河北省保定市理想中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)函數(shù)f′（x）是奇函數(shù)f（x）（x∈R）的導(dǎo)函數(shù)，f（﹣1）=0，當(dāng)x＞0時(shí)，xf′（x）﹣f（x）＜0，則使得f（x）＞0成立的x的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．【分析】由已知當(dāng)x＞0時(shí)總有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判斷函數(shù)g（x）=為減函數(shù)，由已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，可證明g（x）為（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數(shù)，根據(jù)函數(shù)g（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性和奇偶性，模擬g（x）的圖象，而不等式f（x）＞0等價(jià)于x?g（x）＞0，數(shù)形結(jié)合解不等式組即可．【解答】解：設(shè)g（x）=，則g（x）的導(dǎo)數(shù)為：g′（x）=，∵當(dāng)x＞0時(shí)總有xf′（x）＜f（x）成立，即當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）恒小于0，∴當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)g（x）=為減函數(shù)，又∵g（﹣x）====g（x），∴函數(shù)g（x）為定義域上的偶函數(shù)又∵g（﹣1）==0，∴函數(shù)g（x）的圖象性質(zhì)類似如圖：數(shù)形結(jié)合可得，不等式f（x）＞0?x?g（x）＞0?或，?0＜x＜1或x＜﹣1．故選：A．2.已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，且經(jīng)點(diǎn)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：A設(shè)雙曲線的方程為雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選A.3.設(shè)集合；則(

)

A.

B．

C.

D．參考答案：A4.已知直線與圓相切，且與直線平行，則直線的方程是A．

B．或C．

D．或參考答案：D5.已知函數(shù)y=f（x）+x是偶函數(shù)，且f（2）=1，則f（﹣2）=（）A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5參考答案：D【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；抽象函數(shù)及其應(yīng)用．【分析】根據(jù)函數(shù)y=f（x）+x是偶函數(shù)，可知f（﹣2）+（﹣2）=f（2）+2，而f（2）=1，從而可求出f（﹣2）的值．【解答】解：令y=g（x）=f（x）+x，∵f（2）=1，∴g（2）=f（2）+2=1+2=3，∵函數(shù)g（x）=f（x）+x是偶函數(shù)，∴g（﹣2）=3=f（﹣2）+（﹣2），解得f（﹣2）=5．故選D．6.夏季高山上氣溫從山腳起每升高100m降低0.7℃，已知山頂?shù)臍鉁厥?4.1℃，山腳的氣溫是26℃.那么，此山相對(duì)于山腳的高度是()A．1500m

B．1600m

C．1700m

D．1800m參考答案：C7.已知是可導(dǎo)的函數(shù)，且對(duì)于恒成立，則（

）A、

B、C、

D、參考答案：D略8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出（

）A. B. C. D.

參考答案：A9.用一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形硬紙板，按各邊中點(diǎn)垂直折起四個(gè)小三角形，做成一個(gè)蛋巢，半徑為2的雞蛋（視為球體）放入其中，則雞蛋中心（球心）與蛋巢底面的距離為(

) A． B．1 C． D．3參考答案：A考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算．專題：綜合題；空間位置關(guān)系與距離．分析：蛋槽的邊長(zhǎng)是原來(lái)硬紙板的對(duì)角線長(zhǎng)度的一半，為2，蛋槽立起來(lái)的小三角形部分高度是1，雞蛋的半徑為2，直徑為4，大于折好的蛋巢邊長(zhǎng)2，由此能求出雞蛋中心（球心）與蛋巢底面的距離．解答： 解：蛋槽的邊長(zhǎng)是原來(lái)硬紙板的對(duì)角線長(zhǎng)度的一半，為2，蛋槽立起來(lái)的小三角形部分高度是1，雞蛋的半徑為2，直徑為4，大于折好的蛋巢邊長(zhǎng)2，四個(gè)三角形的頂點(diǎn)所在的平面在雞蛋表面所截取的小圓直徑就是蛋槽的邊長(zhǎng)2，根據(jù)圖示，AB段由三角形AB求出得：AB=，AE=AB+BE=+1，∴雞蛋中心（球心）與蛋巢底面的距離為+1．故選：A．點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)、線、面間距離的計(jì)算，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地化空間問(wèn)題為平面問(wèn)題，注意數(shù)形結(jié)合法的合理運(yùn)用．10.數(shù)列的通項(xiàng)公式，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)且滿足，則的最小值等于____▲____．

參考答案：

3略12.如圖所示，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，

則_____.參考答案：13.在的展開(kāi)式中，只有第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是。參考答案：1514.若命題“，使得成立”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______．參考答案：【分析】根據(jù)原命題為假，可得，都有；當(dāng)時(shí)可知；當(dāng)時(shí)，通過(guò)分離變量可得，通過(guò)求解最值得到結(jié)果.【詳解】由原命題為假可知：，都有當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)

綜上所述：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)命題的真假性求解參數(shù)范圍，涉及到恒成立問(wèn)題的求解.15.設(shè)是偶函數(shù)，若曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為1，則該曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為

參考答案：略16.為了判斷高中學(xué)生選讀文科是否與性別有關(guān)，現(xiàn)隨機(jī)抽取50名學(xué)生，得到如下列聯(lián)表：

理科

文科

合計(jì)

男

13

10

23

女

7

20

27

合計(jì)

20

30

50已知,，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到，則在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)

的前提下可以認(rèn)為選讀文科與性別是有關(guān)系的。參考答案：17.已知離心率為的雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，則實(shí)數(shù)_________．

參考答案：6三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.在數(shù)列{an}中，a1=6，且an﹣an﹣1=+n+1（n∈N*，n≥2），（1）求a2，a3，a4的值；（2）猜測(cè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．參考答案：【考點(diǎn)】RG：數(shù)學(xué)歸納法；8H：數(shù)列遞推式．【分析】（1）分別取n=2，3，4即可得出；（2）由（1）猜想an=（n+1）（n+2），再利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．【解答】解：（1）n=2時(shí)，a2﹣a1=+2+1，∴a2=12．同理可得a3=20，a4=30．（2）猜測(cè)an=（n+1）（n+2）．下用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n=1，2，3，4時(shí)，顯然成立；②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥4，k∈N*）時(shí)成立，即有ak=（k+1）（k+2），則當(dāng)n=k+1時(shí)，由且an﹣an﹣1=+n+1，得+n+1，故==（k+2）（k+3），故n=k+1時(shí)等式成立；由①②可知：an=（n+1）（n+2）對(duì)一切n∈N*均成立．19.如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=CB=CC1=2，E是AB中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：AB1⊥平面A1CE；（Ⅱ）求直線A1C1與平面A1CE所成角的正弦值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面垂直的判定；直線與平面所成的角．【分析】（Ⅰ）由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，可知CC1⊥AC，CC1⊥BC，∠ACB=90°，AC⊥BC．建立空間直角坐標(biāo)系C﹣xyz．則A，B1，E，A1，可得，，，可知，根據(jù)，，推斷出AB1⊥CE，AB1⊥CA1，根據(jù)線面垂直的判定定理可知AB1⊥平面A1CE．（Ⅱ）由（Ⅰ）知是平面A1CE的法向量，，進(jìn)而利用向量數(shù)量積求得直線A1C1與平面A1CE所成角的正弦值【解答】（Ⅰ）證明：∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥AC，CC1⊥BC，又∠ACB=90°，即AC⊥BC．如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系C﹣xyz．A（2，0，0），B1（0，2，2），E（1，1，0），A1（2，0，2），∴，，．又因?yàn)?，，∴AB1⊥CE，AB1⊥CA1，AB1⊥平面A1CE．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，是平面A1CE的法向量，，∴|cos＜，＞|==．設(shè)直線A1C1與平面A1CE所成的角為θ，則sinθ=|cos＜，＞|=．所以直線A1C1與平面A1CE所成角的正弦值為．20.(本大題15分）已知等比數(shù)列滿足，且是的等差中項(xiàng)．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)；（II）若，，求使成立的正整數(shù)n的最小值。參考答案：∵函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，且，，由③得n的最小值是5。

略21.某理科考生參加自主招生面試，從7道題中（4道理科題3道文科題）不放回地依次任取3道作答．（1）求該考生在第一次抽到理科題的條件下，第二次和第三次均抽到文科題的概率；（2）規(guī)定理科考生需作答兩道理科題和一道文科題，該考生答對(duì)理科題的概率均為，答對(duì)文科題的概率均為，若每題答對(duì)得10分，否則得零分．現(xiàn)該生已抽到三道題（兩理一文），求其所得總分X的分布列與數(shù)學(xué)期望E（X）．參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；條件概率與獨(dú)立事件．【分析】（1）利用條件概率公式，即可求該考生在第一次抽到理科題的條件下，第二次和第三次均抽到文科題的概率；（2）確定X的可能取值，利用概率公式即可得到總分X的分布列，代入期望公式即可．【解答】解：（1）記“該考生在第一次抽到理科題”為事件A，“該考生第二次和第三次均抽到文科題”為事件B，則P（A）=，P（AB）=．…∴該考生在第一次抽到理科題的條件下，第二次和第三次均抽到文科題的概率為P（B|A）=．…（2）X的可能取值為：0，10，20，30，則P（X=0）==，P（X=10）=+=，P（X=20）==，P（X=30）=1﹣﹣﹣=．…∴X的分布列為X0102030p…∴X的數(shù)學(xué)期望為EX=0×+10×+20×+30×=．…22.（本小題12分（1）小問(wèn)6分，（2）小問(wèn)6分）某幼兒園小班的美術(shù)課上，老師帶領(lǐng)小朋友們用水彩筆為美術(shù)本上如右圖所示的兩個(gè)大小不同的氣球涂色，要求一個(gè)氣球只涂一種顏色，兩個(gè)氣球分別涂不同的顏色.該班的小朋友牛?，F(xiàn)可用的有暖色系水彩筆紅色、橙色各一支，冷色系水彩筆綠色，藍(lán)色，紫色各一支.(1)牛牛從他可用的五支水彩筆中隨機(jī)的取出兩支按老師要求為氣球涂色，問(wèn)兩個(gè)氣球同為冷色的概率是多大？(2)一般情況下，老師發(fā)出開(kāi)始指令到涂色活動(dòng)全部結(jié)束需要10分鐘.牛牛至少需要2分鐘完成該項(xiàng)任務(wù).老師在發(fā)出開(kāi)始指令1分鐘后隨時(shí)可能來(lái)到牛牛身邊查看涂色情況.問(wèn)當(dāng)老師來(lái)到牛牛身邊時(shí)牛牛已經(jīng)完成任務(wù)的概率是多大？參考答案：（1）如下表格，

紅色橙色綠色藍(lán)色紫色紅色01111橙