-PAGE13- -PAGE13--PAGE13-提供全套畢業(yè)論文圖紙，歡迎咨詢目錄摘要……………………1關鍵詞……………1Abstract………………1Keywords………………2引言……………………21利用極限定義求極限………………32利用左右極限求極限………………13利用函數(shù)極限的四則運算法則來求極限…………14利用洛比達法則求極限15用兩個重要的極限來求函數(shù)的極限………………16利用泰勒公式……………………17利用定積分求極限………………18利用兩個準則求極限…………………18.1函數(shù)極限的迫斂性（夾逼法則）………8.2單調(diào)有界準則……………….9利用變量求極限……………………9.1利用等價無窮小量替換來求極限………………9.2利用其它變換來求極限………………….10用歸結原理求極限…………………11總結……………………….致謝…………………參考文獻……………淺談求函數(shù)極限的方法數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)學生步振華指導教師張克梅摘要：極限是數(shù)學分析的基礎，數(shù)學分析的基本概念的表述，都可以用極限來描述.如函數(shù)在某點處導數(shù)的定義,定積分的定義,偏導數(shù)的定義,二重積分的定義,三重積分的定義,無窮級數(shù)的定義都是用極限來定義的.極限是研究數(shù)學分析的基本工具.極限是貫穿數(shù)學分析的一條主線.學好極限要從以下兩個方面著手:1)是考察所給函數(shù)是否存在極限;2）若函數(shù)存在極限,則考慮如何計算此極限.本文主要是對第二個問題即在極限存在的條件下,如何去求極限進行綜述.對于簡單的極限的計算，利用定義求值或利用極限的四則運算法則求值都是可行的,但是對于一個比較復雜的極限的計算,則不能直接采用一般的定義或者定理，即使采用洛必達法則也是比較繁瑣的,然而用泰勒展示則計算簡單多了,這就說明為一般地解決極限求值問題時,就必須利用有效有針對性的計算方法，對各個具體問題還要善于發(fā)現(xiàn)和利用其特點以簡化手續(xù)．傳統(tǒng)的極限的計算方法不下十幾種,但具體到計算不同特征的極限時,究竟采用哪種方法,很多人總感到無從下手．只有將這些方法進行歸納總結,從而才可以針對不同特征的式子選擇適當?shù)挠嬎惴椒?進而簡化計算關鍵詞：極限；極限的定義；羅必達法則；泰勒公式；單調(diào)有限法則；IntroductiontobegfunctionlimitmethodStudentmajoringinMathematicsandAppliedMathematicsName步振華Tutor張克梅Abstract：Limitisthebasisofmathematicalanalysis,thebasicconceptsofmathematicalanalysisofexpression,canbeusedtodescribethelimitasafunctiondefinitionderivativeatsomepoint,thedefinitionofthedefiniteintegral,thedefinitionofpartialderivative,thedefinitionofdoubleintegrals,tripleintegraldefinition,infiniteseriesofdefinitionsareusedtodefinethelimitsofthelimitisthebasictooltostudythelimitsofmathematicalanalysisisamainthemethroughoutthemathematicalanalysistolearnthelimitsfromthefollowingtwoaspectsistoinvestigatethefunctionifthereisalimit.Ifthereisalimitfunction,thenconsiderhowtocalculatethislimitthisarticleisthesecondquestionthatundertheconditionsoftheexistenceofthelimit,howtofindthelimitsarereviewedforasimplecalculationofthelimitoftheuse.definethelimitsoftheevaluationortheuseoffourevaluationalgorithmsarefeasible,butforamorecomplicatedlimitcalculations,suchasFindincoslimxwhenexxxvaluesarenotdirectlyusingthegeneraldefinitionortheorem,evenwiththeHospital'sRuleismorecomplicated,however,Taylorshowsthecalculationismuchsimpler,whichisgenerallydescribedwhenthelimitisevaluatedtosolvetheproblem,wemustuseeffectivetargetedmethodofcalculationforeachspecificissuesbutalsogoodatfindingandusingitsfeaturestosimplifyprocedures.Thetraditionalmethodofcalculatingthelimitofnolessthanadozen,butwhencalculatingthelimitsspecifictodifferentcharacteristics,whetherusingeithermethod,alotofpeoplealwaysfeelunabletostart.Thesemethodswillonlybesummarized,sothatwecanchoosetheappropriatemethodofcalculationformulasfordifferentcharacteristics,andthussimplifythecalculationKeywords：Limit;ultimatelimitsofnature;Luo'sRule;Taylorformula;monotonouslimitedlaw;引言高等數(shù)學是以函數(shù)為研究對象，以極限理論和極限方法為基本方法，以微積分學為主要內(nèi)容的一門學科，極限理論和極限方法在這門課程中占有極其重要的地位。高等數(shù)學許多深層次的理論及其應用都是極限的延拓和深化，如連續(xù)、導數(shù)、微積分等等都是由極限定義的，離開了極限的思想高等數(shù)學就失去了基礎失去了價值，因此極限運算是高等數(shù)學的基本運算。由于極限定義的高度抽象使我們很難用極限定義本身去求極限，又由于極限運算分布于整個高等數(shù)學的始終，許多重要的概念是由極限定義的。極限知識是研究導數(shù)、各種積分、級數(shù)等的基本工具。反過來，我們也可以利用這些概念來求一些極限，所以運算方法繁多。針對這種情況，本文作者通過立體歸納總結出了如下常見的求極限的方法1.利用極限定義求極限定義1.1：設函數(shù)在點的某空心鄰域內(nèi)有定義,為定數(shù).若對任給的,存在正數(shù)（﹤），使得當時有，則稱函數(shù)當時以為極限,記作或.定義1.2：設為定義在上的函數(shù),為定數(shù).若對任給的，存在正數(shù),使得當時有，則稱函數(shù)當趨于時以為極限,記作或.對于其他形式函數(shù)極限的定義我就用-語言描述定義：=A:當-<x-<0時，|f（x）A|<=A:當0<x-<時，|f（x）-A|<當|x|>M時，|f（x）-A|<當x<-M時，|f（x）-A|<在數(shù)學分析中我們經(jīng)常用函數(shù)極限的定義來證明極限存在問題。例1.1用極限定義證明：=1證由==取=則當0<|x-2|<時，就有<由函數(shù)極限-定義有：=1.22.利用左右極限求極限定理2.1：函數(shù)極限f（）存在且等于A的充分必要條件是左極限f()及右極限f（）都存在且都等于A。即有：=Af（）=f（）=A。此類方法多用于求分段函數(shù)極限問題。例2.1求在的極限解3.利用函數(shù)極限的四則運算法則來求極限定理3.1：若極限和都存在，則函數(shù)，當時也存在且(1)(2)(3)又若，則在時也存在，且有利用極限的四則運算法則求極限，條件是每項或每個因子極限存在，一般所給的變量都不滿足這個條件，如、等情況，都不能直接用四則運算法則，必須要對變量進行變形，設法消去分子、分母中的零因子，在變形時，要熟練掌握因式分解、有理化運算等恒等變形。例3.1：求解：原式=例3．2：求解:=4.利用洛比達法則求極限洛比達法則一般被用來求型不定式極限及型不定式極限．用此種方法求極限要求在點的空心鄰域內(nèi)兩者都可導，且作分母的函數(shù)的導數(shù)不為零．例4.1求極限解：由于，且有，，由洛比達法則可得:例4.2求極限解：由于，并有，，由洛比達法則可得：，由于函數(shù)，均滿足洛比達法則的條件，所以再次利用洛比達法則：注1如果仍是型不定式極限或型不定式極限，只要有可能，我們可再次用洛比達法則，即考察極限是否存在，這時和在的某鄰域內(nèi)必須滿足洛比達法則的條件．注2若不存在，并不能說明不存在．注3不能對任何比式極限都按洛比達法則求解，首先必須注意它是不是不定式極限，其次是否滿足洛比達法則的其他條件．比如這個簡單的極限雖然是型，但若不顧條件隨便使用洛比達法則，就會因右式的極限不存在而推出原極限不存在的錯誤結論。5.用兩個重要的極限來求函數(shù)的極限①利用來求極限的擴展形為：令，當或時，則有或例5.1：解：令t=.則sinx=sin(t)=sint,且當時故例5.2：求解：原式=②利用來求極限的另一種形式為.事實上，令所以例5.3:求的極限解：原式=利用這兩個重要極限來求函數(shù)的極限時要仔細觀察所給的函數(shù)形式只有形式符合或經(jīng)過變化符合這兩個重要極限的形式時才能夠運用此方法來求極限。一般常用的方法是換元法和配指數(shù)法。6.利用泰勒公式對于求某些不定式的極限來說，應用泰勒公式比使用羅比塔法則更為方便，下列為常用的展開式：1、2、3、4、5、6、上述展開式中的符號都有:例6.1:求解:利用泰勒公式，當有于是===小結：此類題型考驗的是我們對泰勒展式的熟悉程度，因此解決此類題目要十分熟悉泰勒展式的結構以及用途。7.利用定積分求極限定義7.1：設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，將區(qū)間分成個子區(qū)間在每個子區(qū)任取一點，作和式（見右下圖），當時，(屬于最大的區(qū)間長度)該和式無限接近于某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間的定積分。例7.1:求解:設,則在內(nèi)連續(xù),所以,所以原式難點：定積分的概念，上限函數(shù)，定積分的換元法。8.利用兩個準則求極限8.1函數(shù)極限的迫斂性（夾逼法則）定義8.1：若一正整數(shù),當時，有且則有.（注：利用夾逼準則求極限關鍵在于從的表達式中，通常通過放大或縮小的方法找出兩個有相同極限值的數(shù)列和，使得。）例8.1：求的極限解：因為單調(diào)遞減，所以存在最大項和最小項則又因為8.2單調(diào)有界準則定義8.2：單調(diào)有界數(shù)列必有極限，而且極限唯一。(注：利用單調(diào)有界準則求極限，關鍵先要證明數(shù)列的存在，然后根據(jù)數(shù)列的通項遞推公式求極限。)例8.2：證明下列數(shù)列的極限存在，并求極限。證明：從這個數(shù)列構造來看顯然是單調(diào)增加的。用歸納法可證。又因為所以得.因為前面證明是單調(diào)增加的。兩端除以得因為則,從而即是有界的。根據(jù)定理有極限，而且極限唯一。令則則.因為解方程得所以9.利用變量求極限9.1利用等價無窮小量替換來求極限為了將未知的極限化簡，或轉化為已知的極限，可根據(jù)極限式的特點適當引入新變量以替換原有的變量，使原來的極限過程轉化為新的極限過程。最常用的方法就是等價無窮小量的替換。定義9.1：所謂等價無窮小量即稱與是時的等價無窮小量，記作定理9.1：設函數(shù)在內(nèi)有定義，且有1.若則2.若則由該定理就可利用等價無窮小量代換來求某些函數(shù)的極限例9.1求的極限解由而；；故有注1由上例可以看出，欲利用此方法求函數(shù)的極限必須熟練掌握一些常用的等價無窮小量：，，，，，，，注2在利用等價無窮小代換求極限時，應該注意：只有對所求極限中相乘或相除的因式才能用等價無窮小量來代換，而對極限式中的相加或相減的部分則不能隨意代換。如上式中若因有，；，而推出的，則得到的結果是錯誤的。小結在求解極限的時候要特別注意無窮小量等價替換,無窮小量等價替換可以很好的簡化解題。9.2利用其它變換來求極限利用變量替換進行極限計算，要靈活多變。例9.2求解令則10．用歸結原理求極限歸結原則：設在內(nèi)有定義，存在的充要條件是：對任何含于且以為極限的數(shù)列，極限都存在且相等．例10.1求極限分析：利用復合函數(shù)求極限，令，求解．解：令，則有；，由冪指函數(shù)求極限公式得，故由歸結原則得注1歸結原則的意義在于把函數(shù)歸結為數(shù)列極限問題來處理，對于，，和這四種類型的單側極限，相應的歸結原則可表示為更強的形式．注2若可找到一個以為極限的數(shù)列，使不存在，或找到兩個都以為極限的數(shù)列與，使與都存在而不相等，則不存在．11總結以上方法是在高等數(shù)學里求解極限的重要方法。在做求解極限的題目時，僅僅掌握以上方法的而不能夠透徹清晰地明白以上各方法所需的條件也是不夠的，必須要細心分析仔細甄選，選擇出適當?shù)姆椒?。這樣不僅準確率更高，而且會省去許多不必要的麻煩，起到事半功倍的效果。這就要求學習者要吃透其精髓，明了其道理，體會出做題的竅門。達到這樣的境界非一日之功，必須要多做題善于總結，日積月累，定會熟能生巧，在做題時得心應手。致謝本文是在張克梅老師的精心指導下完成的，張老師的廣博的學識，嚴謹求實的治學態(tài)度，高度的敬業(yè)精神對我產(chǎn)生了重要影響，張老師開闊的視野和敏銳的思維給了我深深的啟迪，在此對張老師表示深深的感謝！參考文獻[1]郝梅：求函數(shù)極限的方法.福建教育學校學報.2006.10.[2]劉小軍:高等數(shù)學解題方法.云南廣播電視大學理工學院學報.2006.08[3]劉書田：高等數(shù)學.北京大學出版社.2005[4]華東師范大學數(shù)學系編．數(shù)學分析[M]．北京：高等教育出版社，1991，第2版[5]郝涌：盧士堂等.《數(shù)學考研精解》.華中理工大學出版社.2004[6]錢吉林．數(shù)學分析題解精粹[M]．武漢：崇文書局，2003目錄TOC\o"1-2"\h\z\u1. 總論 11.1 項目概況 11.2 項目建設的必要性 21.3 可行性研究工作依據(jù) 61.4 可行性研究報告的編制原則 61.5 可行性研究報告內(nèi)容概要 71.6 建議引進設備清單 151.7 結論及建議 151.8 項目主要技術經(jīng)濟指標匯總 162. 市場需求預測與競爭能力分析 192.1 概述 192.2 廣西區(qū)內(nèi)市場 192.3 主要目標市場分析 222.4 廣東省水泥市場分析 242.5 競爭能力分析 272.6 市場分析結論 283. 建設條件與廠址選擇 293.1 原、燃材料 293.2 交通運輸 313.3 供電電源 313.4 水源 313.5 廠址條件 324. 工程技術方案 334.1 原燃料與配料設計 334.2 石灰石礦山 464.3 生產(chǎn)工藝 584.4 總圖運輸 724.5 電氣及生產(chǎn)過程自動化 764.6 給水排水 854.7 通風及空氣調(diào)節(jié) 874.8 建筑結構 895. 節(jié)約與合理利用能源 925.1 主要能耗指標 925.2 主要節(jié)能措施 926. 環(huán)境污染防治與治理 946.1 建設場地 946.2 工程概述、主要污染源和主要污染物 946.3 設計采用的環(huán)境保護標準 956.4 控制污染的方案 966.5 環(huán)境管理機構及監(jiān)測機構 986.6 環(huán)境影響分析 986.7 環(huán)境保護投資估算 987. 勞動安全及工業(yè)衛(wèi)生 1017.1 設計依據(jù)與執(zhí)行標準 1017.2 建筑及場地布置 1017.3 生產(chǎn)過程中職業(yè)危險、危害因素分析 1027.4 對各種危害因素采取的主要防范措施及預期效果 1027.5 勞動安全衛(wèi)生機構及人員配備情況 1048. 組織機構與勞動定員 1058.1 組織機構 1058.2 勞動定員 1058.3 勞動生產(chǎn)率 1058.4 職工培訓 1059. 工程建設招標安排 108HYPERLIN