第2章自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.1系統(tǒng)微分方程的編寫2.2傳遞函數(shù)2.3系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖及其等效變換2.4自動(dòng)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2.1系統(tǒng)微分方程的編寫控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型：描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及內(nèi)部變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。常用的數(shù)學(xué)模型有：微分方程、傳遞函數(shù)、動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖、信號(hào)流圖等。微分方程是系統(tǒng)最基本的數(shù)學(xué)模型。當(dāng)系統(tǒng)的輸入量和輸出量都是時(shí)間t的函數(shù)時(shí)，其微分方程可以確切地描述系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過程。它是由輸出量的各階倒數(shù)和輸入量的各階導(dǎo)數(shù)以及系統(tǒng)的一些參數(shù)構(gòu)成。

1.建立系統(tǒng)微分方程的一般步驟（1）全面了解系統(tǒng)的工作原理、結(jié)構(gòu)組成和支持系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的物理規(guī)律，確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量。（2）建立初始微分方程組。即根據(jù)各環(huán)節(jié)所遵循的基本物理規(guī)律，分別列寫出相應(yīng)的微分方程，并構(gòu)成微分方程組。（3）消去中間變量，將式子標(biāo)準(zhǔn)化。即把與輸入量有關(guān)的各項(xiàng)放在方程的右邊，把與輸出量有關(guān)的各項(xiàng)放在方程的左邊，各導(dǎo)數(shù)項(xiàng)按降冪排列。

2.建立系統(tǒng)微分方程舉例【例1】已知一RLC電路如圖2-1所示，試列寫其微分方程。

圖2-1RLC電路解：(1)明確輸入、輸出量。uo(t)為輸出量，ui(t)為輸入量。(2)建立初始微分方程組。

（2-2）

（2-1）

式中i為回路電流，它是一個(gè)中間變量。

(3)消去中間變量，將式子標(biāo)準(zhǔn)化。由式(2-1)、(2-2)得：（2-3）

【例2】如圖2-2所示為一個(gè)彈簧、質(zhì)量和阻尼器組成的機(jī)械系統(tǒng)，若外力F作用于質(zhì)量為m的物體，x為位移，k為彈性系數(shù)，m為物體的質(zhì)量，f為阻尼系數(shù)。試列寫該系統(tǒng)F與x之間的微分方程。圖2-2彈簧-質(zhì)量-阻尼機(jī)械系統(tǒng)kf解：(1)明確輸入、輸出量。外作用力F為輸入變量，位移x為輸出變量。(2)建立初始微分方程組。設(shè)質(zhì)量m相對(duì)于初始平衡狀態(tài)的位移、速度和加速度分別為x、dx/dt和d2x/dt2。根據(jù)牛頓定律得：(2-4)(2-5)(3)消去中間變量，將式子標(biāo)準(zhǔn)化。=F2.2傳

遞

函

數(shù)1.傳遞函數(shù)的定義傳遞函數(shù)是在用拉氏變換求解微分方程的過程中引申出來的概念。微分方程這一數(shù)學(xué)模型不僅計(jì)算麻煩，并且它所表示的輸入、輸出關(guān)系復(fù)雜而不明顯。但是，經(jīng)過拉氏變換的微分方程卻是一個(gè)代數(shù)方程，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，從而可以用簡(jiǎn)單的比值關(guān)系描述系統(tǒng)的輸入、輸出關(guān)系。據(jù)此，建立了傳遞函數(shù)這一數(shù)學(xué)模型。傳遞函數(shù)的定義為：在初始條件為零時(shí)，輸出量的拉氏變換式與輸入量的拉氏變換式之比。即傳遞函數(shù)G(s)=輸出量的拉氏變換輸入量的拉氏變換(2-6)2.傳遞函數(shù)的一般表達(dá)式

如果系統(tǒng)的輸入量為r(t)，輸出量為c(t)，并由下列微分方程描述：在初始條件為零時(shí)，對(duì)方程兩邊進(jìn)行拉氏變換，有

ansnC(s)+an-1sn-1C(s)+…+a1sC(s)+a0C(s)=bmsmR(s)+bm-1sm-1R(s)+…+b1sR(s)+b0R(s)即(ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0)C(s)=(bmsm+bm-1sm-1+…+b1s+b0)R(s)根據(jù)傳遞函數(shù)的定義有(2-7)3.色傳揀遞函木數(shù)的寸性質(zhì)(1告)亭傳遞攪函數(shù)就是將顆線性悠定常憲系統(tǒng)洲的微數(shù)分方職程經(jīng)悅拉氏未變換甲后導(dǎo)膚出的辛，逆因此悉傳遞見函數(shù)脖的概涂念只昆適用越于線連性定廳常系歡統(tǒng)。(2死)弱傳遞棄函數(shù)螞是復(fù)捕變量s的有叼理分眠式函秩數(shù)，脖通鞠常n≥m，袋且所蓄有的爭(zhēng)系數(shù)樹均為穿實(shí)數(shù)濃。(3源)文傳遞晉函數(shù)甚只取健決于瘦系統(tǒng)牲或元著件的號(hào)結(jié)構(gòu)伍和參城數(shù)，笛與罵輸入村量的脫形式林和大肉小無昌關(guān)。(4土)傅傳遞礦函數(shù)鞭是在浴零初泊始條播件下代求得杰的。3.田典跪型環(huán)點(diǎn)節(jié)的執(zhí)傳遞斬函數(shù)1）咱比例劫環(huán)節(jié)繡：輸掌出量途與輸憲入量足成比魄例的布環(huán)節(jié)摔稱為含比例蝕環(huán)節(jié)加，如什圖洲2拌-3逆所示述，其纖微分民方程甩為草c(t)=Kr(t)(2燙-8業(yè))式事中，K為比含例環(huán)介節(jié)的爺放大受系數(shù)柔。將式門(2嗚-8拘)兩揮邊取繡拉氏搭變換飛有：C(s)=KR(s)因整理鬼后得找該環(huán)晶節(jié)的豆傳遞頓函數(shù)G(s)，配即圖減2驢-值10甩比游例環(huán)匹節(jié)方刑框圖謀及響蹄應(yīng)曲揭線(a）且比例蚊環(huán)節(jié)肢方框負(fù)圖；掘(b）解比例繭環(huán)節(jié)栗單位汽階躍苦響應(yīng)2）朝積分界環(huán)節(jié)請(qǐng)：輸裳出量斜與輸兵入量總對(duì)時(shí)砌間的膀積分砍成正碑比的展環(huán)節(jié)愛稱為門積分主環(huán)節(jié)裕，夢(mèng)如圖勻2斤-干4讀(a)所輝示，伶其睛微分椒方程候?yàn)椋?2徒-9堤)式(邪2-9)鑼經(jīng)拉俊氏變感換，載并賤整理木可得吉該環(huán)慎節(jié)的膝傳遞糖函數(shù)俗為(2唯-1扎0)式中燙，T為積蕩分時(shí)擦間?？蛿?shù)。圖電2-幼4做積露分環(huán)輕節(jié)方拳框圖腿及響卻應(yīng)曲偷線(a）頸積分番環(huán)節(jié)鏡方框攜圖；張(b）王積分昌環(huán)節(jié)鈴單位慚階躍火響應(yīng)3）溝微分悲環(huán)節(jié)次：輸穿出量磚與輸轉(zhuǎn)入量屠的導(dǎo)姨數(shù)成稱正比掉的環(huán)廳節(jié)稱舉為微泄分環(huán)攻節(jié)，芹如圖喉2洞-5真(a)所旗示，蓬其情微分豬方程朽為(2抗-1替1)式中釣，T為微顛分時(shí)修間常孝數(shù)。搏經(jīng)頂拉氏泳變換蔽，碰得該爸環(huán)節(jié)搶的傳遞函配數(shù)為(2榆-1師2)圖臨2-贈(zèng)5壁微貼分環(huán)選節(jié)方猛框圖擇及響燦應(yīng)曲報(bào)線(a）劫微分唐環(huán)節(jié)崗方框御圖；撞(b）秩微分吉環(huán)節(jié)遇單位奮階躍岡響應(yīng)4）冷慣性耀環(huán)節(jié)濤：含昏有一潔個(gè)儲(chǔ)窗能元昏件和推一個(gè)沃耗能慰元件然的環(huán)瞇節(jié)，拌其毛輸出懸量與寄輸入寫量的窗微分障方程惑為式中斯，T為慣宴性環(huán)科節(jié)的歌時(shí)間丹常數(shù)潤(rùn)；K為慣眨性環(huán)暫節(jié)的學(xué)放大摟系數(shù)駁。(2亭-咽1刺3)對(duì)式喘(2霧-1葉3)蟲作拉粘氏變具換并羅整理娛，廉得慣肥性環(huán)蒜節(jié)的協(xié)傳遞釣函數(shù)G(s)為慣性懇環(huán)節(jié)限的方煙框圖栗如圖鴉2餅-6救(a)所皆示。(2掘-腹1鼓4)圖膨2-池6覺慣性咸環(huán)節(jié)梢方框鞠圖及慢響應(yīng)軟曲線執(zhí)(a）語(yǔ)慣性毫環(huán)節(jié)革方框存圖；瞎(b）尊慣性聲環(huán)節(jié)奴單位令階躍辣響應(yīng)5）扯振蕩友環(huán)節(jié)復(fù)：也懸稱二久階環(huán)口節(jié)，豪它的陣微分賓方程鳥通常揚(yáng)表達(dá)暮為(2亂-1煌5)式中母，T為振呀蕩環(huán)鞭節(jié)的杠時(shí)間出常數(shù)孝；ζ殃為振寧蕩環(huán)甲節(jié)的寸阻尼比（盜又稱句阻尼赤系數(shù)鍋）。對(duì)式狐(2稅-1低5)攻作拉涼氏變斧換，將可岸得T2s2C(s)+袖2ζT步sC(s)+C(s)=R(s)道移項(xiàng)越整理城有(2夜-1剩6)令T=1跟/ωn,ωn為該挽環(huán)節(jié)尸的無開阻尼希自然定振蕩兩頻率判,慨則式咬(2-55消)可此改寫牧成如壯下形禿式:(2努-1閱7)振蕩誘環(huán)節(jié)掏的方宇框圖碼如圖懷2么-7定(a)所賠示。圖盯2-勉7帖振洞蕩環(huán)縣節(jié)方氧框圖有及單積位階煎躍響叨應(yīng)曲蜜線(a）正振蕩蔥環(huán)節(jié)惜方框業(yè)圖；幟(b）蔽振蕩墳環(huán)節(jié)鑒單位量階躍醋響應(yīng)2.染3黑系統(tǒng)丟的動(dòng)扶態(tài)結(jié)忙構(gòu)圖笛及其咬等效添變換在求構(gòu)導(dǎo)微道分方陪程和嗎傳遞賣函數(shù)貞時(shí)，古都需適要用奮消元押法消餡去中騎間變及量，教消元甲后只是剩下瞇系統(tǒng)份的輸拖入和嗽輸出櫻兩個(gè)弊變量啞，不岔能直猜觀地符顯示寇出系察統(tǒng)中傷其他仁變量嗚間的親關(guān)系丈以及誓信號(hào)緩在系辭統(tǒng)中銹的傳致遞過得程。霸動(dòng)態(tài)麻結(jié)構(gòu)艱圖則臣可以稠表示聞出系州統(tǒng)中滑各變聲量之愚間的澇數(shù)學(xué)撫關(guān)系場(chǎng)及信艘號(hào)的芬傳遞奮過程宗，還咐可以河根據(jù)話等效艦變換服原則亞方便范地求妖出系節(jié)統(tǒng)的拒傳遞蛋函數(shù)處。一、謀動(dòng)添態(tài)結(jié)努構(gòu)圖國(guó)的概宿念動(dòng)態(tài)底結(jié)構(gòu)海圖又露稱方把框圖寇，是曉系統(tǒng)符中各談環(huán)節(jié)阻函數(shù)液功能很和信漁號(hào)流盯向的蔥圖形索表示境，度由方艙框、擦信霉號(hào)線瓦、肉引出候點(diǎn)、綜合襖點(diǎn)（巖比較激點(diǎn)）等組良成（急如圖宇2-潑8所援示）瞞。(1辛)莫信號(hào)之線：餡如圖臂2-獻(xiàn)8(a)所抄示，顯表示百輸入打、狂輸出打通道已，埋箭頭埋代表鈴信號(hào)向的傳稅遞方亡向。(2宮)曉方框舞（環(huán)礎(chǔ)節(jié)）爪：如民圖2由-8須(b)所澤示，露方框滋內(nèi)為脅具體請(qǐng)環(huán)節(jié)水的傳剝遞函盞數(shù)。(3傅)讓綜合嫌點(diǎn)（龍比較袖點(diǎn)）鐵：如驅(qū)圖2辭-8雪(c票)所史示）被，表思示幾你個(gè)信艦號(hào)相譽(yù)加減蝴。(4科)棗信號(hào)情分支告點(diǎn)（震引出華點(diǎn)，另如來圖2敢-8句(d罩)所注示）波：途表示煎同一陽(yáng)信號(hào)閥輸出尊到幾星個(gè)地兆方。圖2君-8墊動(dòng)態(tài)唐結(jié)構(gòu)軋圖的帶基本井組成窩部分二、詠系統(tǒng)替動(dòng)態(tài)餓結(jié)構(gòu)還圖的雕繪制系統(tǒng)著動(dòng)態(tài)頁(yè)結(jié)構(gòu)色圖的時(shí)繪制粉步驟神如下?lián)u：(1酸)灶根據(jù)為信號(hào)棒傳遞超過程便，將聞系統(tǒng)咱劃分竄為若領(lǐng)干個(gè)斃環(huán)節(jié)屬或部將件，列出而各環(huán)云節(jié)的迷微分利方程。(2友)調(diào)確定洲各環(huán)痛節(jié)的革輸入訊量與茂輸出湖量，子求跌出各誓環(huán)節(jié)萬的傳厚遞函番數(shù)。(3臣)蟲繪出浪各環(huán)彈節(jié)的柜動(dòng)態(tài)立結(jié)構(gòu)播圖。(4追)深將各臨環(huán)節(jié)汗相同午的量喬依次停連接娘，就得到有系統(tǒng)扯動(dòng)態(tài)封結(jié)構(gòu)嗚圖?！纠?】酬試?yán)L慕制圖嘉2-滾9所次示RC電路豎的動(dòng)厚態(tài)結(jié)遇構(gòu)圖癥。圖眨2-壯9RC電路解且(戴1)恒根叼據(jù)信煙號(hào)傳編遞過蒙程，好將蓮系統(tǒng)粱劃分紛為四休個(gè)部貍件：R1、C1、R2、C2。(2坦)乞確定君各環(huán)姻節(jié)的券輸入從量與禁輸出螞量，榆求柳出各緊環(huán)節(jié)隆的傳葵遞函兇數(shù)。R1：撲輸善入量釘為ui-u1，量輸出瘦量為i1；持傳遞扇函數(shù)掌為C1：翁輸入床量為i1-i2，揉輸出使量為u1；端傳遞菌函數(shù)百為R2：腦輸入競(jìng)量為u1-uo，香輸出疊量為i2；珍傳遞該函數(shù)歲為C2：丘輸入蟻量為i2，喝輸出戰(zhàn)量為uo；苗傳遞就函數(shù)滔為圖壘2-仿10RC電路屬各部尼件的編動(dòng)態(tài)榮結(jié)構(gòu)耗圖(3顛)辣繪出狂各環(huán)認(rèn)節(jié)的根動(dòng)態(tài)舒結(jié)構(gòu)減圖（育如圖奪2-引10左所示謎）圖餃2-跟11RC電路縱的動(dòng)閑態(tài)結(jié)靠構(gòu)圖(4叛)娘將各成環(huán)節(jié)婆相同德的量位依次圈連接斧，胸得到嘉系統(tǒng)釘動(dòng)態(tài)荷結(jié)構(gòu)勤圖（重如圖憑2-浮11今所示沿）。三、翻結(jié)構(gòu)六圖的刊等效棍變換圖灰2-遭12輕交叉肌反饋吊系統(tǒng)博的化哄簡(jiǎn)【例你4】溫化寬簡(jiǎn)圖同2波-1恥2(辮a)煤中的巾交叉膝反饋罷系統(tǒng)款，治并求逐出它呀的傳粥遞函閑數(shù)。圖爺2-被13速動(dòng)危態(tài)結(jié)滋構(gòu)圖逐的等纏效變誤換過忍程【例巖5】四、酷梅遜南公式利用技梅遜緣瑞公式套，不繞需等乘效變老換而撥直接很可以巷根據(jù)掉控制退系統(tǒng)傻的結(jié)葬構(gòu)圖透計(jì)算謀系統(tǒng)烤的傳渴遞函欺數(shù)。梅遜紡公式贊為1)特征溉式式中歷特征舊式后梅三項(xiàng)途分別猾為：冷各回品路傳交遞函慨?dāng)?shù)之漠和；盈兩兩柴互不貧相接含觸回音路的夜傳遞丈函數(shù)周乘積扶之和畢；所夜有三廢個(gè)互皺不相辯接觸歇回路益的傳盤遞函譯數(shù)乘藝積之紐奉和。2）桌為第k條前妥向通冰道的民傳遞呈函數(shù)體。3）粉為在值中濱除去叛與第k條前破向通檢路相件接觸唇的有縣關(guān)回背路所俊在項(xiàng)彎后的巾余下沙部分捆，稱鑼為第k條前訂向通飽路特墨征式己的余惹因子需。2.四4愉自動(dòng)偉控制雕系統(tǒng)餓的傳躬遞函逃數(shù)圖治2-剩14玩閉料環(huán)控腔制系漆統(tǒng)的婚典型煙動(dòng)態(tài)地結(jié)構(gòu)踢圖一、鐮系統(tǒng)花的開圾環(huán)傳啄遞函劑數(shù)在圖澇2-森14淘中，粱將反矛饋環(huán)引節(jié)H(s)的漫輸出撥端切萬斷，醋斷開男系統(tǒng)抵的反山饋通遞道?？藙t反忙饋信昂號(hào)B(s)與相輸入鋒信號(hào)R(s)的榮比值歇，丙稱為反系統(tǒng)復(fù)的開膚環(huán)傳寨遞函拿數(shù)：（2很-1花8）閉環(huán)濃控制完系統(tǒng)有的開起環(huán)傳述遞函粥數(shù)等祖于前曬向通術(shù)道的右傳遞級(jí)函數(shù)著與反藍(lán)饋通筋道的罷傳遞凳函數(shù)刻的乘市積，將一般情用Gk(s)表番示。二、架系統(tǒng)萬的閉咳環(huán)傳停遞函束數(shù)1.抱給擠定輸棉入信站號(hào)r(t)作皺用下圖的閉雙環(huán)傳庭遞函惑數(shù)由于吳只考高慮r(t)的綿作用蓬，裳因此定可設(shè)n(t)=壤0。（2藝-1喉9）稱Φr(s)為r(t)作柔用下襯的閉位環(huán)傳罪遞函壞數(shù)。辛而胃輸出賞量為（2底-2訪0）2.專擾吊動(dòng)信戀號(hào)n(t)作獎(jiǎng)用下登的閉康環(huán)傳流遞函五數(shù)由于述只考換慮n(t)的威作用積，療因此京可設(shè)r(t)=材0。租輸出歇量c(t)與殲擾動(dòng)粱信號(hào)n(t)之由間的脆閉環(huán)峰傳遞赴函數(shù)棍為（2飲-2社1）稱Φn(s)為n(t)作事用下挨的閉區(qū)環(huán)傳抹遞函媽數(shù)。塌而撈輸出愈量為