨于零，即則稱函數(shù)f(x)在點x0處是連續(xù)的。第四節(jié)函數(shù)的連續(xù)性定義2設(shè)函y=f(x)在點x0的某鄰域內(nèi)有定義，若=f(x0)，則稱函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)。如果f(x)在區(qū)間（a，b）內(nèi)每一點都是連續(xù)的，就稱f(x)在區(qū)間（a，b）內(nèi)連續(xù).如果f(x)在（a，b）內(nèi)連續(xù)，在x=a處右連續(xù)，在x=b處左連續(xù)，則稱f(x)在［a，b］上連續(xù)。第四節(jié)函數(shù)的連續(xù)性由定義2可以看出，函數(shù)f(x)在點x0連續(xù)，必須同時滿足以下三個條件：（1）f(x)在點x0的一個鄰域內(nèi)有定義；（2）存在；（3）上述極限值等于函數(shù)值f(x0)。如果上述條件中至少有一個不滿足，則稱點x0就是函數(shù)f(x)的間斷點。第四節(jié)函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的間斷點及其分類二、定義3設(shè)x0為f(x)的一個間斷點，如果當(dāng)x→x0時，f(x)的左、右極限都存在，則稱x0為f(x)的第一類間斷點；否則，稱x0為f(x)的第二類間斷點.對于第一類間斷點還有如下定義：（1），均存在，但不相等時，稱x0為f(x)的跳躍間斷點；（2）當(dāng)存在，但不等于f(x)在x0處的函數(shù)值時，稱x0為f(x)的可去間斷點。如果，則稱x0為f(x)的無窮間斷點，無窮間斷點屬于第二類間斷點。第四節(jié)函數(shù)的連續(xù)性例2設(shè)f(x)=，x≠01，x=0，討論f(x)在x=0處的連續(xù)性。解因為f(0)=1，且，即所以，x=0是f(x)的第一類間斷點，且為可去間斷點。第四節(jié)函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性三、

1.初等函數(shù)的連續(xù)性一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.因此，求初等函數(shù)的連續(xù)區(qū)間就是其定義區(qū)間.關(guān)于分段函數(shù)的連續(xù)性，除考慮每一段函數(shù)的連續(xù)性外，還必須討論分界點處的連續(xù)性。第四節(jié)函數(shù)的連續(xù)性

2.利用函數(shù)的連續(xù)性求極限例3求。解因為ln(sinx）在x=處連續(xù)，所以=ln1=0第四節(jié)函數(shù)的連續(xù)性3.復(fù)合函數(shù)求極限的方法定義3設(shè)有復(fù)合函數(shù)y=f［φ(x)］，若，而函數(shù)f(u)在u=a點連續(xù)，則。第四節(jié)函數(shù)的連續(xù)性閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)四、定理2閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值。第四節(jié)函數(shù)的連續(xù)性定理3（零點定理）若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號，則至少存在一點ξ∈（a，b），使得f(ξ)=0。這個定理又稱為根的存在定理。第四節(jié)函數(shù)的連續(xù)性定理4（介值定理）設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，且f(a)≠f(b)，μ為介于f(a)與f(b)之間的任意一個數(shù)，則至少存在一點ξ∈（a，b），使得f(ξ)=μ。第五節(jié)多元函數(shù)及其極限與連續(xù)多元函數(shù)的概念一、在很多實際問題中，事物的發(fā)生和發(fā)展是受多種因素制約的，在數(shù)學(xué)上表現(xiàn)為一個變量的變化要依賴其他多個變量的變化的問題，這就提出了多元函數(shù)的相關(guān)問題。在學(xué)習(xí)一元函數(shù)時，經(jīng)常會遇到區(qū)間和鄰域等概念，為了將一元函數(shù)推廣到二元以上的函數(shù)，我們首先介紹區(qū)域的概念。

第五節(jié)多元函數(shù)及其極限與連續(xù)1.區(qū)域由于實數(shù)可與數(shù)軸上的點對應(yīng)起來，而全體數(shù)軸上的點就構(gòu)成一維空間，記為R。二元有序?qū)崝?shù)組（x，y)和平面上點的全體建立起一一對應(yīng)關(guān)系.平面上所有點構(gòu)成了二維空間，記為R2。一般地，n元有序?qū)崝?shù)組（x1，x2，…，xn)點的全體稱為n維空間，記為Rn。通常，平面區(qū)域指平面上由一條曲線或幾條曲線圍成的部分。區(qū)域可以是有限的，如圓形區(qū)域，矩形區(qū)域等，這種區(qū)域稱為有界區(qū)域。有些區(qū)域能夠延伸到無窮遠(yuǎn)處，這種區(qū)域稱為無界區(qū)域。圍成區(qū)域的曲線稱為區(qū)域的邊界。若所考慮的區(qū)域包含區(qū)域的全部邊界，稱此區(qū)域為閉區(qū)域；若不包含區(qū)域的邊界，稱為開區(qū)域。

第五節(jié)多元函數(shù)及其極限與連續(xù)2.二元函數(shù)的定義例1圓柱體的體積V與底面圓的半徑r和柱體的高度h具有關(guān)系式V=πr2h當(dāng)r，h在區(qū)域{(r，h)|r>0，h>0}內(nèi)取定一對值時，V就可以取得對應(yīng)的值。例2在物理學(xué)定理中，電流所做的功率P與電路電壓U和電流I之間有關(guān)系式P=UI當(dāng)U，I在區(qū)域{（U，I）|U>0，I>0}內(nèi)取定一對值時，功率P也隨之確定了。第五節(jié)多元函數(shù)及其極限與連續(xù)定義1設(shè)D是R2的一個非空點集，若對每一點(x，y)∈D，按照某一法則f有唯一確定的實數(shù)值z與之對應(yīng)，則稱z是關(guān)于變量x，y的二元函數(shù)，記為z=f（x，y），（x，y）∈D第五節(jié)多元函數(shù)及其極限與連續(xù)

例4已知函數(shù)f(x，y)=，求：(1)f(1，2);(2)f(xy，x+y).解(1)f(1，2)==(2)分別以xy和x+y取代原來的x，y，得f(xy，x+y)==第五節(jié)多元函數(shù)及其極限與連續(xù)二元函數(shù)的極限二、定義2設(shè)二元函數(shù)z=f(x，y)，如果當(dāng)點（x，y）以任意方式趨向點（x0，y0）時，f(x，y)總是趨向于一個確定的常數(shù)A，那么就稱A是二元函數(shù)f(x，y)當(dāng)(x，y)→（x0，y0）時的極限，記為第五節(jié)多元函數(shù)及其極限與連續(xù)

例5求極限。解===2第五節(jié)多元函數(shù)及其極限與連續(xù)二元函數(shù)的連續(xù)性三、定義3設(shè)函數(shù)z=f(x，y)在點P0(x0，y0)的某一鄰域內(nèi)有定義，如果則稱函數(shù)f(x，y)在點P0(x0，y0)處連續(xù)。第五節(jié)多元函數(shù)及其極限與連續(xù)注意與一元函數(shù)類似，二元函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算得到的函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù)，一切初等二元函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的。第五節(jié)多元函數(shù)及其極限與連續(xù)

例8求。解

====2第五節(jié)多元函數(shù)及其極限與連續(xù)需要注意的是，與一元函數(shù)一樣，對有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)有下面的結(jié)論：（1）若函數(shù)f(x，y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則f(x，y)在D上必有最大值和最小值；（2）若函數(shù)f(x，y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，且C是介于最大值和最小值之間的實數(shù)，則在D內(nèi)至少存在一點（x0，y0)，使得f(x0，y0)=C.ThankYou!高等數(shù)學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念第二節(jié)函數(shù)的求導(dǎo)法則第三節(jié)函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)第四節(jié)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第五節(jié)偏導(dǎo)數(shù)第六節(jié)函數(shù)的微分及應(yīng)用第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念引例一、1.變速直線運(yùn)動的瞬時速度設(shè)做變速直線運(yùn)動的質(zhì)點在t時刻所經(jīng)過的路程為s，即路程s是時間t的函數(shù)s=f（t）則當(dāng)時間由t0改變到t時，動點在Δt=t-t0這段時間內(nèi)經(jīng)過的路程為Δs=f（t）-f（t0）。動點在Δt=t-t0這段時間內(nèi)的平均速度為。第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念2.平面曲線的切線斜率設(shè)有平面曲線C(如圖3-1-1所示)，點M（x0，y0）為曲線y=f（x）上的一定點，點N（x，y）為曲線y=f（x）上的一動點，設(shè)割線MN的傾斜角（即與x軸的夾角）為φ，則割線MN的斜率為第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念圖3-1-1第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念

例2求拋物線y=x2在點（2，4）處的切線方程和法線方程。解設(shè)拋物線y=x2在點（2，4）處的斜率為k，則所以所求切線方程為y-4=4（x-2）或y=4x-4法線方程為y-4=-（x-2）或y=-x+第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的定義二、1.導(dǎo)數(shù)的定義

定義設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0的一個鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x0處有增量Δx（Δx≠0，x0+Δx仍在該鄰域內(nèi)）時，相應(yīng)地函數(shù)有增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，如果Δy與Δx之比當(dāng)Δx→0時，極限存在，那么這個極限值稱為函數(shù)y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù).并且說，函數(shù)y=f(x)在點x0處可導(dǎo)，記作f′(x0），也可記為即第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念2.左、右導(dǎo)數(shù)我們知道，導(dǎo)數(shù)是比值在Δx→0時的極限，那么下面兩個極限第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念

定理1f(x)在點x0處可導(dǎo)的充要條件是函數(shù)y=f(x)在點x0處的左右導(dǎo)數(shù)都存在且相等。第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念3.導(dǎo)函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（a，b)內(nèi)的每一點都可導(dǎo)，則稱y=f(x)在區(qū)間（a，b)內(nèi)可導(dǎo)。

第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念

例4求函數(shù)f(x)=C(C是常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)。解=0即（C）′=0。這就是說，常數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零。第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的幾何意義三、由前面的討論可知，函數(shù)y=f（x）在點x0處的導(dǎo)數(shù)f′（x0）在幾何上表示曲線y=f（x）在點M（x0，f（x0））處的切線的斜率，即f′（x0）=tanα，其中α是切線的傾斜角（如圖3-1-2所示）。第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念圖3-1-2第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系四、

定理2如果函數(shù)y=f(x)在點x0處可導(dǎo)，則f(x)在點x0處連續(xù)，其逆不真。第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念例6求函數(shù)y=f(x)=|x|在x=0處的導(dǎo)數(shù)。解很明顯，該函數(shù)在x=0處是連續(xù)的。又當(dāng)Δx<0時，=-1當(dāng)Δx>0時，=1這說明，當(dāng)Δx→0時，極限不存在，即函數(shù)f(x)在x=0處不可導(dǎo)。第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念求導(dǎo)數(shù)舉例五、例7求函數(shù)f(x)=sinx的導(dǎo)數(shù).。解f′(x)==

=

==cosx?1=cosx

第二節(jié)函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則一、

定理1設(shè)函數(shù)u(x)，v(x)在點x處可導(dǎo)，則它們的和、差、積、商（除分母為零的點外）都在點x具有導(dǎo)數(shù)，且有以下法則：（1）［u(x)±v(x)］′=u′(x)±v′(x);（2）［u(x)v(x)］′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x);（3）

第二節(jié)函數(shù)的求導(dǎo)法則推論1［Cu(x)］′=Cu′(x)(C為常數(shù)）。推論2

推論3

［u(x)?v(x)?w(x)］′=u′(x)v(x)w(x)+u(x)v′(x)w(x)+u(x)v(x)w′(x)

第二節(jié)函數(shù)的求導(dǎo)法則

例1求y=tanx的導(dǎo)數(shù)。解y=(tanx)′=====sec2x

第二節(jié)函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則二、

定理2如果函數(shù)u=φ(x)在點x處可導(dǎo)，而函數(shù)y=f(u)在對應(yīng)的點u處可導(dǎo)，那么復(fù)合函數(shù)y=f［φ(x)］也在點x處可導(dǎo)，且有或{f［φ(x)］}′=f′(u)φ′(x)

第二節(jié)函數(shù)的求導(dǎo)法則例4求函數(shù)y=lnsinx的導(dǎo)數(shù)。解y′=(lnsinx)′=(sinx)′==cotx

第二節(jié)函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則三、

定理3如果單調(diào)連續(xù)函數(shù)x=φ(y)在點y處可導(dǎo)，而且φ′(y)≠0，那么它的反函數(shù)y=f(x)在對應(yīng)的點x處可導(dǎo)，且有或

就是說，反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。(證明略）

第二節(jié)函數(shù)的求導(dǎo)法則例7求y=ax（a>0，a≠1)的導(dǎo)數(shù)。解因為y=ax是x=logay的反函數(shù)，且x=logay在（0，+∞)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)，又所以y′==ylna=axlna即(ax)′=axlna.特別地，有（ex)′=ex

第二節(jié)函數(shù)的求導(dǎo)法則基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式四、(1)（C）′=0;(2)(xμ)′=μxμ-1;(3)(sinx)′=cosx;(4)(cosx)′=-sinx;(5)(tanx)=sec2x;(6)(cotx)′=-csc2x;(7)(secx)′=secxtanx;(8)(cscx)′=-cscxcotx;(9)(ax)′=axlna;(10)(ex)′=ex;(11)(logax)′=;(12)(lnx)′=(13)(arcsinx)′=；(14)(arccosx)′=(15)(arctanx)′=；(16)(arccotx)′=第三節(jié)函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)一般來說，函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)y′=f′（x）仍是x的函數(shù)，如果導(dǎo)函數(shù)f′（x）還可以對x求導(dǎo)數(shù)，那么稱f′（x）的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)y=f（x）的二階導(dǎo)數(shù)，記作

y″，f″（x）或這時，也稱函數(shù)f（x）二階可導(dǎo)，按照導(dǎo)數(shù)的定義，有f″（x）=第三節(jié)函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)

例1求函數(shù)f（x）=2x5＋x2＋6的各階導(dǎo)數(shù)．解f′（x）=10x4＋2xf″（x）=40x3＋2f（3）（x）=120x2f（4）（x）=240xf（5）（x）=240f（6）（x）=0當(dāng)n>6時，f（n）（x）=0.

第三節(jié)函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)

例2求指數(shù)函數(shù)y=ex的n階導(dǎo)數(shù)。解（ex）′=ex（ex）″=（ex）′=ex一般地，有（ex）（n）=ex。

第三節(jié)函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)

例4求函數(shù)f（x）=ax（a>0，a≠1）的n階導(dǎo)數(shù)。解f′（x）=axlnaf″（x）=axln2af（3）（x）=axln3a一般地，有f（n）（x）=axlnna.。

第三節(jié)函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)

注意求n階導(dǎo)數(shù)時，通常的方法是先求出一階、二階、三階等導(dǎo)數(shù)，從中歸納出n階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式。因此，求n階導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵在于從各階導(dǎo)數(shù)中尋找規(guī)律。第四節(jié)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的求導(dǎo)法一、一般地，如果變量x和y滿足一個方程F（x，y)=0，在一定條件下，當(dāng)x取某區(qū)間內(nèi)的任一值時，相應(yīng)地總有滿足這個方程的唯一的y值存在，那么就說方程F（x，y）=0在該區(qū)間內(nèi)確定了一個隱函數(shù)。把一個隱函數(shù)化成顯函數(shù)，稱為隱函數(shù)的顯化.隱函數(shù)的顯化有時是困難的，有時甚至是不可能的.但在實際問題中，往往需要計算隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因此我們希望有一種方法，不管隱函數(shù)能否顯化，都能直接由方程計算出它所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，下面通過具體例子來說明這種求導(dǎo)方法。第四節(jié)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例1求由方程ey+xy-e=0所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解把方程兩邊分別對x求導(dǎo)，注意將y看成是x的函數(shù)，得ey·+y+x·=0從上式解得=(x+ey≠0)第四節(jié)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法二、在研究物體運(yùn)動的軌跡時，常常遇到參數(shù)方程。例如，研究拋射體的運(yùn)動規(guī)律時，如果空氣阻力忽略不計，則拋射體的運(yùn)動軌跡可表示為x=v1t，y=v2t-gt2.(3-4-1）其中，v1，v2分別表示初速度v0在水平和垂直方向上分量，t是飛行時間，g是重力加速度，x，y分別是拋射體在垂直平面內(nèi)沿x軸和y軸方向的位移。第四節(jié)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例3求雙曲線x=secty=tant在t=處的切線方程。解由公式(3-4-3)，得k1==

當(dāng)t=

時，x=2，y=1，故所求切線方程為y-1=(x-)，即y=x-1。第四節(jié)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對數(shù)求導(dǎo)法三、根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)法，我們還可以得到一個簡化求導(dǎo)運(yùn)算的方法.它適合于由幾個因子通過乘、除、乘方、開方所構(gòu)成的比較復(fù)雜的函數(shù)（包括冪指數(shù)函數(shù)）的求導(dǎo).這個方法是先取對數(shù)，化乘、除為加、減，化乘方、開方為乘積，然后利用隱函數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)，因此稱為對數(shù)求導(dǎo)法.下面舉例說明這種方法。第四節(jié)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例6求y=xsinx(x>0)的導(dǎo)數(shù)。解對上式兩邊取自然對數(shù)，得lny=sinxlnx兩邊求導(dǎo)，得y′=+cosxlnx所以，有y′=y（+cosxlnx）=xsinx（+cosxlnx）

第五節(jié)偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)一、在研究二元函數(shù)時，有時需要求當(dāng)其中一個自變量不變，函數(shù)關(guān)于另一個自變量的變化率，這種形式的變化率就是二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。

第五節(jié)偏導(dǎo)數(shù)1.偏導(dǎo)數(shù)的定義

定義設(shè)函數(shù)z=f(x，y)在點（x0，y0）的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)y固定在y0，而x在x0處有改變量Δx時，相應(yīng)的函數(shù)有改變量f(x0+Δx，y0)-f(x0，y0)，如果極限存在，則稱此極限為函數(shù)z=f(x，y)在點（x0，y0）處對x的偏導(dǎo)數(shù)，記為，或fx(x0，y0)第五節(jié)偏導(dǎo)數(shù)2.偏導(dǎo)數(shù)的求法

例2求f(x，y)=x2+xy2在（1，2）的偏導(dǎo)數(shù)。解因為fx(x，y)=(x2+xy2)′x=2x+y2;fy(x，y)=(x2+xy2)′y=2xy，所以，fx(1，2)=2×1+22=6;fy(1，2)=2×1×2=4。第五節(jié)偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)二、從偏導(dǎo)數(shù)的概念中可以看出，二元函數(shù)z=f(x，y)在區(qū)域D內(nèi)的偏導(dǎo)數(shù)仍是關(guān)于自變量x，y的二元函數(shù)，如果這兩個二元函數(shù)各自關(guān)于自變量x，y的偏導(dǎo)數(shù)也存在，則稱它們是z=f(x，y)的二階偏導(dǎo)數(shù)，這樣的偏導(dǎo)數(shù)共有4個，分別表示為=fxx(x，y)=fxy(x，y)=fyx(x，y)=fxx(x，y)第五節(jié)偏導(dǎo)數(shù)

例4求函數(shù)z=x3+2x2y-y3的二階偏導(dǎo)數(shù)。解函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)為=3x2+4xy，=2x2-3y2再分別關(guān)于x，y求偏導(dǎo)=6x+4y=4x=4x=-6y第五節(jié)偏導(dǎo)數(shù)

注意

在此例中，，這并不是偶然現(xiàn)象.事實上，有下面結(jié)論：如果和在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，則第六節(jié)函數(shù)的微分及應(yīng)用微分的概念一、

定義

設(shè)函數(shù)y=f（x）在某區(qū)間內(nèi)有定義，當(dāng)x的增量為Δx，相應(yīng)地，函數(shù)的增量為Δy=f（x＋Δx）-f（x）可表示為Δy=AΔx＋o（Δx）其中，A是不依賴于Δx的常量，而o（Δx）是比Δx高階的無窮小，那么稱函數(shù)y=f（x）在點x處可微，AΔx稱為函數(shù)y=f（x）在點x處的微分，記作dy或d（x），即dy=AΔx由于AΔx是Δx的線性函數(shù)，當(dāng)Δx→0時，Δy≈Δx，稱AΔx為Δy的線性主部，也就是說，dy是Δy的主要部分。第六節(jié)函數(shù)的微分及應(yīng)用

例1求函數(shù)y=1＋3x2在x=1，Δx=0.01時的增量及微分。解Δy=3（x＋Δx）2—3x2=3×1.012-3=0.0603dy=y′|x=1Δx=6×0.01=0.06例2求函數(shù)y=ax的微分。解dy=（ax）′dx=axlnadx第六節(jié)函數(shù)的微分及應(yīng)用微分的幾何意義二、如圖3-6-2所示，函數(shù)y=f（x）是一條曲線，過曲線上一點M（x0，y0）作切線MT，設(shè)MT的傾斜角為α，則tanα=f′（x）。第六節(jié)函數(shù)的微分及應(yīng)用圖3-6-2第六節(jié)函數(shù)的微分及應(yīng)用微分基本公式與運(yùn)算法則三、按照微分的定義，求函數(shù)的微分，只要求出它的導(dǎo)數(shù)f′（x），再乘以自變量的微分dx即可．所以，由導(dǎo)數(shù)的基本公式與運(yùn)算法則，可得到如下的微分基本公式與運(yùn)算法則。

第六節(jié)函數(shù)的微分及應(yīng)用1.微分基本公式（1）d（C）=0（C為常數(shù)）;（2）d（xα）=αxα-1dx（α為任意實數(shù)）;（3）d（ax）=axlnadx;（4）d（ex）=exdx;（5）d（logax）=;（6）d（lnx）=;（7）d（sinx）=cosxdx;（8）d（cosx）=-sinxdx;（9）d（tanx）=sec2xdx;（10）d（secx）=secxtanxdx;（11）d（cotx）=-csc2xdx;（12）d（cscx）=-cscxcotxdx;第六節(jié)函數(shù)的微分及應(yīng)用（13）d（arcsinx）=（14）d（arccosx）=（15）d（arctanx）=（16）d（arccotx）=

第六節(jié)函數(shù)的微分及應(yīng)用2.微分運(yùn)算法則（1）d［u（x）±v（x）］=du（x）±dv（x）；（2）d［u（x）v（x）］=v（x）du（x）＋u（x）dv（x）；（3）d［Cu（x）］=Cdu（x）（C為常數(shù)）；（4）d［］=（v（x）≠0）；（5）d［f（g（x））］=f′（g（x））g′（x）dx。

第六節(jié)函數(shù)的微分及應(yīng)用

例3設(shè)y=cos(2x＋3），求dy。解dy=dcos(2x＋3）=-sin(2x＋3）d（2x＋3）=-2sin(2x＋3）dx第六節(jié)函數(shù)的微分及應(yīng)用微分在近似計算中的應(yīng)用四、

例5計算arctan1.05的近似值。解令f(x)=arctanx，由式（3-6-2）有arctan(x0+Δx)≈arctanx0+取x0=1，Δx=0.05，有arctan1.05=arctan(1+0.05)≈arctan1+=+

第六節(jié)函數(shù)的微分及應(yīng)用例6計算的近似值。解因為==

=4由近似公式（1），得=4≈4（1+×）=4+≈4.021ThankYou!高等數(shù)學(xué)第四章微分中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié)微分中值定理第二節(jié)洛必達(dá)法則第三節(jié)函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值第四節(jié)多元函數(shù)的極值和最值第五節(jié)曲線的凹凸性與拐點第六節(jié)簡單函數(shù)圖形的描繪第一節(jié)微分中值定理羅爾中值定理一、

定理1如果函數(shù)f(x)滿足下列條件：（1）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)；（2）在開區(qū)間（a，b)內(nèi)可導(dǎo)；（3）在區(qū)間兩端點的函數(shù)值相等，即f(a)=f(b)。則至少存在一點ξ∈(a，b)，使得f′(ξ)=0。第一節(jié)微分中值定理羅爾中值定理的幾何意義是：若連續(xù)曲線y=f(x)的弧AB上處處具有不垂直于x軸的切線且兩端點的縱坐標(biāo)相等，則在這弧上至少能找到一點，使曲線在該點處的切線平行于x軸（如圖4-1-1所示)。

第一節(jié)微分中值定理圖4-1-1第一節(jié)微分中值定理

例1設(shè)f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)，不求導(dǎo)數(shù)判斷f′(x)=0實根的個數(shù)，并指出所在范圍。解因為f(1)=f(2)=f(3)=0，所以f(x)在［1，2］，［2，3］上滿足羅爾中值定理條件，因此有f′