廣東省揭陽市南興中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)點(diǎn)A（-2，3），B（3，2），若直線ax+y+2=0與線段AB沒有交點(diǎn)，則a的取值范圍是（

）A.(-∞，-]∪[，+∞)

B.(-∞，-]∪[，+∞)C.[-，]

D.(-，)參考答案：D2.我校要從4名男生和2名女生中選出2人擔(dān)任H7N9禽流感防御宣傳工作，則在選出的宣傳者中，男、女都有的概率為(

) A． B． C． D．參考答案：A考點(diǎn)：排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題；古典概型及其概率計(jì)算公式．專題：計(jì)算題；概率與統(tǒng)計(jì)．分析：所有的選法共有種，其中，男、女都有的選法有4×2種，由此求得男、女都有的概率．解答： 解：所有的選法共有=15種，其中，男、女都有的選法有4×2=8種，故男、女都有的概率為，故選A．點(diǎn)評：本題考查古典概型及其概率計(jì)算公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3.若cosθ＞0，且sin2θ＜0，則角θ的終邊所在象限是(

) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：D考點(diǎn)：象限角、軸線角；三角函數(shù)值的符號．分析：sin2θ=2sinθcosθ，因?yàn)閏osθ＞0，所以sinθ＜0，可以判定角θ的終邊所在象限．解答： 解：由sin2θ=2sinθcosθ，因?yàn)閏osθ＞0，所以sinθ＜0，可以判定角θ的終邊所在象限第四象限．故選D．點(diǎn)評：本題考查象限角，三角函數(shù)值的符號，二倍角的正弦，是基礎(chǔ)題．4.（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D，選D.5.(

)A．3

B．2

C．

D．參考答案：A略6.已知，則A?B的充要條件是(

)A．（，+∞） B．0＜a＜ C．0＜a≤1 D．a(chǎn)＞l參考答案：C【考點(diǎn)】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；集合．【分析】化簡集合A，B，利用A?B，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意，2x﹣1≥0，∴x≥0；x2+lga≥lga，A?B時(shí)，lga≤0，∴0＜a≤1．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查集合的包含關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．7.設(shè)全集U={1，3，5，7}，集合M={1，}，

，則實(shí)數(shù)a的值為(A)2或－8

(B)－2或－8

(C)

－2或8

(D)2或8參考答案：D因?yàn)?，所以，即或，即?，選D.8.如果函數(shù)y=|x|﹣2的圖象與曲線C：x2+y2=λ恰好有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（） A．{2}∪（4，+∞） B．（2，+∞） C． {2，4} D． （4，+∞）參考答案：A9.在平面直角坐標(biāo)系中，若不等式組(為常數(shù))所表示的平面區(qū)域的面積等于2，則的值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D10.已知，且函數(shù)的最小值為b，若函數(shù)

，則不等式的解集為A．

B．

C．

D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.擲兩顆骰子得兩數(shù)，則事件“兩數(shù)之和大于”的概率為_參考答案：略12.已知函數(shù)f（x）=，則f﹣1（1）=

．參考答案：1【考點(diǎn)】反函數(shù)；二階矩陣．【分析】本題由矩陣得到f（x）的表達(dá)式，再由反函數(shù)的知識算出．【解答】解：由f（x）==2x﹣1，由反函數(shù)的性質(zhì)知2x﹣1=1，解得x=1所以f﹣1（1）=1．故答案為：1．13.計(jì)算

.

參考答案：14.若等差數(shù)列{an}的前5項(xiàng)和為25，則_________．參考答案：由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，∴．15.函數(shù)的最小值是

．參考答案：試題分析：，當(dāng)且僅當(dāng)16.二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為正且對任意的x恒有，若則x的范圍為______________參考答案：

可得出對稱軸x=2 對比的是2個(gè)橫坐標(biāo)與x=2的距離（即對稱軸的遠(yuǎn)近來判定的大小關(guān)系）即計(jì)算與與線x=2的距離之差

化簡得可化簡求解：注意：不要慣性思維以為是距y軸的距離，要看清是距離哪條線的距離再作17.在區(qū)間[﹣1，1]內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y，則滿足y≥x2﹣1的概率是．參考答案：【考點(diǎn)】CF：幾何概型．【分析】該題涉及兩個(gè)變量，故是與面積有關(guān)的幾何概型，分別表示出滿足條件的面積和整個(gè)區(qū)域的面積，最后利用概率公式解之即可【解答】解：由題意可得，在區(qū)間[﹣1，1]內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y，對應(yīng)的區(qū)域是邊長為2的正方形，如圖，面積為4，滿足y≥x2﹣1的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，面積為2+=2+（x﹣）|=∴滿足y≥x2﹣1的概率是．故答案為：；三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分12分)

已知函數(shù),

(1)若存在x>0，使f(x)≤0成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍，

(2)設(shè)1<m≤e，H(x)=f(x)一(m+1)x，證明：對任意的x1，，x2∈[1，m]，恒有H(x1)-

H(x2)<1．參考答案：（1）（-∞，-e]∪（0，+∞）(2)略【知識點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用B12（1）由題意f(x)=x2+mlnx，得f′(x)=x+．

①當(dāng)m＞0時(shí)，f′(x)=x+＞0，因此f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，知f（x）的值域?yàn)镽，因此x＞0，使f（x）≤0成立；

②當(dāng)m=0時(shí)，f(x)=＞0，對x＞0，f（x）＞0恒成立；

③當(dāng)m＜0時(shí)，由f′(x)=x+得x=，

x

(，+∞)

-0+f（x）↘極小值↗此時(shí)f(x)min=f()=-+mln．

令f(x)min＞0-e＜m＜0．

所以對x＞0，f（x）＞0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-e，0]．

故x＞0，使f（x）≤0成立，實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，-e]∪（0，+∞）．

（2）∵H(x)=f(x)-(m+1)x=x2+mlnx-(m+1)x，

∴H′(x)=x+-(m+1)=．

x∈[1，m]，H′(x)=≤0，所以函數(shù)H（x）在[1，m]上單調(diào)遞減．

于是H(x1)-H(x2)≤H(1)-H(m)=m2-mlnm-．

H(x1)-H(x2)＜1m2-mlnm-＜1m-lnm-＜0．

記h(m)=m-lnm-(1＜m≤e)，則h′(m)=-+＞0，

所以函數(shù)h(m)=m-lnm-在（1，e]上是單調(diào)增函數(shù)，

所以h(m)≤h(e)=-1-＜0，故對x1，x2∈[1，m]，恒有H（x1）-H（x2）＜1【思路點(diǎn)撥】（1）由題意f(x)=x2+mlnx，得f′(x)=x+．討論m的范圍判斷函數(shù)的單調(diào)性與其最值，通過最小值與0的關(guān)系得到m的范圍．

（2）H′(x)=x+-(m+1)=≤0，所以函數(shù)H（x）在[1，m]上單調(diào)遞減．H(x1)-H(x2)＜1?m2-mlnm-＜1?m-lnm-＜0，所以設(shè)h(m)=m-lnm-(1＜m≤e)判斷其單調(diào)性求其最值即可證得．19.（本小題滿分12分）

如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中點(diǎn)，PA⊥底面ABCD，PA＝2.

（Ⅰ）證明：平面PBE⊥平面PAB;（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小.參考答案：解:解法一（Ⅰ）如圖所示，連結(jié)BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，△BCD是等邊三角形.因?yàn)镋是CD的中點(diǎn)，所以BE⊥CD,又AB∥CD,所以BE⊥AB.又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥BE.而AB=A,因此BE⊥平面PAB.又平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.（Ⅱ）延長AD、BE相交于點(diǎn)F，連結(jié)PF.過點(diǎn)A作AH⊥PB于H，由（Ⅰ）知平面PBE⊥平面PAB,所以AH⊥平面PBE.在Rt△ABF中，因?yàn)椤螧AF＝60°，所以，AF=2AB=2=AP.在等腰Rt△PAF中，取PF的中點(diǎn)G，連接AG.則AG⊥PF.連結(jié)HG，由三垂線定理的逆定理得，PF⊥HG.所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（銳角）.在等腰Rt△PAF中，在Rt△PAB中，所以，在Rt△AHG中，故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小是解法二:如圖所示，以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系.則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2）,（Ⅰ）因?yàn)椋矫鍼AB的一個(gè)法向量是，所以共線.從而BE⊥平面PAB.又因?yàn)槠矫鍼BE，故平面PBE⊥平面PAB.

(Ⅱ)易知

設(shè)是平面PBE的一個(gè)法向量，則由得所以

設(shè)是平面PAD的一個(gè)法向量，則由得所以故可取

于是，

故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小是20.在中,角,,所對的邊分別為,,,且,.(1)若,求的值；(2)若的面積,求,的值.參考答案：解:(1)因?yàn)?又,所以

由正弦定理,得

(2)因?yàn)?所以.所以

由余弦定理,得.所以

略21.已知函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，其中．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)，求的取值范圍；（3）試證明對，存在，使．參考答案：解：⑴

………………1分時(shí)，……3分，所以

……4分⑵函數(shù)是奇函數(shù)，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)且僅當(dāng)在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，

……………6分由得……8分，在區(qū)間的取值范圍為

………8分所以的取值范圍為

……9分⑶……10分，解得……11分，因?yàn)椋詾?/p>