高等應(yīng)用數(shù)學(xué)——提升模塊一（線性代數(shù)）項(xiàng)目介紹線性方程組在工程技術(shù)和生活中的經(jīng)濟(jì)問題里常用到，因此線性方程組的求解就非常重要.前面學(xué)習(xí)了克萊姆法則，但應(yīng)用克萊姆法則解線性

方程組有限制條件（方程組中方程的個(gè)數(shù)和未知

數(shù)的個(gè)數(shù)相等，而且系數(shù)行列式還不能等于零），但實(shí)際問題得到的方程組不一定就滿足這些條件，克萊姆法則就無法應(yīng)用，如何解這樣的線性方程

組，將通過本項(xiàng)目的學(xué)習(xí)得到解決.項(xiàng)目三線性方程組解的討論任務(wù)一高斯消元法任務(wù)二n維向量及其線性關(guān)系任務(wù)三線性方程組解的結(jié)構(gòu)討論項(xiàng)目三線性方程組解的討論任務(wù)一高斯消元法任務(wù)一高斯消元法如何求解上述線性方程組呢？解分析上述消元法解方程組的過程，可歸結(jié)為是對(duì)方程組的增廣矩陣進(jìn)行下述初等行變換的過程任務(wù)一高斯消元法(1)(2)

(3)

2

3321

1=

63x

+

x

+

x

=

42x

-

x

+

3x

=

-3例1

用消元法解線性方程組x1

+

2x2

-

x3

0-15-144

3

1

2

-1 6

1

2

-1

6-1

3

-

3

-

5

51

1

-

5

4~r3

-3r1

fi

0r2-2r1A

=

21

0

1

0

1

01

-1

30

-1

0

1

2

-1

6fi

0

1

-1

3

-

5

4

-141

251r3

+5r2

fi

0r

-2r-

·r2最后一個(gè)矩陣對(duì)應(yīng)的線性方程組為上述用矩陣求解線性方程組的方法稱為高斯消元法.任務(wù)一高斯消元法

0

1

-1

00

1

-1

0

1010

1

r1

-r3

001

01-13

r2+r3

fi

0102

-1·r3

fi32x

=

-1x

=

2x1

=

1=

2=

-1即該方程組的解為

32xxx1

=

1~)=

3此時(shí),

r(A)=

r

A任務(wù)一高斯消元法任務(wù)一高斯消元法例3

用高斯消元法解線性方程組解因?yàn)樽詈笠粋€(gè)矩陣對(duì)應(yīng)的線性方程組為任務(wù)一高斯消元法1

2

32x

+

x

+

x

=

14x

+

2x

-

2x

=

32x1

+

x2

-

x3

=

1fi0

010

1

2

3

2

1

-1

10

00

21

2~1

13r

-rr2

-2r1

2

1

-1

1A

=

4

2

-

2

31

1

0

0

2

1

0

10

0

10

11

2

3r1

+r31

fi

01

r=

00

=13x2x1

+

x2

=

0定理1如果元線性方程組滿足:時(shí)，該方程組無解.定理2如果元齊次線性方程組滿足:任務(wù)一高斯消元法n

時(shí)，方程組只有唯一一組解；（1）r(A)=

r

~

)=A（2）r(A)=

r

A~

)<n

時(shí)，方程組有無數(shù)多組解.~（3）r(A)?

r

A)（1）r(A)=n

時(shí)，方程組只有零解；（2）r(A)<n

時(shí)，方程組有無數(shù)多組非零組解.定理1定理2因此，可利用矩陣的初等行變換解線性方程組的步驟是：1、寫出線性方程組的增廣矩陣；2、把做初等行變換，將化為行最簡(jiǎn)階梯陣；3、寫出以為增廣矩陣對(duì)應(yīng)的同解方程組；4、判斷是否有解？有解，得到的解就是所求線性方程組的解.任務(wù)一高斯消元法一、n維向量二、向量的線性運(yùn)算三、向量組的線性相關(guān)性四、向量組的秩任務(wù)二n維向量及其線性關(guān)系一、n維向量任務(wù)二n維向量及其線性關(guān)系定義1任務(wù)二n維向量及其線性關(guān)系定義2定義3任務(wù)二n維向量及其線性關(guān)系定義4二、向量的線性運(yùn)算任務(wù)二n維向量及其線性關(guān)系定義5任務(wù)二n維向量及其線性關(guān)系定義6解由向量的運(yùn)算法則,方程組可表示為若記任務(wù)二n維向量及其線性關(guān)系

n

mn

m

a

bax

+

a

aa

=

b2

x

++

a2n

x

a1n

b1

2

m2

221

m1

21

a11

a21

=

mn

m

b

a

b

a

a

a

a

a

2

b1

2n

a1n

m2

22

a12

m121

a11

1,,

α

n

=

,

β

=

α

,

α

2

=

方程組可以表示為向量形式：α1

x1

+

α

2

x2

++

α

n

xn

=

β三、向量組的線性相關(guān)性任務(wù)二n維向量及其線性關(guān)系定義7定義8任務(wù)二n維向量及其線性關(guān)系定理1定理2向量組線性相關(guān)的充要條件是向量組中至少有一個(gè)向量可以用其它向量線性表示.特別：一個(gè)零向量必線性相關(guān)，一個(gè)非零向量必線性無關(guān).含有零向量的向量組必線性相關(guān).任務(wù)二n維向量及其線性關(guān)系=(0,0,,0,1)，稱為（3）向量組e1

=(1,0,,0)，e2

=(0,1,0,,0)，…enn

維基本行向量組，該向量組線性無關(guān).定理2向量組組，該向量組線性無關(guān).四、向量組的秩任務(wù)二n維向量及其線性關(guān)系

0=，

01

e

0=

，

1…1

02

e

1

0

ne=，

0稱為

維n基本列向量定義9任務(wù)二n維向量及其線性關(guān)系定義10的特征，把求向量組的秩轉(zhuǎn)化為求對(duì)應(yīng)矩陣的秩.任務(wù)二n維向量及其線性關(guān)系

nk

k

a

=

a2k

a1k

利用向量組α(k

=1,2,,m)為列向量可以作對(duì)應(yīng)nm

aa

a

n1

n

2a2m

a1m

a11

a12矩陣

A

=

a21

a22任務(wù)二n維向量及其線性關(guān)系因此求向量組的一個(gè)極大無關(guān)組的步驟可歸納為：以向量組為列向量可以作對(duì)應(yīng)矩陣A；用初等行變換將A化為階梯形矩陣，進(jìn)一步化為最簡(jiǎn)階梯形矩陣；最簡(jiǎn)階梯形矩陣中只含有1個(gè)元素1對(duì)應(yīng)的列所在位置對(duì)應(yīng)的向量組，構(gòu)成所求的極大無關(guān)組.例7

求下列向量組的一個(gè)極大無關(guān)組及秩，并把剩余向量用此極大無關(guān)組表示.任務(wù)二n維向量及其線性關(guān)系

解寫出對(duì)應(yīng)矩陣

1=

0

-1

1

3

0

2

5

1

2=

1

1

3=

1

,

α

4=

2,

α3

1

,

α

2α1

1

3

2 1

0

-

2

-

2

-

2

0

-1

-1

-1

0

-1

-1

-1

1

3

2 1

1

1

0

-1

1

2

1 0

2

5

3 1

3

1r4

-2r1

fi

r

-rr2

-r1A

=

(α1

,

α

2

,

α

3

,

α

4

)=

任務(wù)二n維向量及其線性關(guān)系0

1

3

0

1

0

021011

1

0

0010-110-

21

0

0

000

0000

3

21r1

-3r2

fi

r4

+r2

fir

+r-

r22一、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)

二、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)任務(wù)三線性方程組解的結(jié)構(gòu)討論一、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)任務(wù)三線性方程組解的結(jié)構(gòu)討論齊次線性方程組解的解具有下列性質(zhì)任務(wù)三線性方程組解的結(jié)構(gòu)討論任務(wù)三線性方程組解的結(jié)構(gòu)討論定義1任務(wù)三線性方程組解的結(jié)構(gòu)討論定理1任務(wù)三線性方程組解的結(jié)構(gòu)討論二、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)任務(wù)三線性方程組解的結(jié)構(gòu)討論任務(wù)三線性方程組解的結(jié)構(gòu)討論定理2任務(wù)三線性方程組解的結(jié)構(gòu)討論例解非齊次線性方程組解

該方程組的增廣矩陣任務(wù)三線性方程組解的結(jié)構(gòu)討論

1

2

31

2

34x

+

x

+

6x

x

+

x

+

2x

=

1=

6

-

3x2

-

2x3

=

26

42fi

01

2 1

-

3

-

21

66

42

1

0

-

3

-

2

1

2 1

1

6~1

2r

?

rA

=

1