動(dòng)態(tài)測(cè)試數(shù)據(jù)處理的基本方法第1頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一、動(dòng)態(tài)測(cè)試

按照被測(cè)物理量是否隨時(shí)間而變化，測(cè)試技術(shù)可分為靜態(tài)測(cè)試和動(dòng)態(tài)測(cè)試兩大類(lèi)。

靜態(tài)測(cè)試的被測(cè)量是靜止不變的，儀器的輸入量為常量。

動(dòng)態(tài)測(cè)試的被測(cè)量是隨時(shí)間或空間而變化的，儀器的輸入量及測(cè)試結(jié)果(數(shù)據(jù)或信號(hào))也是隨時(shí)間而變化的。第2頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、動(dòng)態(tài)測(cè)試數(shù)據(jù)的分類(lèi)表示物理現(xiàn)象或過(guò)程的任何數(shù)據(jù)，都可以分為確定性的和隨機(jī)性的兩大類(lèi)。能夠用明確的數(shù)學(xué)關(guān)系式描述的數(shù)據(jù)稱(chēng)為確定性數(shù)據(jù)。不能用明確的數(shù)學(xué)關(guān)系式來(lái)表達(dá)的數(shù)據(jù)稱(chēng)為隨機(jī)的或非確定性的數(shù)據(jù)。第3頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月動(dòng)態(tài)測(cè)試數(shù)據(jù)的特征動(dòng)態(tài)測(cè)試數(shù)據(jù)的特征可以用數(shù)據(jù)的幅值隨時(shí)間變化的表達(dá)式、圖形或數(shù)據(jù)表來(lái)表示，這就是數(shù)據(jù)的時(shí)域描述。時(shí)域描述比較簡(jiǎn)單直觀(例如示波器上的波形圖)，但它不能反映數(shù)據(jù)的頻率結(jié)構(gòu)。為此，常對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行頻譜分析，研究其頻率成分及各頻率成分的強(qiáng)度，這就是數(shù)據(jù)的頻域描述。所謂“域”的不同，是指描述數(shù)據(jù)的坐標(biāo)圖橫坐標(biāo)的物理量不同。如時(shí)域的橫坐標(biāo)為時(shí)間t，頻域的橫坐標(biāo)為頻率f或ω。

隨著研究的目的不同，可采用不同的域描述。第4頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

(一)確定性數(shù)據(jù)

確定性數(shù)據(jù)可以根據(jù)它的時(shí)間歷程記錄是否有規(guī)律地重復(fù)出現(xiàn)，或根據(jù)它是否能展開(kāi)為博里葉級(jí)數(shù)，而劃分為周期數(shù)據(jù)和非周期數(shù)據(jù)兩類(lèi)。周期數(shù)據(jù)又可分為正弦周期數(shù)據(jù)和復(fù)雜周期數(shù)據(jù)。非周期數(shù)據(jù)又可分為準(zhǔn)周期數(shù)據(jù)和瞬態(tài)數(shù)據(jù)。第5頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月確定性數(shù)據(jù)的分類(lèi)第6頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1．周期數(shù)據(jù)

周期數(shù)據(jù)是經(jīng)過(guò)一定時(shí)間間隔重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)。

最常見(jiàn)的是正弦周期數(shù)據(jù)，其幅度隨時(shí)間作正弦周期波動(dòng)，其函數(shù)形式如下：（7-2）

時(shí)域頻域第7頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月復(fù)雜周期數(shù)據(jù)復(fù)雜周期數(shù)據(jù)是由不同頻率的正弦周期數(shù)據(jù)疊加而成的，其頻率比為有理數(shù)，其圖形是由基波的整數(shù)倍波形疊加而成的。若基波頻率為f1，各組成項(xiàng)的頻率為nfl，n＝l，2，…，則復(fù)雜周期數(shù)據(jù)可以展開(kāi)為博里葉級(jí)數(shù):

（7-3）

式中，第8頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月式(7—3)還可以寫(xiě)成如下形式：式中，（7-4）

可見(jiàn)，復(fù)雜周期數(shù)據(jù)是由一個(gè)靜態(tài)分量A0和無(wú)限多個(gè)諧振分量(振幅為An，相位為θn)組成，諧振分量的頻率都是f1的整倍數(shù)。第9頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月復(fù)雜周期數(shù)據(jù)的圖形描述由圖可見(jiàn)，即使x(t)可能包含無(wú)限多個(gè)頻率分量，但頻譜仍然是離散的。周期性方波、三角波及鋸齒波都是復(fù)雜周期性波形的例子。在幾何量測(cè)量中，不圓度誤差數(shù)據(jù)通常也是復(fù)雜周期數(shù)據(jù)．它是由偏心量、橢圓度及各種棱圓度等諧波分量疊加而成的。第10頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2．非周期數(shù)據(jù)

凡能用明確的數(shù)學(xué)關(guān)系式描述的，但又不是周期性的數(shù)據(jù)，均稱(chēng)為非周期數(shù)據(jù)。它包括準(zhǔn)周期數(shù)據(jù)和瞬態(tài)數(shù)據(jù)。

第11頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月準(zhǔn)周期數(shù)據(jù)準(zhǔn)周期數(shù)據(jù)是由彼此的頻率比不全為有理數(shù)的兩個(gè)以上正弦數(shù)據(jù)疊加而成的數(shù)據(jù)。例如x1(t)為周期性數(shù)據(jù)。

1/3，1/7，3/7是有理數(shù)。X2(t)為準(zhǔn)周期性數(shù)據(jù)。是無(wú)理數(shù)第12頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月準(zhǔn)周期數(shù)據(jù)的表達(dá)式（7-5）

式中的任一頻率成分fn與另一頻率成分fm之比f(wàn)n／fm不全為有理數(shù)。準(zhǔn)周期數(shù)據(jù)的頻域描述如圖所示。

在工程實(shí)踐中，當(dāng)兩個(gè)或幾個(gè)不相關(guān)的周期性物理現(xiàn)象混合作用時(shí)，常會(huì)產(chǎn)生準(zhǔn)周期數(shù)據(jù)。例如幾個(gè)電動(dòng)機(jī)不同步振動(dòng)造成的機(jī)床或儀表的振動(dòng)，其動(dòng)態(tài)測(cè)試結(jié)果即為準(zhǔn)周期數(shù)據(jù)。

第13頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月瞬態(tài)數(shù)據(jù)準(zhǔn)周期數(shù)據(jù)以外的非周期數(shù)據(jù)均為瞬態(tài)數(shù)據(jù)。產(chǎn)生瞬態(tài)數(shù)據(jù)的物理現(xiàn)象很多。如圖所示。

圖a為熱源消除后物體溫度變化及其頻譜；圖b為激振力解除后的阻尼振蕩系統(tǒng)的自由振動(dòng)及其頻譜；圖c為在t＝c時(shí)刻斷裂的電纜的應(yīng)力及其頻譜。第14頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月瞬態(tài)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)與周期數(shù)據(jù)及準(zhǔn)周期數(shù)據(jù)不同，瞬態(tài)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)是不能用離散頻譜表示。瞬態(tài)數(shù)據(jù)的頻譜是連續(xù)型的且頻率范圍無(wú)限，這與周期數(shù)據(jù)及準(zhǔn)周期數(shù)據(jù)有明顯區(qū)別。

第15頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月瞬態(tài)數(shù)據(jù)的描述（7-7）

（7-8）

x(f)的反變換為

大多數(shù)情況下，瞬態(tài)數(shù)據(jù)可通過(guò)傅里葉變換，得到其頻域的描述為第16頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(二)隨機(jī)性數(shù)據(jù)

與確定性數(shù)據(jù)不同，隨機(jī)性數(shù)據(jù)是不能用明確的數(shù)學(xué)表達(dá)式來(lái)描述。若在一個(gè)動(dòng)態(tài)試驗(yàn)中，不能在合理的試驗(yàn)誤差范圍內(nèi)預(yù)計(jì)未來(lái)時(shí)刻的測(cè)試結(jié)果數(shù)據(jù)，則可認(rèn)為此動(dòng)態(tài)試驗(yàn)數(shù)據(jù)是隨機(jī)性數(shù)據(jù)。隨機(jī)性數(shù)據(jù)只能用概率統(tǒng)計(jì)的特征量來(lái)描述。

第17頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月隨機(jī)數(shù)據(jù)的分類(lèi)根據(jù)隨機(jī)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特征量是否隨時(shí)間變化，可把隨機(jī)數(shù)據(jù)分為平穩(wěn)過(guò)程和非平穩(wěn)過(guò)程兩大類(lèi)。平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程又可進(jìn)一步分為各態(tài)歷經(jīng)的和非各態(tài)歷經(jīng)的。第18頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月隨機(jī)數(shù)據(jù)的分類(lèi)第19頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第二節(jié)隨機(jī)過(guò)程及其特征重復(fù)測(cè)量一個(gè)不變的物理量，由于被測(cè)量、測(cè)量?jī)x器或測(cè)量條件的隨機(jī)因素，造成所測(cè)得一系列測(cè)量結(jié)果包含隨機(jī)誤差(偶然誤差)，其中每次測(cè)量結(jié)果都是取得一個(gè)隨機(jī)的、但是唯一的測(cè)量值，因而，測(cè)量結(jié)果是一個(gè)隨機(jī)變量。第20頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一、研究隨機(jī)過(guò)程理論的實(shí)際意義

隨著自動(dòng)化生產(chǎn)和科學(xué)研究的發(fā)展，越來(lái)越多地需要測(cè)量連續(xù)變化的過(guò)程，這時(shí)被測(cè)量可能是隨時(shí)間而連續(xù)變化，或者是隨空間而連續(xù)變化。因此測(cè)量過(guò)程和測(cè)量結(jié)果也是隨時(shí)間而連續(xù)變化的。同樣，由于檢測(cè)對(duì)象、測(cè)量?jī)x器和測(cè)量條件的隨機(jī)誤差，因而被測(cè)過(guò)程和測(cè)量結(jié)果都是一個(gè)隨機(jī)的但是連續(xù)變化的函數(shù)。它有別于上述隨機(jī)變量，我們稱(chēng)之為隨機(jī)函數(shù)。對(duì)隨機(jī)函數(shù)的分析計(jì)算，本質(zhì)上類(lèi)似于前幾章的隨機(jī)誤差，但較復(fù)雜一些。隨機(jī)過(guò)程理論就是研究隨機(jī)性表現(xiàn)為一個(gè)過(guò)程的隨機(jī)現(xiàn)象的學(xué)科，通常它是研究動(dòng)態(tài)測(cè)量過(guò)程及其測(cè)量結(jié)果的理論根據(jù)。第21頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月動(dòng)態(tài)測(cè)量活動(dòng)日益增加幾何量機(jī)械量測(cè)量，過(guò)去以靜態(tài)測(cè)量為主。今天，隨著生產(chǎn)過(guò)程的自動(dòng)化，幾何量機(jī)械量的動(dòng)態(tài)測(cè)量日益增加。例如機(jī)械量測(cè)量中的振動(dòng)測(cè)量、動(dòng)載和動(dòng)態(tài)應(yīng)變測(cè)量、速度加速度連續(xù)測(cè)量，以及流量、壓力、溫度等物理量的連續(xù)測(cè)量等。幾何量測(cè)量中的線紋尺和圓分度的動(dòng)態(tài)測(cè)量、絲桿或齒輪參數(shù)的動(dòng)態(tài)測(cè)量、磨削加工中尺寸的測(cè)量和控制、圓度測(cè)量、表面粗糙度測(cè)量等。第22頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月隨機(jī)過(guò)程理論顯然，用過(guò)去靜態(tài)測(cè)量精度評(píng)定方法(如前幾章所述)是不能正確評(píng)定動(dòng)態(tài)測(cè)量結(jié)果的，而且不能進(jìn)一步分析動(dòng)態(tài)測(cè)量中的特殊現(xiàn)象(例如測(cè)量速度、頻率響應(yīng)、記錄失真等)。因此，有必要進(jìn)一步介紹動(dòng)態(tài)測(cè)量及誤差計(jì)算的理論基礎(chǔ)——隨機(jī)過(guò)程理論。第23頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月用輪廓儀測(cè)量磨削表面粗糙度的記錄曲線

用輪廓儀測(cè)量某磨削表面粗糙度的記錄曲線中的任一點(diǎn)的表面輪廓高度是一個(gè)隨機(jī)變量，而沿任一方向的輪廓曲線是一個(gè)隨機(jī)函數(shù)。因而連續(xù)測(cè)量表面粗糙度可以看作是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程。第24頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、隨機(jī)過(guò)程的基本概念

在動(dòng)態(tài)測(cè)量中，對(duì)某一個(gè)不斷變化著的量進(jìn)行測(cè)量，每一個(gè)測(cè)量結(jié)果是一個(gè)確定的隨時(shí)間或空間變化的函數(shù)(例如一條記錄曲線)，對(duì)于測(cè)量的時(shí)間間隔內(nèi)的每一瞬時(shí)，該函數(shù)都有一個(gè)確定的數(shù)值。但由于隨機(jī)誤差的存在，使得重復(fù)多次測(cè)量，會(huì)得到不完全相同的函數(shù)結(jié)果(例如一組記錄曲線)。這種函數(shù)，對(duì)于自變量(時(shí)間或空間)的每一個(gè)給定值，它是一個(gè)隨機(jī)變量，我們稱(chēng)這種函數(shù)為隨機(jī)函數(shù)。

第25頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月隨機(jī)函數(shù)用x(t)表示。

每個(gè)測(cè)量結(jié)果xi(t)叫做隨機(jī)函數(shù)的一個(gè)現(xiàn)實(shí)或一個(gè)樣本，如x1(t)，x2(t)，…，xN(t)。而x(t)表示這些隨機(jī)函數(shù)樣本的集合(總體)表面粗糙度的測(cè)量第26頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月隨機(jī)函數(shù)自變量為時(shí)間t的隨機(jī)函數(shù)，通常叫隨機(jī)過(guò)程(例如磨加工尺寸是磨削時(shí)間的隨機(jī)函數(shù))。自變量為空間坐標(biāo)l的隨機(jī)函數(shù)，通常叫隨機(jī)場(chǎng)(例如絲杠螺旋線誤差是絲杠長(zhǎng)度的隨機(jī)函數(shù))。隨機(jī)場(chǎng)和隨機(jī)過(guò)程的研究方法是一樣的。因此以下統(tǒng)稱(chēng)隨機(jī)過(guò)程或隨機(jī)函數(shù)。所有對(duì)自變量為時(shí)間t的隨機(jī)函數(shù)計(jì)算公式，同樣適用于自變量為空間坐標(biāo)l或其他參量的隨機(jī)函數(shù)。第27頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)隨機(jī)函數(shù)的理解隨機(jī)過(guò)程或隨機(jī)函數(shù)x(t)包含如下的內(nèi)容：①把x(t)看作是樣本集合時(shí)，x(t)意味著一組時(shí)間函數(shù)x1(t)，x2(t)．…，xN(t)的集合；②把x(t)看作是一個(gè)樣本(或一個(gè)現(xiàn)實(shí))時(shí)，x(t)意味著一個(gè)具體的時(shí)間函數(shù).

例如x(t)＝x3(t)；③若t＝tl時(shí)，則x(t)意味著一組隨機(jī)變量x1(t1)，x2(t1)，…，xN(t1)的集合。第28頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)隨機(jī)函數(shù)的理解實(shí)際上，含義1、2、3的本質(zhì)是一樣的，只是對(duì)隨機(jī)過(guò)程的描述方式不同。含義1是從總體集合意義上講的。含義2是從一個(gè)時(shí)間歷程(一個(gè)現(xiàn)實(shí))上描述。一個(gè)現(xiàn)實(shí)是表示一次實(shí)驗(yàn)給定的結(jié)果．這時(shí)，隨機(jī)函數(shù)表現(xiàn)為一個(gè)非隨機(jī)的確定性函數(shù)。含義3則是從一個(gè)固定的t值上描述，由圖7—12截取各個(gè)現(xiàn)實(shí)，得一組xl(t1)，x2(t1)，…，xN(t1)值，這是一組隨機(jī)變量，同樣反映隨機(jī)過(guò)程x(t)的特征。由此可見(jiàn)，隨機(jī)函數(shù)兼有隨機(jī)變量與函數(shù)的特點(diǎn)。在一般實(shí)際測(cè)量中，多采用含義2描述隨機(jī)過(guò)程，而在理論分析中，多采用含義3進(jìn)行研究。

第29頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、隨機(jī)過(guò)程的特征量

隨機(jī)變量通常用它的概率分布函數(shù)、算術(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)差作為特征量來(lái)表示。同樣，隨機(jī)過(guò)程也有它的特征量，這些特征量不象隨機(jī)變量的特征量那樣表現(xiàn)為一個(gè)確定的數(shù)，而是表現(xiàn)為一個(gè)函數(shù)。第30頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月隨機(jī)過(guò)程的特征量常用四種統(tǒng)計(jì)函數(shù)來(lái)表示，即：①概率密度函數(shù)；②均值、方差和方均值；③自相關(guān)函數(shù)；④譜密度函數(shù)。第31頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(一)概率密度函數(shù)

概率密度函數(shù)是描述隨機(jī)數(shù)據(jù)落在給定區(qū)間內(nèi)的概率。第32頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月概率密度函數(shù)(7-10)(7-11)(7-12)第33頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(二)均值、方差和方均值對(duì)于自變量t的每一個(gè)給定值，mx(t)等于隨機(jī)函數(shù)x(t)在該t值時(shí)的所有數(shù)值的平均值(數(shù)學(xué)期望)，即(7-13)隨機(jī)過(guò)程的均值是一個(gè)非隨機(jī)的平均函數(shù)，它確定了隨機(jī)函數(shù)x(t)的中心趨勢(shì)，隨機(jī)過(guò)程的各個(gè)現(xiàn)實(shí)(樣本)都圍繞它變動(dòng)，而變動(dòng)的分散程度則可用方差成標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)評(píng)定。第34頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月隨機(jī)函數(shù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差也是一個(gè)非隨機(jī)的時(shí)間函數(shù)，它確定了隨機(jī)函數(shù)所有現(xiàn)實(shí)相對(duì)于均值的分散程度。在t＝t1時(shí)刻，隨機(jī)函數(shù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算類(lèi)似于第二章隨機(jī)誤差的方差和標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算方法。(7-14)(7-15)式(7—14)給出的隨機(jī)函數(shù)方差，實(shí)質(zhì)上是x(t)的二階中心矩，而二階原點(diǎn)矩(7-16)第35頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月方均值

隨機(jī)過(guò)程的二階原點(diǎn)矩又稱(chēng)方均值

因故(7-17)由此可見(jiàn)，方均值既反映隨機(jī)過(guò)程的中心趨勢(shì)，也反映隨機(jī)過(guò)程的分散度。第36頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(三)自相關(guān)函數(shù)

均值和方差是表征隨機(jī)過(guò)程在各個(gè)孤立時(shí)刻的統(tǒng)計(jì)特性的重要特征量，但不能反映隨機(jī)過(guò)程不同時(shí)刻之間的關(guān)系。因此，除均值和方差外，我們還要用另一個(gè)特征量來(lái)反映隨機(jī)過(guò)程內(nèi)不同時(shí)刻之間的相關(guān)程度，這特征量叫相關(guān)函數(shù)或自相關(guān)函數(shù)。

第37頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月兩個(gè)隨機(jī)函數(shù)的均值(數(shù)學(xué)期望)和方差幾乎一樣，但x(t)(圖a)的特點(diǎn)是變化緩慢，規(guī)律性較明顯，即x1(t)在不同t時(shí)刻的函數(shù)值之間有較明顯的聯(lián)系．相關(guān)性較強(qiáng)。而x2(t)(圖b)的特點(diǎn)是變化劇烈，即x2(t)在不同t時(shí)刻的函數(shù)值之間的聯(lián)系不明顯，而且隨首兩時(shí)刻間隔增大，它的聯(lián)系迅速減少,相關(guān)性變?nèi)?。?8頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)是一個(gè)二元的非隨機(jī)函數(shù)，這個(gè)函數(shù)在數(shù)學(xué)上可用相關(guān)矩來(lái)定義。(7-20)在實(shí)際應(yīng)用中，自相關(guān)函數(shù)還有一種更常用的表示式．稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)自相關(guān)函數(shù)，其定義是(7-18)第39頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月自相關(guān)函數(shù)具有以下性質(zhì)：①當(dāng)t’＝t相關(guān)函數(shù)等于隨機(jī)函數(shù)的方差。由于方差可以由自相關(guān)函數(shù)表示，故隨機(jī)函數(shù)的基本特征量?jī)H為均值與自相關(guān)函數(shù)。②自相關(guān)函數(shù)是對(duì)稱(chēng)的。③在隨機(jī)函數(shù)上加上一個(gè)非隨機(jī)函數(shù)時(shí)，它的均值(數(shù)學(xué)期望)也要加上同樣的非隨機(jī)函數(shù)，但它的自相關(guān)函數(shù)不變。所謂非隨機(jī)函數(shù)可以是一個(gè)固定的數(shù)，也可以是t的函數(shù)。④在隨機(jī)函數(shù)上乘以非隨機(jī)因子f(t)時(shí)，它的均值也應(yīng)乘上同一因子，而它的自相關(guān)函數(shù)應(yīng)乘上f(t)f(t’)。特別是當(dāng)f(t)＝常數(shù)C時(shí)，它的自相關(guān)函數(shù)應(yīng)乘上c2。

第40頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

(四)譜密度函數(shù)在實(shí)際應(yīng)用中，我們不僅關(guān)心作為隨機(jī)過(guò)程的數(shù)據(jù)的均值和相關(guān)函數(shù)，而且往往更關(guān)心隨機(jī)數(shù)據(jù)的頻率分布情況，也就是要研究隨機(jī)過(guò)程是由哪些頻率成分所組成，不同頻率的分量各占多大比重等。這種分析方法就是所謂頻譜分析法，它在測(cè)量誤差理論中占有重要地位。對(duì)于隨機(jī)函數(shù)，由于它的振幅和相位是隨機(jī)的，不能作出確定的頻譜圖。隨機(jī)過(guò)程的均方值可用來(lái)表示隨機(jī)函數(shù)的強(qiáng)度第41頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月功率譜

定義函數(shù)(7-30)來(lái)描述頻譜f到f＋Δf范圍內(nèi)隨機(jī)過(guò)程強(qiáng)度。當(dāng)隨機(jī)過(guò)程的長(zhǎng)度趨于＋∞，而頻率元素Δf趨于零時(shí)，則有(7-31)變換式(7—31)為定積分形式，則有(7-32)第42頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月譜密度的物理意義

Gx(f)描述了過(guò)程的強(qiáng)度沿f軸的分布密度，稱(chēng)為隨機(jī)過(guò)程的頻譜密度或譜密度。如果把x(t)看作是電流，則x2(t)將表示該電流在負(fù)載上產(chǎn)生的功率。由此可見(jiàn)譜密度的物理意義是表示f(t)產(chǎn)生的功率在頻率軸上的分布，而Gx(f)曲線與橫坐標(biāo)所圍面積表示了隨機(jī)過(guò)程的總功率。因此Gx(f)亦稱(chēng)功率譜密度或功率譜。第43頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Gx(f)曲線與橫坐標(biāo)所圍面積表示了隨機(jī)過(guò)程的總功率。

這樣．我們便引進(jìn)了一個(gè)描述平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程新的特征——譜密度函數(shù)。它是從頻率的領(lǐng)域描述隨機(jī)過(guò)程，而自相關(guān)函數(shù)是從時(shí)間的領(lǐng)域描述隨機(jī)過(guò)程。第44頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月“雙邊“譜密度Sx(f)

因式(7—31)是定義在0到＋∞的頻率范圍上，因此Gx(f)稱(chēng)為“單邊”譜密度．但譜密度函數(shù)也可以定義在－∞到＋∞的頻率范圍上，稱(chēng)為“雙邊“譜密度，記作Sx(f)。因隨機(jī)過(guò)程的總功率不變，故有（7-33）

Gx(f)與Sx(f)的關(guān)系

第45頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月譜密度的重要性質(zhì)譜密度有以下重要性質(zhì)：①譜密度Sx(f)是非負(fù)的實(shí)偶函數(shù)。②譜密度函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)互為傅里葉變換。（7-34）

第46頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月式(7—34)的簡(jiǎn)化形式由于自相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)．因此式(7—34)實(shí)際上只有實(shí)數(shù)值部分。故可化簡(jiǎn)為只有實(shí)值部分的公式（7-35）

（7-36）

或第47頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月以下舉例說(shuō)明自相關(guān)函數(shù)與譜密度函數(shù)的相互轉(zhuǎn)換。已知某隨機(jī)函數(shù)x(t)的相關(guān)函數(shù)為指數(shù)函數(shù)型

式中a＞0；

C——常數(shù)。試求該過(guò)程的譜密度Sx(f)。解：第48頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月有關(guān)討論：當(dāng)a不同，函數(shù)曲線也不同。（1）當(dāng)a減小時(shí)，相關(guān)函數(shù)隨著τ增加而減少得緩慢，表示隨機(jī)過(guò)程變化較平滑。這時(shí)低頻成分占主要，頻譜上小頻率部分占優(yōu)勢(shì)。（2）當(dāng)a增加，相關(guān)函數(shù)隨τ增大面威小得很快，這意味著隨機(jī)過(guò)程前后相關(guān)較弱，過(guò)程變動(dòng)劇烈，過(guò)程所含高頻成份與低頻成份均起作用。（3）當(dāng)a＝0時(shí)，自相關(guān)函數(shù)Rx(τ)＝C。它意味著隨機(jī)過(guò)程前后完全相關(guān)與自變量t無(wú)關(guān)。隨機(jī)過(guò)程不包含任何頻率成分的波動(dòng)，故頻譜為ω＝0。頻域?yàn)棣暮瘮?shù)。第49頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（4）當(dāng)a→∞時(shí)，相關(guān)函數(shù)→0，變成在τ＝0處的δ函數(shù)形式。此時(shí)各種頻率成份在隨機(jī)過(guò)程中均起作用。且各個(gè)作用幾乎一樣。于是該過(guò)程的頗譜表示為一常數(shù)，由式(7—34)得此常數(shù)的各種頻率的噪聲合成的隨機(jī)噪聲過(guò)程亦稱(chēng)為“白噪聲”，表7—1序號(hào)5便是白噪聲的相關(guān)函數(shù)與譜密度。它在工程實(shí)際中是很有用的。

第50頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第51頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第三節(jié)隨機(jī)過(guò)程特征量的實(shí)際估計(jì)

隨機(jī)過(guò)程分為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程和非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程兩大類(lèi)。平穩(wěn)過(guò)程又可分為各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程及非各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程。由于它們備具特點(diǎn)．因此其特征量的計(jì)算方法亦有不同。但正如前所述，對(duì)一物理量作系列測(cè)量后．不可能求得被測(cè)量的真值。同樣，由于隨機(jī)誤差的存在及測(cè)量次數(shù)有限，因而對(duì)一隨機(jī)過(guò)程作一系列動(dòng)態(tài)測(cè)試后，也不可能求得隨機(jī)過(guò)程特征量的真值，而只能通過(guò)有限個(gè)樣本作出估計(jì)。在工程實(shí)際中的隨機(jī)過(guò)程大多是干穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，對(duì)于具有N個(gè)樣本的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通常采用總體平均法(幾何平均法)求其特征量的估計(jì)，而對(duì)各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過(guò)程，則可采用時(shí)間平均法求其特征量的估計(jì)值。

下面分別介紹這些實(shí)際估計(jì)方法及其精度。

第52頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程及其特征量

研究圖a和圖b兩個(gè)不同的隨機(jī)過(guò)程，可以看出它們的區(qū)別。

圖a的隨機(jī)過(guò)程x(t)，其特征量(如均值、方差)顯然是不隨t1的變化而有明顯的變化，而且所選擇的tl的起點(diǎn)可以是任意的。但圖b顯示另一種特點(diǎn)，即隨機(jī)過(guò)程的均值及自相關(guān)函數(shù)顯然隨著t1的推移而有明顯的變化。

第53頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程與非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程

定義若隨機(jī)過(guò)程x(t)的所有特征量與t無(wú)關(guān)，即其特征量不隨t的推移而變化，則稱(chēng)x(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。否則，稱(chēng)為非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。第54頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月“平穩(wěn)”的條件隨機(jī)過(guò)程是“平穩(wěn)”的第一個(gè)條件是其均值為常數(shù)：

(7-41)隨機(jī)過(guò)程是“平穩(wěn)”的第二個(gè)條件是其方差為常數(shù)：

(7-42)隨機(jī)過(guò)程“平穩(wěn)”的第三個(gè)條件是隨機(jī)函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)Rx(t，t＋τ)應(yīng)不隨t的位置推移而變化，即與t無(wú)關(guān)：

(7-43)

由式(7—21)可知，方差可由自相關(guān)函數(shù)表示，因此條件式(7—42)只是條件式(7-43)的持殊情況。第55頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月廣義平穩(wěn)隨機(jī)函數(shù)當(dāng)不考慮隨機(jī)函數(shù)的概率密度等其他特征量，而只滿足均值為常數(shù)和自相關(guān)函數(shù)僅與τ有關(guān)這兩條件時(shí)，這樣的隨機(jī)函數(shù)稱(chēng)為寬平穩(wěn)隨機(jī)函數(shù)或廣義平穩(wěn)隨機(jī)函數(shù)。在工程實(shí)際中，很多隨機(jī)過(guò)程都滿足平穩(wěn)的條件，或者可以近似看作平穩(wěn)的。如照明電網(wǎng)的電壓波動(dòng)、電阻熱電噪聲、機(jī)床的振動(dòng)、切削加工平而的表面粗糙度等都是平穩(wěn)的。因此，我們要對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程作進(jìn)一步的研究。

第56頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(二)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的特征量

1．平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的均值和方差平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的均值和方差都是常數(shù)，且方差等于τ為0的自相關(guān)函數(shù)值。2．平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)因?yàn)槠椒€(wěn)過(guò)程的均值為常數(shù)，因此它的自相關(guān)函數(shù)就可直接用中心化的自相關(guān)函數(shù)式表示。第57頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)主要性質(zhì)

①當(dāng)τ＝0時(shí)：自相關(guān)函數(shù)取得最大值，且等于其方差。即（7-50）

②平穩(wěn)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)，即

（7-51）

③均值為零的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，若τ→∞時(shí)x(t)與x(t＋τ)不相關(guān)，則其相關(guān)函數(shù)趨于0。即（7-52）

第58頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月④平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程x(t)若含有周期性成分，則它的自相關(guān)函數(shù)中亦合有周期成分，且其周期與過(guò)程的周期相同。

在實(shí)際應(yīng)用中，性質(zhì)③、④是重要的。當(dāng)τ→∞時(shí)，不含周期信號(hào)成分的平穩(wěn)過(guò)程x(t)與x(t＋τ)的依賴(lài)性甚微(即不相關(guān))，其自相關(guān)函數(shù)趨于零。而含有周期信號(hào)成分的平穩(wěn)過(guò)程，x(t)與x(t＋τ)仍有周期性依賴(lài)關(guān)系，其自相關(guān)函數(shù)仍保持一定值。因此可從自相關(guān)函數(shù)是否趨于零來(lái)鑒別出均值為零的平穩(wěn)過(guò)程是否混有周期信號(hào)。第59頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

(三)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程特征量的實(shí)驗(yàn)估計(jì)上面給出了描述平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的特征量的各個(gè)定義，若知道隨機(jī)函數(shù)的類(lèi)型，便可知其特征量。但在工程實(shí)際中，更多的情況是預(yù)先不知道隨機(jī)數(shù)據(jù)的函數(shù)形式，面是通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)得如圖7—12所示的隨機(jī)函數(shù)樣本集合。這時(shí)可由實(shí)驗(yàn)結(jié)果來(lái)求特征量。第60頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月隨機(jī)函數(shù)樣本集合

圖7—12圖7—12第61頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月實(shí)驗(yàn)估計(jì)的步驟首先對(duì)N個(gè)連續(xù)的記錄采樣(采集斷續(xù)的數(shù)字樣本)，取等間距的tl，t2，…，tn，截取圖7—12的連續(xù)記錄，得函數(shù)值，如表7—2所示。第62頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月采樣數(shù)目的確定采樣數(shù)目的確定：若圖7—12的記錄長(zhǎng)度為T(mén)，首先將T分成等間距的n等分．即tk－tk-1＝T／n，為了可靠地計(jì)算均值和自相關(guān)函數(shù),n要取得足夠大，具體確定辦法參見(jiàn)有關(guān)書(shū)籍的采樣定理。采樣數(shù)目確定后，計(jì)算平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的特征量，就不必用積分形式運(yùn)算，而可以用代數(shù)和估計(jì)．第63頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月特征量估計(jì)計(jì)算（7-54）

（7-55）

（7-56）

（7-57）

這樣，就可以從實(shí)驗(yàn)結(jié)果有限個(gè)現(xiàn)實(shí)的總體中，按照不同時(shí)刻tk求出隨機(jī)數(shù)據(jù)各特征量的估計(jì)值。這就是總體平均法，或稱(chēng)幾何平均法。第64頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過(guò)程及其特征量

從上而計(jì)算可知，對(duì)平穩(wěn)過(guò)程，為求特征量，需作大量實(shí)驗(yàn)，獲得很多個(gè)隨機(jī)過(guò)程的現(xiàn)實(shí)，然后在各t時(shí)刻上求特