遼寧省沈陽(yáng)市第一四三高級(jí)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.隨機(jī)變量ξ的分布列為P（ξ=k）=，k=1，2，3，其中c為常數(shù)，則P（ξ≥2）等于（）A.

B.

C.

D.參考答案：C略2.給出下面類比推理命題（其中Q為有理數(shù)集，R為實(shí)數(shù)集，C為復(fù)數(shù)集）： ①“若a,b”類比推出“若a,b”； ②“若a,b,c,d”類比推出“若a,b,c,d則”； ③“若a,b”類比推出“若a,b”；其中類比結(jié)論正確的命題是（

）

A．①

B．①②

C．①②③

D．全部都不對(duì)參考答案：B略3.已知函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：B略4.已知，，，，，，則等于（

）A.sinx B.－sinx C.cosx D.－cosx參考答案：C【分析】由已知求出前幾項(xiàng)的導(dǎo)數(shù)，可得導(dǎo)函數(shù)以4為周期周期出現(xiàn)，則f2012（x）=f0（x），答案可求．【詳解】∵f0（x）=cosx，∴f1（x）=f0′（x）=﹣sinx，∴f2（x）=f1′（x）=﹣cosx，f3（x）=f2′（x）=sinx，f4（x）=f3′（x）=cosx，…可得fn（x）的解析式重復(fù)出現(xiàn)，周期為4．∴f2012（x）=f4×503（x）=f0（x）=cosx，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算，得出周期性是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．5.一個(gè)頻率分布表（樣本容量為30）不小心被損壞了一部分，只記得樣本中數(shù)據(jù)在上的頻率為0.8，則估計(jì)樣本在內(nèi)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)可能是

A．9和10

B．7和6

C．6和9

D．8和9參考答案：C略6.如圖，D是△ABC的邊AB的中點(diǎn)，則向量等于（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及幾何意義；向量的加法及其幾何意義；向量的減法及其幾何意義；向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義．【分析】根據(jù)三角形中線的性質(zhì)，得=（+），由平面向量減法得=﹣，兩式聯(lián)解即可得到=﹣+，得到本題答案．【解答】解：∵D是△ABC的邊AB的中點(diǎn)，∴=（+）∵=﹣，∴=（﹣﹣）=﹣+故選：A7.如圖，已知兩座燈塔a和b與海洋觀測(cè)站c的距離都等于akm，燈塔a在觀測(cè)站c的北偏東20°，燈塔b在觀測(cè)站c的南偏東40°，則燈塔a與燈塔b的距離為()．a(chǎn)．a(chǎn)km

b．km

c．km

d．2akm參考答案：B8.用冒泡法對(duì)一組數(shù):進(jìn)行排序時(shí),經(jīng)過(guò)多少趟排序后,得到這一組數(shù):

(

)

A.

B.

C.

D.參考答案：B

解析：經(jīng)過(guò)一趟得：；經(jīng)過(guò)二趟得：；

經(jīng)過(guò)三趟得：9.函數(shù)滿足，則的最小值

（

）A

2

B

C

3

D

4參考答案：B略10.在某次數(shù)學(xué)測(cè)試中，學(xué)生成績(jī)服從正態(tài)分布，若在(80,120)內(nèi)的概率為0.8，則在(0,80)內(nèi)的概率為（

）A.0.05 B.0.1 C.0.15 D.0.2參考答案：B試題分析：由題意知服從正態(tài)分布，，則由正態(tài)分布圖象的對(duì)稱性可知，，故選B．考點(diǎn)：正態(tài)分布．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若時(shí)，不等式恒成立，則的最小值是_____________參考答案：212.已知點(diǎn)滿足，則的取值范圍是_____________。參考答案：13.某學(xué)校甲、乙兩個(gè)班各派10名同學(xué)參加英語(yǔ)口語(yǔ)比賽，并記錄他們的成績(jī)，得到如圖所示的莖葉圖．現(xiàn)擬定在各班中分?jǐn)?shù)超過(guò)本班平均分的同學(xué)為“口語(yǔ)王”．（1）記甲班“口語(yǔ)王”人數(shù)為m，乙班“口語(yǔ)王”人數(shù)為n，則m，n的大小關(guān)系是

．（2）甲班10名同學(xué)口語(yǔ)成績(jī)的方差為．參考答案：（1）m＜n；（2）86.8.【考點(diǎn)】極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差．【分析】（1）由莖葉圖分別求出甲班平均分，乙班平均分，由此能求出甲班“口語(yǔ)王”人數(shù)m和乙班“口語(yǔ)王”人數(shù)n，由此能求出結(jié)果．（2）利用方差公式能求出甲班10名同學(xué)口語(yǔ)成績(jī)的方差．【解答】解：（1）由莖葉圖知：甲班平均分=（60+72+75+77+80+80+84+88+91+93）=80，乙班平均分=（61+64+70+72+73+85+86+88+94+97）=79，∵在各班中分?jǐn)?shù)超過(guò)本班平均分的同學(xué)為“口語(yǔ)王”，∴甲班“口語(yǔ)王”人數(shù)m=4，乙班“口語(yǔ)王”人數(shù)n=5，∴m＜n．故答案為：m＜n．（2）甲班10名同學(xué)口語(yǔ)成績(jī)的方差為：S2甲=[（60﹣80）2+（72﹣80）2+（75﹣80）2+（77﹣80）2+（80﹣80）2+（80﹣80）2+（84﹣80）2+（88﹣80）2+（91﹣80）2+（93﹣80）2]=86.8．故答案為：86.8．14.已知命題p：

。參考答案：15.甲、乙兩地都位于北緯45°，它們的經(jīng)度相差90°，設(shè)地球半徑為R，則甲、乙兩地的球面距離為_(kāi)_______.參考答案：【分析】根據(jù)兩地的經(jīng)度差得兩地緯度小圓上的弦長(zhǎng)，再在這兩地與球心構(gòu)成的三角形中運(yùn)用余弦定理求出球心角，利用弧長(zhǎng)公式求解.【詳解】由已知得，所以，所以，所以在中，，所以，所以甲、乙兩地的球面距離為.故得解.

【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)的球面距離，關(guān)鍵在于運(yùn)用余弦定理求出球心角，屬于中檔題.16.將邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，使BD=a，則三棱錐D-ABC的體積為_(kāi)_________．參考答案：如圖所示，設(shè)對(duì)角線，∴．∵，∴，又，，∴平面，∴三棱錐的體積，，，．17.

一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球的球面上，且過(guò)同一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱的長(zhǎng)分別為1，2，3，則此球的表面積是

；參考答案：14π三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是a，b，c，已知c=2，C=．（Ⅰ）若△ABC的面積等于，求a，b；（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面積．參考答案：【考點(diǎn)】余弦定理的應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）先通過(guò)余弦定理求出a，b的關(guān)系式；再通過(guò)正弦定理及三角形的面積求出a，b的另一關(guān)系式，最后聯(lián)立方程求出a，b的值．（Ⅱ）通過(guò)C=π﹣（A+B）及二倍角公式及sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求出∴sinBcosA=2sinAcosA．當(dāng)cosA=0時(shí)求出a，b的值進(jìn)而通過(guò)absinC求出三角形的面積；當(dāng)cosA≠0時(shí)，由正弦定理得b=2a，聯(lián)立方程解得a，b的值進(jìn)而通過(guò)absinC求出三角形的面積．【解答】解：（Ⅰ）∵c=2，C=，c2=a2+b2﹣2abcosC∴a2+b2﹣ab=4，又∵△ABC的面積等于，∴，∴ab=4聯(lián)立方程組，解得a=2，b=2（Ⅱ）∵sinC+sin（B﹣A）=sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sin2A=4sinAcosA，∴sinBcosA=2sinAcosA當(dāng)cosA=0時(shí)，，，，，求得此時(shí)當(dāng)cosA≠0時(shí)，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，聯(lián)立方程組解得，．所以△ABC的面積綜上知△ABC的面積【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查三角形的邊角關(guān)系，三角函數(shù)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合應(yīng)用三角函數(shù)有關(guān)知識(shí)的能力．19.（本大題12分）已知拋物線y=x2－4及直線y＝x＋2，求：（1）直線與拋物線交點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）拋物線在交點(diǎn)處的切線方程；參考答案：解：（1）聯(lián)立得：略20.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,，，，,M是線段AP的中點(diǎn).（1）證明：BM∥平面PCD;（2）當(dāng)PA為何值時(shí)，四棱錐P-ABCD的體積最大？并求此最大值參考答案：（1）見(jiàn)解析（2）當(dāng)PA＝4時(shí)，體積最大值為16．【分析】（1）取PD中點(diǎn)N，易證MNCB平行四邊形，進(jìn)而得BM，CN平行，得證；（2）設(shè)PA＝x（0），把體積表示為關(guān)于x的函數(shù)，借助不等式求得最大值．【詳解】（1）取PD中點(diǎn)N，連接MN，CN，∵M(jìn)是AP的中點(diǎn)，∴MN∥AD且MN，∵AD∥BC，AD＝2BC，∴MN∥BC，MN＝BC，∴四邊形MNCB是平行四邊形，∴MB∥CN，又BM平面PCD，CN?平面PCD，∴BM∥平面PCD；（2）設(shè)PA＝x（0＜x＜4），∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，∵，∴AB，又∵AB⊥AD，AD＝2BC＝4，∴VP﹣ABCD＝16，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x＝4時(shí)取等號(hào)，故當(dāng)PA＝4時(shí)，四棱錐P﹣ABCD的體積最大，最大值為16．【點(diǎn)睛】此題考查了線面平行，線面垂直的證明，棱錐體積的求法，涉及基本不等式求最值，屬于中檔題．21.如圖3，正方體中，分別為與的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的正切值．參考答案：證明：（I）（II）延長(zhǎng)DE、CB交于N，∵E為AB中點(diǎn)，∴△DAE≌△NBE過(guò)B作BM⊥EN交于M，連FM，∵FB⊥平面AB