物理科學(xué)學(xué)院楊帥0810271萬有引力探討

牛頓受蘋果落地的啟發(fā)發(fā)現(xiàn)了偉大的萬有引力定律，從此，天表達(dá)象的研究變得清晰、明朗。雖然他給出的公式只適用于質(zhì)點(diǎn)或可視為質(zhì)點(diǎn)的物體，但我們知道，利用微積分思想，完全可以解決質(zhì)量連續(xù)分布的物體間的萬有引力問題。請看下面的幾個特例。1、無限長均勻直線的萬有引力設(shè)想有一根線密度為的無限長均勻直線，如何求它對直線外一點(diǎn)〔設(shè)點(diǎn)到直線的距離為d，點(diǎn)的質(zhì)量為m〕的萬有引力？F=?O

由對稱性可知，直線對點(diǎn)的萬有引力必沿y軸，因此，我們只需考慮萬有引力沿y軸的分量〔1〕ydr2、無限長均勻圓筒對筒內(nèi)某一點(diǎn)的萬有引力我們將圓筒當(dāng)成是由n條〔〕無限長均勻直線組成的。設(shè)圓筒半徑為R，假設(shè)線是有寬度的，那么線寬

我們考察筒內(nèi)任意一點(diǎn)所在的圓

平面，取微元角度，分別對應(yīng)

圓筒上寬度為和的無

限長直線帶，利用〔1〕式，那么

和大小相等，方向相反，合力為0。由此可知，無限長均勻圓筒內(nèi)任意一點(diǎn)的萬有引力為零?。?、有限長均勻直線萬有引力的等效替代法首先，我們計算一下線密度為，半徑為d的半圓對圓心質(zhì)點(diǎn)〔質(zhì)量為m〕的萬有引力。同樣，由對稱性，我們只需考慮萬有引力沿y軸的分量(2)dy(2)式與〔1〕式完全一樣

那說明無限長均勻直線對到直線距離為d的一點(diǎn)的萬有引力可等效為具有相同線密度且半徑為d的半圓對圓心質(zhì)點(diǎn)的萬有引力。那么，任意一條有限長均勻直線的萬有引力是否也可采用類似的等效方法？答案是肯定的我們只需證明微元角度對應(yīng)的圓弧cd和線段ab對o點(diǎn)的萬有引力相等

由此說明，任意一條有限長的均勻直線AB對到它的距離為d的一點(diǎn)的萬有引力可等效為具有相同線密度且半徑為d的圓弧CD的萬有引力。由于圓弧具有對稱性，這樣等效后求直線的萬有引力將非常方便！oABCDdcdab4、無限大均勻平面的萬有引力我們先計算半徑為r，質(zhì)量為M的均勻圓環(huán)對中心軸上到圓心距離為d的質(zhì)點(diǎn)〔質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m〕的萬有引力。(3)

(3)

Rrd設(shè)無限大均勻平面的面密度為，質(zhì)點(diǎn)o在平面上的投影為o’。以o’為圓心，將平面分成一系列的圓環(huán)帶，那么圓環(huán)帶的質(zhì)量為利用〔3〕式，圓環(huán)帶對質(zhì)點(diǎn)的萬有引力為odrRo’

F與d無關(guān)?。∮纱苏f明，無限大均勻平