小結(jié)思考題作業(yè)1第二 行列ai1Ajai1Aj1+ainAjn=deti引理1設(shè)A(aij)n·n,Aij表?aij的代數(shù)余?式11i?jnaiAj +ainAjn=11i?jn證?列式按第j?展開,得detAajkAjkkn所以將?列式中第j?的元aj1aj2ajn換成ai1,nain后所得的?列式其展開式為aikAjkk2設(shè)i?j:ai1Aj1 +ain?

?ai=ai?

? =0 ?3 例已知3階?列式D3det(aij (a11

+(a21

+a22

+(a31A11+a32A12+a33A13)2 原式=(-2)2+0+0= ++=A,i=i?4 引理2設(shè)A為n階矩陣則AA*A*A(detA)E,其中

An1

An2稱為矩陣A的伴隨矩陣.?? ??

adjoint A證

nn?

n?

An1An2

nn

nn5

An1a AA*=

n2

?

nn

nn +

=detA,i= AA

i?= det=OO

det

=(det det類似有A*A所以AA*A*A(detA)E.AA*A*A=|A|E6

設(shè)矩陣A和B滿?條件:A*BA2BA8E,其中A*表?矩陣A的伴隨矩陣E是單位矩陣, A= -

0,求矩陣

AA*=A*A=AE 解由等式A*BA2BA8E,兩端左乘AAA*BA=2ABA-8|A|BA=2ABA-8再右乘A-1,得|A|B2AB所 (|A|E-2A)B=-7 A= - 100|A|=-0001(|A|E-2A)B=- B=-8(|A|E-2A)- 0-2 -

0 1

1 0-

0 =4 - - 00 0

1 2 = - 0.020 020 定理1設(shè)A可逆則A-1

det

A*.(A-1

|A

證由引理 AA*=A*A=(det因A可逆故detA0,

detA-1

det9 例下列矩陣AB是否可逆若可逆求出其逆矩陣.

4A-11|AAA-11|A 1,B= -3354 3354

- |A|=

12 \A-1存在 = 1= =- 1=- 同理可得A13=2,A21=6,A22=- A23= A32=5,A33=-

A11=AA2241的逆矩陣.

-

=

A32

- -

5

- 33 -

-A-1=

-

=-3 - 52|A 2

- -1 對(duì)B

4 -1,- 5 164164由于|B24-=--=-25089設(shè)A-1

1

|AB|=|A|AB|=|A||B 1(A*)-1= (A*)-1= |AA-1= |AA-1= |A3解A-1

|A

兩邊同時(shí)取逆得：(A*)-1

|A由于A-1存在所以|A|

|A

=|A-1|=|A*|?

即證A*可逆

- -

=|A-1=

1-2

01- 1 - - (A*)-1

A=2A=- 0|A - 1 ?陣的逆矩

2009年考研數(shù)學(xué)(?,?,三),選擇題,(4分設(shè)AB均為2階矩陣,A*B*分別為AB 伴隨矩陣.若|A|=2,|B|=3,則分塊矩陣 (B)(B)32B*O(A)

3B*2A*O(C)

CC-1=1CC

2B*OCC*CC*=C*C=C

3B*O 分塊矩陣

O的?列式

=(-1)2·2|A||BO=2·3= ?陣的逆矩

2009年考研數(shù)學(xué)(?,?,三),選擇題,(4分設(shè)AB均為2階矩陣,A*B*分別為A,B 伴隨矩陣.若|A|=2,|B|=3,則分塊矩陣 (B)(B)O2B*3OC-1=1CC A=6?O

即分塊矩陣可逆

=

A

A-

=

O

O O

A- OO O |B

B*

2B* =6 |A

3A*(G.Cramer,1704--a11x1+a12x2 +a1nxn

x+ x

+ =12nn12nn

2nan

若常數(shù)項(xiàng)b1b2,bn不全為零,則稱此?程組為非齊次線性方程組;若常數(shù)項(xiàng)b1,b2,,bn全已有定理:?陣A可逆的充要條件為AX=b有唯?解(Cramer

+a1nxnba x+ x + 設(shè)A可逆,則AX=b的唯?解為:21

xj

detdet

,(j=1

(※)

+annxn說明

detAj

a2,j-

a2,aa2,an,

.

an,

法則包含三個(gè)結(jié)論① 有解②解是唯?的③解 (※)給出設(shè)設(shè)A可逆則AX=b的唯?解為:jdet ,(j=1det,證解的唯?性(顯然)A-11det

?

detA

??

n

得到的?列式得到的?列式detAj=b1A1j+b2A2j+detA §1.3定理3§1.3定理3n設(shè)A為n階矩陣則AXA 應(yīng)用一求解非齊次線性 ,要準(zhǔn)確迅速地算出D及Di(i=1,2 ,從?求出所求的解x1+x2-x3= 例求解

+3

-2x3=4x1

+

-x3= -

c+

-D=

-

- - - 1(-

-1=114 -114

- - =1- =1-1

=3,D2=

-

=6,D3

1= -

-

x= =3= =

=6=2,

=D3=9=

x1+x2+x3=x+ax+a2 =

+

+b2x3= A=

a2

=(b-a)(b-1)(a-bab1a1則A0范A1范

A,x1

A=1, A= =

=0

x2=2=A

=0

x3=A

=應(yīng)用二已知齊次線性? 只有零解,由其系數(shù)?列式不等于零,確定該 lx1+x2+x3= 例齊次線性 +lx

+x3=

+x2+x3=只有零解則l應(yīng)滿?的條件是什么解因齊次線性 只有零解,l

問D0時(shí)D l1(1l)20即l

該 解如何證明齊次線性 僅有零解為此只須證明其系數(shù)?列式D? 應(yīng)用四已知齊次線性?有非零解,由其系數(shù)?列式等于零,確定系數(shù)?列式中參數(shù)的取值 計(jì)算量非常?,有實(shí)際計(jì)算意義,主是理論上的意義(如,給出了解的表達(dá)式伴隨矩陣的重要結(jié)論:

AA*=A*A=|A|逆矩陣的?個(gè)簡(jiǎn)明表達(dá)式

A-1

|A ?程個(gè)數(shù)等于未知量個(gè)數(shù)系數(shù)?列式不等于零 系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)之間的關(guān)系.它主要適?于理論推導(dǎo)思考題設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)是平?上兩個(gè)不同的點(diǎn)且過AB兩點(diǎn)的直線不通過原