福建省福州市市永泰第二中學(xué)高三數(shù)學(xué)文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知P是邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC的邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A.有最大值，為8

B.是定值6

C.有最小值，為2

D.與P點(diǎn)的位置有關(guān)參考答案：B2.在復(fù)平面內(nèi),到復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離與到直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是（

）A.拋物線

B.雙曲線

C.橢圓

D.直線參考答案：D考點(diǎn)：兩點(diǎn)間距離公式和點(diǎn)到直線的距離公式．3.點(diǎn)P是拋物線y2=4x上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)A（0，﹣1）的距離與到直線x=﹣1的距離和的最小值是（）A．B．C．2D．參考答案：考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．專題：計(jì)算題．分析：由拋物線的性質(zhì)，我們可得P點(diǎn)到直線x=﹣1的距離等于P點(diǎn)到拋物線y2=4x焦點(diǎn)F的距離，根據(jù)平面上兩點(diǎn)之間的距離線段最短，即可得到點(diǎn)P到點(diǎn)A（0，﹣1）的距離與到直線x=﹣1的距離和的最小值．解答：解：∵P點(diǎn)到直線x=﹣1的距離等于P點(diǎn)到拋物線y2=4x焦點(diǎn)F的距離故當(dāng)P點(diǎn)位于AF上時(shí)，點(diǎn)P到點(diǎn)A（0，﹣1）的距離與到直線x=﹣1的距離和最小此時(shí)|PA|+|PF|=|AF|=故選D點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，其中根據(jù)拋物線的性質(zhì)，將點(diǎn)P到點(diǎn)A（0，﹣1）的距離與到直線x=﹣1的距離和，轉(zhuǎn)化為P點(diǎn)到A，F(xiàn)兩點(diǎn)的距離和，是解答本題的關(guān)鍵．4.函數(shù)，則＝A.0

B.1

C.2011

D.2012參考答案：B5.定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x）滿足f（1）=1，且2f′（x）＞1，當(dāng)x∈[﹣，]時(shí)，不等式f（2cosx）＞﹣2sin2的解集為（）A．（，） B．（﹣，） C．（0，） D．（﹣，）參考答案：D【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．【分析】構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）﹣，可得g（x）在定義域R上是增函數(shù)，且g（1）=0，進(jìn)而根據(jù)f（2cosx）＞﹣2sin2可得2cosx＞1，解得答案．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣，則g′（x）=f′（x）＞0，∴g（x）在定義域R上是增函數(shù)，且g（1）=f（1）=0，∴g（2cosx）=f（2cosx）﹣cosx=f（2cosx）﹣cosx，令2cosx＞1，則g（2cosx）＞0，即f（2cosx）＞+cosx，又∵x∈[﹣，]，且2cosx＞1∴x∈（﹣，），故選：D6.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，若，則a的最大值是（

）A．2018

B．2010

C．2020

D．2011參考答案：D由函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，，可得：，即，故函數(shù)的周期為12.令，解得，∴在上的根為5，7；又，∴的最大值在上，即.故選：D

7.已知某幾何體的三視圖如上圖所示，則該幾何體的體積為

(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C解析:由三視圖易知，該幾何體是底面積為，高為3的三棱錐，由錐體的體積公式得8.若復(fù)數(shù)，滿足：，則的虛部為（

）A.

B.1

C.

D.參考答案：C9.已知分別是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)其中一個(gè)焦點(diǎn)與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點(diǎn)M，若點(diǎn)M在以線段為直徑的圓內(nèi)，則雙曲線離心率的取值范圍是（

）A．(1,2)

B．(2,+∞)

C．

D．參考答案：A如圖1，不妨設(shè)，則過(guò)F1與漸近線平行的直線為，聯(lián)立解得即因M在以線段為直徑的圓內(nèi)，故，化簡(jiǎn)得,即，解得，又雙曲線離心率，所以雙曲線離心率的取值范圍是(1，2).選擇A.10.設(shè)向量，滿足||=2，在方向上的投影為1，若存在實(shí)數(shù)λ，使得與﹣λ垂直，則λ=（） A． B．1 C．2 D．3參考答案：C【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算． 【分析】利用向量投影的意義可得，再利用向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系即可得出． 【解答】解：∵向量，滿足||=2，在方向上的投影為1， ∴==2×1=2． ∵存在實(shí)數(shù)λ，使得與﹣λ垂直， ∴==0， ∴22﹣2λ=0， 解得λ=2． 故選：C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量投影的意義、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題． 二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.是內(nèi)一點(diǎn)（不包括邊界），且，則的取值范圍是

.

參考答案：12.若實(shí)數(shù)x，y滿足，則z=3x+4y的最大值是

．參考答案：14【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】畫(huà)出滿足條件的平面區(qū)域，求出角點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)的圖象求出z的最大值即可．【解答】解：畫(huà)出滿足條件的平面區(qū)域，如圖示：，由，解得A（2，2），由z=3x+4y得：y=﹣x+，結(jié)合圖象得直線過(guò)A（2，2）時(shí)，z最大，z的最大值是14，故答案為：14．13.設(shè)為銳角，若

▲

.參考答案：14.（5分）設(shè)函數(shù)f（x）與g（x）是定義在同一區(qū)間[a，b]上的兩個(gè)函數(shù)，若對(duì)任意的x∈[a，b]，都有|f（x）﹣g（x）|≤k（k＞0），則稱f（x）與g（x）在[a，b]上是“k度和諧函數(shù)”，[a，b]稱為“k度密切區(qū)間”．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx與g（x）=在[，e]上是“e度和諧函數(shù)”，則m的取值范圍是．參考答案：﹣1≤m≤1+e【考點(diǎn)】：函數(shù)的值域．【專題】：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】：由“e度和諧函數(shù)”，得到對(duì)任意的x∈[，e]，都有|f（x）﹣g（x）|≤e，化簡(jiǎn)整理得m﹣e≤lnx+≤m+e，令h（x）=lnx+（≤x≤e），求出h（x）的最值，只要m﹣e不大于最小值，且m+e不小于最大值即可．解：：∵函數(shù)f（x）=lnx與g（x）=在[，e]上是“e度和諧函數(shù)”，∴對(duì)任意的x∈[，e]上，都有|f（x）﹣g（x）|≤e，即有|lnx+﹣m|≤e，即m﹣e≤lnx+≤m+e，令h（x）=lnx+（≤x≤e），h′（x）=﹣=，x＞1時(shí)，h′（x）＞0，x＜1時(shí)，h′（x）＜0，x=1時(shí)，h（x）取極小值1，也為最小值，故h（x）在[，e]上的最小值是1，最大值是e﹣1．∴m﹣e≤1且m+e≥e﹣1，∴﹣1≤m≤e+1．故答案為：﹣1≤m≤1+e【點(diǎn)評(píng)】：本題考查新定義及運(yùn)用，考查不等式的恒成立問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解，是一道中檔題．15.已知傾斜角為α的直線l與直線x+2y-3=0垂直，則的值為_(kāi)____．參考答案：，16.已知直角三角形ABC中，直角邊AC=6,點(diǎn)D是邊AC上一定點(diǎn)，CD=2,點(diǎn)P是斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，CP⊥BD,則△APC面積的最大值是

▲

；線段DP長(zhǎng)度的最小值是

▲

．參考答案：;

17.已知函數(shù)，則在點(diǎn)處的切線的斜率最大時(shí)的切線方程是______________

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（理）已知，函數(shù)。（1）設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線為，若與圓相切，求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）求函數(shù)在[0，1]上的最小值。參考答案：（理）解：（1）依題意有，過(guò)點(diǎn)的直線斜率為，所以過(guò)點(diǎn)的直線方程為又已知圓的圓心為，半徑為1∴，解得……………………4分（2）……5分當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得………………7分所以的增區(qū)間為，減區(qū)間是…………8分（3）當(dāng)，即時(shí)，在[0，1]上是減函數(shù)所以的最小值為………9分當(dāng)即時(shí)在上是增函數(shù)，在是減函數(shù)………………10分所以需要比較和兩個(gè)值的大小因?yàn)?，所以∴?dāng)時(shí)最小值為，當(dāng)時(shí)，最小值為當(dāng)，即時(shí)，在[0，1]上是增函數(shù)

所以最小值為……12分綜上，當(dāng)時(shí)，為最小值為

當(dāng)時(shí)，的最小值為19.（本小題滿分12分）

是等差數(shù)列，是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且，，．（Ⅰ）求、的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前n項(xiàng)和。參考答案：（Ⅰ）設(shè)的公差為，的公比為，則依題意有

且

解得，．

所以，．（Ⅱ）．，①，②②－①得，．20.（本小題滿分12分）為了解某校高三9月調(diào)考數(shù)學(xué)成績(jī)的分布情況，從該校參加考試的學(xué)生成績(jī)中抽取一個(gè)樣本，并分成5組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知第一組至第五組數(shù)據(jù)的頻率之比為，最后一組數(shù)據(jù)的頻數(shù)是6.（1）估計(jì)該校高三學(xué)生9月調(diào)考數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诘母怕剩⑶蟪鰳颖救萘?；?）從樣本成績(jī)?cè)诘膶W(xué)生中任選2人，求至少有1人成績(jī)?cè)诘母怕?參考答案：（1）估計(jì)該校高三學(xué)生9月調(diào)考數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)谏系母怕蕿?，設(shè)樣本容量為，則，解得.…4分（2）樣本中成績(jī)?cè)谏系膶W(xué)生有×40＝2人，記為，；成績(jī)?cè)谏系膶W(xué)生有×40＝4人，記為，，，．從上述6人中任選2人的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，共15個(gè)，記“從上述6人中任選2人，至少有1人在上”為事件A，則事件A包含的基本事件有：，，，，，，，，，共9個(gè)．故所求概率P(A)＝＝．………12分21.

（1）設(shè)是公差為d的等差數(shù)列，推導(dǎo)公式：若；

（2）若的前n項(xiàng)和，證明當(dāng)C≠0時(shí)，數(shù)列不是等差數(shù)列．參考答案：解：(1)因?yàn)閿?shù)列{an}為等差數(shù)列，所以am＋an＝a1＋(m－1)d＋a1＋(n－1)d＝2a1+(m＋n－2)d，ap＋aq＝a1＋(p－1)d＋a1＋(q－1)d＝2a1+(p＋q－2)d，又m＋n＝p＋q，所以am＋an＝ap＋aq.(6分)(2)當(dāng)n＝1時(shí)，b1＝S1＝A＋B＋C；當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝Sn－Sn－1＝An2＋Bn＋C－[A(n－1)2＋B(n－1)＋C]＝2An－A＋B，即當(dāng)n≥2時(shí)，數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝2An－A＋B，當(dāng)n＝1時(shí)，b1＝A＋B＋C≠A＋B，所以數(shù)列{bn}不是等差數(shù)列．(12分)

略22.已知函數(shù),(1)設(shè)（其中是的導(dǎo)