積分公式精品資料基本積分公式表(1)∫0dx=C=ln|x|+C(3) (m≠-1，x>0)(4) (a>0,a≠1)(5)(6)∫cosxdx=sinx+C(7)∫sinxdx=-cosx+C(8)∫sec2xdx=tanx+C(9)∫csc2xdx=-cotx+C(10)∫secxtanxdx=secx+C(11)∫cscxcotxdx=-cscx+C(12) =arcsinx+C=arctanx+C注．(1) 不是 在m=-1的特例．=ln|x|+C，ln后面真數(shù)x要加絕對(duì)值，原因是(ln|x|)'=1/x．事實(shí)上，對(duì)x>0，(ln|x|)'=1/x；若x<0，則(ln|x|)'=(ln(-x))'= .(3)要特別注意 與 的區(qū)別：前者是冪函數(shù)的積分，后者是指數(shù)函數(shù)的積分．下面我們要學(xué)習(xí)不定積分的計(jì)算方法，首先是四則運(yùn)算．不定積分的四則運(yùn)算根據(jù)微分運(yùn)算公式d(f(x)g(x))=df(x)dg(x)僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除 謝謝2精品資料d(kf(x))=kdf(x)我們得不定積分的線性運(yùn)算公式(1)∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx(2)∫kf(x)dx=k∫f(x)dx，k是非零常數(shù).現(xiàn)在可利用這兩個(gè)公式與基本積分公式來(lái)計(jì)算簡(jiǎn)單不定積分．例2.5.4求∫(x3+3x+ +5sinx－4cosx)dx解.原式=∫x3dx+∫3xdx+7∫ dx+5∫sinxdx－4∫cosxdx= +7ln|x|－5cosx－4sinx+C.注.此例中化為五個(gè)積分，應(yīng)出現(xiàn)五個(gè)任意常數(shù)，它們的任意性使其可合并成一個(gè)任意常數(shù)C，因此在最后寫出C即可．例2.5.5求∫(1+ )3dx解.原式=∫(1+3 +3x+ )dx=∫dx+3∫ dx+3∫xdx+∫ dx=x+3 +C=x+2x + +C.注.∫dx與∫1dx是相同的，其中1可省略．例2.5.6求解.原式==－x+arctanx+C.注.被積函數(shù)是分子次數(shù)不低于分母次數(shù)的分式，稱為 有理假分式．先將其分出一個(gè)整式x2－1，余下的分式 為有理真分式,其分子次數(shù)低于分母的次數(shù)．僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除 謝謝3精品資料例2.5.7求 .解.原式==∫csc2xdx－∫sec2xdx=－cotx－tanx+C.注.利用三角函數(shù)公式將被積函數(shù)化簡(jiǎn)成簡(jiǎn)單函數(shù)以便使用基本積分公式 .例2.5.8求 .解.原式== +C.為了得到進(jìn)一步的不定積分計(jì)算方法，我們先用 微分的鏈鎖法則 導(dǎo)出不定積分的重要計(jì)算方法 換元法.思考題.被積函數(shù)是有理假分式時(shí)，積分之前應(yīng)先分出一個(gè)整式，再加上一個(gè)有理真分式，一般情形怎樣實(shí)施這一步驟？第一換元法（湊微分法）我們先看一個(gè)例子：例2.5.9求 .解.因(1+x2)'=2x，與被積函數(shù)的分子只差常數(shù)倍數(shù)2，如果將分子補(bǔ)成2x,即可將原式變形：原式= (令u=1+x2)= (代回u=1+x2).注.此例解法的關(guān)鍵是湊了微分 d(1+x2)．一般地在F'(u)=f(u),u=(x)可導(dǎo),且'(x)連續(xù)的條件下,我們有第一換元公式(湊微分)：u= (x) 積分 代回u= (x)∫f[(x)] '(x)dx ∫f[(x)]d (x)∫f(u)duF(u)+CF[ (x)]+C其中函數(shù) (x)是可導(dǎo)的,且F(u)是f(u)的一個(gè)原函數(shù)．從上述公式可看出湊微分法的步驟：僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除 謝謝4精品資料湊微分————→換元————→積分————→再換元'(x)dx=d(x) u=(x) 得F(u)+C 得F[(x)]+C注.湊微分法的過(guò)程實(shí)質(zhì)上是 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈鎖法則 的逆過(guò)程．事實(shí)上，在F'(u)=f(u)的前提下，上述公式右端經(jīng)求導(dǎo)即得 :[F[(x)]+C]'=F'[ (x)] '(x)=f[ (x)] '(x)這就驗(yàn)證了公式的正確性．例2.5.10求∫(ax+b)mdx.(m≠-1,a≠0)解.原式= (湊微分d(ax+b))= (換元u=ax+b)= (積分)= . (代回u=ax+b)例2.5.11求 .解.原式= (湊微分d(-x3)=-3x2dx)= == (換元u=-x3).注.你熟練掌握湊微分法之后，中間換元 u=(x)可省略不寫,顯得計(jì)算過(guò)程更簡(jiǎn)練 ,但要做到心中有數(shù)．例2.5.12求∫tanxdx .解.原式==-ln|cosx|+C.同理可得cotxdx=ln|sinx|+C.例2.5.13求(a>0).僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除 謝謝5精品資料解.原式== .例2.5.14求 (a>0).解.原式== .例2.5.15求.解.原式====.例2.5.16∫secxdx.解.原式= (換元u=sinx)==僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除 謝謝6精品資料= (代回u=sinx)===ln|secx+tanx|+C.公式:∫secxdx=ln|secx+tanx|+C.例.2.5.17求∫cscxdx.解.原式===ln|cscx-cotx|+C.公式:∫cscxdx=ln|cscx-cotx|+C.湊微分法是不定積分換元法的第一種形式，其另一種形式是下面的 第二換元法．第二換元法不定積分第一換元法 的公式中核心部分是f[(x)]'(x)dx=∫f(u)du我們從公式的左邊演算到右邊，即換元：u=(x)．與此相反，如果我們從公式的右邊演算到左邊，那么就是換元的另一種形式，稱為第二換元法．即若f(u),u=(x),'(x)均連續(xù),u=(x)的反函數(shù)x=-1(u)存在且可導(dǎo),F(x)是f[(x)]'(x)的一個(gè)原函數(shù),則有∫f(u)du∫f[(x)]'(x)dxF(x)+CF[-1(u)]+C.第二換元法常用于被積函數(shù)含有根式的情況．例2.5.18求解.令 (此處 (t)=t2)．于是原式=僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除 謝謝7精品資料== (代回t=-1(x)= )注.你能看到，換元 =t的目的在于將被積函數(shù)中的無(wú)理式轉(zhuǎn)換成有理式 ,然后積分．第二換元法除處理形似上例這種根式 以外，還常處理含有根式 ，， (a>0)的被積函數(shù)的積分．被積函數(shù)含根式 換元方法 運(yùn)用的三角公式x=asect sec2t-1=tan2tx=atant tan2t+1=sec2tx=asint 1－sin2t=cos2t例2.5.19求 .(a>0)解.令x=asect，則dx=asecttantdt,于是原式= =∫sectdt=ln|sect+tant|+C1.到此需將t代回原積分變量 x，用到反函數(shù) t=arcsec ，但這種做法較繁．下面介紹一種直觀的便于實(shí)施的圖解法：作直角三角形，其一銳角為 t及三邊a，x，滿足：sect=由此，原式=ln|sect+tant|+C1僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除 謝謝8精品資料==.注．C1是任意常數(shù),-lna1是常數(shù),由此C=C-lna仍是任意常數(shù)．例2.5.20求(a>0).解.令x=atant，則dx=asec2tdt，于是原式= =∫sectdt=ln|sect+tant|+C1．圖解換元得原式=ln|sect+tant|+C1=.公式:.例2.5.21求 (a>0).解.令x=asint，則dx=acostdt，于是原式=僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除 謝謝9精品資料== +C.圖解換元得：原式= +C= +C.除了換元法積分外，還有一個(gè)重要的積分公式，即 分部積分公式．思考題.在第二換元法公式中，請(qǐng)你注意加了一個(gè)條件“ u=(x)的反函數(shù)x= (u)存在且可導(dǎo)”，你能否作出解釋，為什么要加此條件？分部積分公式我們從微分公式d(uv)=vdu+udv兩邊積分，即d(uv)=∫vdu+∫udv由此導(dǎo)出不定積分的 分部積分公式udv=uv-∫vdu下面通過(guò)例子說(shuō)明公式的用法．例2.5.22求∫x2lnxdx解.∫x2lnxdx僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除 謝謝10精品資料= (將微分dlnx算出)== .例2.5.23求∫x2sinxdx.解.原式=∫x2d(-cosx) (湊微分)=-x2cosx-∫(-cosx)d(x2) (用分部積分公式)=-x2cosx+∫2xcosxdx=-x2cosx+2∫xdsinx (第二次湊微分)=-x2cosx+2[xsinx－∫sinxdx](第二次用分部積分公式 )=-x2cosx+2xsinx+2cosx+C.例2.5.24求∫exsinxdx.解.∫exsinxdx=∫sinxdex(湊微分)=exsinx-∫exdsinx (用分部積分公式)=exsinx-∫excosxdx (算出微分)=exsinx-∫cosxdex (第二次湊微分)=exsinx-[excosx-∫exdcosx](第二次用分部積分公式 )=ex(sinx-cosx)-∫exsinxdx (第二次算出微分)由此得：2∫exsinxdx=ex(sinx-cosx)+2C因此∫exsinxdx= (sinx-cosx)+C．注.(1)此例中在第二次湊微分時(shí)，必須與第一次湊的微分形式相同．否則若將 ∫excosxdx湊成∫exdsinx,那將產(chǎn)生惡性循環(huán)，你可試試．(2)積分常數(shù)C可寫在積分號(hào)∫一旦消失之后．例2.5.25求∫arctanxdx解.此題被積函數(shù)可看作x0arctanx，x0dx=dx，即適合分部積分公式中u=arctanx，v=x．故僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除 謝謝11精品資料原式=xarctanx-∫xd(arctanx)(用分部積分公式 )=xarctanx- dx(算出微分)=xarctanx- (湊微分)=xarctanx- ln(1+x2)+C.小結(jié).(1)分部積分公式常用于被積函數(shù)是兩種不同類型初等函數(shù)之積的情形，例如x3arctanx，x3lnx 冪函數(shù)與反正切或?qū)?shù)函數(shù)x2sinx，x2cosx 冪函數(shù)與正弦,余弦x2ex 冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)exsinx,excosx 指數(shù)函數(shù)與正弦 ,余弦等等．(2)在用分部積分公式計(jì)算不定積分時(shí)，將哪類函數(shù)湊成微分 dv，一般應(yīng)選擇容易湊的那個(gè)．例如被積函數(shù)湊微分dvx3arctanx，x3lnxarctanxd，lnxd222x222xxsinx，xcosx，xexd(-cosx)，xdsinx，xdeexsinx，excosxsinxdex，cosxdex我們已學(xué)習(xí)了不定積分的幾種常用方法，除了熟練運(yùn)用這些方法外，在許多數(shù)學(xué)手冊(cè)中往往列舉了幾百個(gè)不定積分公式，它們不是基本的，不需要熟記，但可以作為備查之用，稱為積分表．思考題.你仔細(xì)觀察分部積分公式，掌握其中使用的規(guī)律，特別是第一步湊微分時(shí)如何選擇微分.僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除 謝謝12精品資料積分表的使用除了基本積分公式之外，在許多數(shù)學(xué)手冊(cè)中往往列舉了幾百個(gè)補(bǔ)充的積分公式，構(gòu)成了積分表．下面列出本節(jié)已得到的 基本積分公式．(1)∫0dx=C=ln|x|+C(3) (m≠-1,x>0)(4) (a>0,a≠1)(5)(6)∫cosxdx=sinx+C(7)∫sinxdx=-cosx+C(8)∫sec2xdx=tanx+C(9)∫csc2xdx=-cotx+C(10)∫secxtanxdx=secx+C(11)∫cscxcotxdx=-cscx+C(12) =arcsinx+C=arctanx+C(14)∫tanxdx=-ln|cosx|+C(15)∫co