第五節(jié)控制系統(tǒng)的根軌跡分析法7/13/20231

利用根軌跡，可以對閉環(huán)系統(tǒng)的性能進(jìn)行分析和校正由給定參數(shù)確定閉環(huán)系統(tǒng)的零極點的位置；分析參數(shù)變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響；分析系統(tǒng)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能；根據(jù)性能要求確定系統(tǒng)的參數(shù)；對系統(tǒng)進(jìn)行校正。7/13/20232一、條件穩(wěn)定系統(tǒng)的分析

[例4-11]：設(shè)開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：試?yán)L制根軌跡并討論使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時的區(qū)值范圍。開環(huán)極點：0，-4，-6，，零點：實軸上根軌跡區(qū)間：漸進(jìn)線：與實軸的交點：傾角：[解]根據(jù)繪制根軌跡的步驟，可得：7/13/20233分離角（點）：3.9497.4579.3758.805.97131.6280-4-3.5-3-2.5-2.0-1.5-1-0.50s的最大值為9.375，這時s=-2.5，是近似分離點。由：可以求得分離點。近似求法：分離點在[-4，0]之間。7/13/20234入射角：與虛軸的交點（略）。這時的增益值：由圖可知：當(dāng)和時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的（為什么？）；當(dāng)時，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。左圖趙是用Ma器tl景ab工非具撫繪輝制測的蓋。7泊/庭9列/償2諒0疤2鎮(zhèn)35條洗件拒穩(wěn)狼定邀系走統(tǒng)矩：參許數(shù)尺在鋼一姿定顫的夾范峰圍誕內(nèi)慢取單值茫才災(zāi)能柄使樓系沙統(tǒng)故穩(wěn)木定因，缺這辯樣悅的藏系透統(tǒng)明叫訪做條件巡壽穩(wěn)定擋系統(tǒng)。具有洽正反醋饋的立環(huán)節(jié)銀。下爆面油的筒系富統(tǒng)換就殿是凳條聰件曲穩(wěn)糞定伐系恨統(tǒng)謀的江例籮子展：開綢環(huán)受非摸最武小幫相哪位坐系岡統(tǒng)店，唐其嶼閉旁環(huán)建系差統(tǒng)號的靠根蹤蝶軌扛跡責(zé)必來然災(zāi)有菊一撕部蚊分幅在s的右呼半平豪面；7洋/渴9弱/闊2服0姿2乎36[例]非最小相位系統(tǒng)：，試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定時的增益值。[菠解焦]出：醒根諷軌縣跡欠如餡右話：有閉環(huán)極點在右半平面，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。顯然穩(wěn)定臨界點在原點。該點的增益臨界值為。閉環(huán)特征方程為：，當(dāng)s=0時，，所以，系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是：7/而9/電20很237二、鍛瞬態(tài)負(fù)性能擱分析伐和開武環(huán)系仔統(tǒng)參攀數(shù)的鉆確定利用潔根軌適跡可董以清謎楚的厭看到賣開環(huán)籮根軌而跡增墨益或雀其他選開環(huán)城系統(tǒng)示參數(shù)紅變化診時，痰閉環(huán)航系統(tǒng)泉極點妻位置揮及其例瞬態(tài)渠性能既的改潤變情暴況。以二階系統(tǒng)為例：開環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為共軛極點為：在s平面局上的管分布肯如右瞎圖：閉環(huán)極點的張角為：所以稱為阻尼角。斜線稱為等阻尼線。7霞/井9冷/斷2憶0裕2胃38我們局知道呢閉環(huán)森二階現(xiàn)系統(tǒng)玩的主遮要的男性能另指標(biāo)愚是超紀(jì)調(diào)量甩和調(diào)役整時突間。盞這些竊性能濃指標(biāo)仔和閉亭環(huán)極征點的研關(guān)系乒如下壁：的關(guān)系如下圖若閉環(huán)極點落在下圖中紅線包圍的區(qū)域中，有：7對/象9擔(dān)/畏2限0餡2揚(yáng)39上述撐結(jié)論慘也可械應(yīng)用撞于具禮有主尼導(dǎo)極膛點的坊高階決系統(tǒng)嫁中?？热缦虑美篬例4-12]單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：若要求閉環(huán)單位階躍響應(yīng)的最大超調(diào)量，試確定開環(huán)放大系數(shù)。[解]：首先畫出根軌跡如右。由圖可以看出：根軌跡與虛軸的交點為+j5,-j5，這時的臨界增益當(dāng)時，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。7/后9/后20烘2310下面計算超調(diào)量和阻尼角的關(guān)系。由于：當(dāng)時解得：這是一個三階系統(tǒng)，從根軌跡上看出，隨著的增加，主導(dǎo)極點越顯著。所以可以用二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)近似計算。在根軌跡圖上畫兩條與實軸夾角為的直線，與根軌跡交與A、B兩點。則A、B兩點就是閉環(huán)共軛主導(dǎo)極點，這時系統(tǒng)的超調(diào)量為18%。通過求A、B兩點的坐標(biāo)，可以確定這時的根軌跡增益，進(jìn)而求得開環(huán)放大系數(shù)k。設(shè)A點坐標(biāo)為：，則：（1）相角條件為：（2）7靜/確9防/魂2嶺0煌2梳311由(1)，(2)式解得：共軛主導(dǎo)極點為：。計算對應(yīng)的根軌跡增益。由幅值條件：解得：開環(huán)傳遞函數(shù)以的形式表示時，k稱為開環(huán)放大系數(shù)。顯然的關(guān)系為：，式中不計0極點。所以，開環(huán)放大系數(shù)：由于閉環(huán)極點之和等于開環(huán)極點之和，所以另一個閉環(huán)極點為：7帆/巴9騙/權(quán)2割0嚼2筋31餐2[特園別提練示]討：開環(huán)您零、圾極點幸對根移軌跡愈形狀槍的影憶響是賊值得露注意測的。一般恒說，觸開環(huán)勇傳遞到函數(shù)釣在s左半牧平面牧增加迷一個店極點坦將使載原根咱軌跡蜂右移即。從嫩而降體低系椅統(tǒng)的莊相對付穩(wěn)定厚性，疲增加映系統(tǒng)泊的調(diào)急整時表間。7/梅9/著20含23137符/嗚9扒/亦2絮0圍2弟314若在參開環(huán)遙傳遞嚷函數(shù)抄中增旗加一金個零罪點，摔則原欺根軌幅跡向蕩左移嚴(yán)動。隨從而波增加也系統(tǒng)價的穩(wěn)桶定性骨，減廁小系緞統(tǒng)響末應(yīng)的撫調(diào)整劇時間奪。7槐/花9賴/賢2餐0譜2洗31滑5M羨a睬t斤l獻(xiàn)a速b參考業(yè)書推守薦：現(xiàn)勒代統(tǒng)控遞制室工畫程昂，高[悉美洲]Ka邁ts渴uh們ik刪oOg蜘at領(lǐng)s,盧伯磚英譯渠，電子養(yǎng)工業(yè)輕出版訓(xùn)社MA英TL嶄AB控制怕系統(tǒng)無設(shè)計肺，歐泊陽黎妻明著糧，國防奔工業(yè)倉出版沿社三即、楊用Ma草tl菠ab繪潛制可根蹄軌邀跡7/贏9/堡20匯2316nu憶m=亦[0筒0國0蕩1炸];%開胸環(huán)脆傳圍遞合函已數(shù)奴分錄子飄系挑數(shù)諷，醒降軟冪博排鼠列d沙e蝕n萄=厘[產(chǎn)1棕3范2鮮0腰]吳;%開偶環(huán)雨傳午遞櫻函吸數(shù)咱分吃母暫系豬數(shù)鄭，億降陣冪斯排浴列r=r圖l爪o冶c弊u(yù)鴿s(n劃um蝴,d幟en丘);[例子]系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：，試?yán)肕atlab畫出系統(tǒng)的根軌跡。[駱解與]原打刊開Ma鑼tl現(xiàn)ab,創(chuàng)塑建茅一陰個m文爭件載，靜輸補(bǔ)入嗓下饒列僑程清序盤片袍段源：執(zhí)行之，可得到根軌跡。7登/諷9目/抱2晉0阿2萬31章7例4-13．已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為（1）畫出系統(tǒng)的根軌跡；（2）計算使系統(tǒng)穩(wěn)定的k值范圍；（3）計算系統(tǒng)對于斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差。

[解]：（1）畫根軌跡：7/鳳9/燥20殖2318

求出射角：，得。該系統(tǒng)有三條根軌跡，一條從原點起始，終止于開環(huán)零點-1處；另兩條從原點以的出射角起始，分別終止于-3和無窮零點處。會合分離點：由方程得解得在根軌跡上，因此是會合點。不在根軌跡上，舍去。7/晴9/氣20犁2319求與虛軸交點系統(tǒng)特征方程為勞斯表為當(dāng)時，由輔助方程，可求出根軌跡與虛軸的交點為。（2）由勞斯表可知當(dāng)時，系統(tǒng)穩(wěn)定。（3）系統(tǒng)含有三個積分環(huán)節(jié)，屬Ⅲ型系統(tǒng)，Ⅲ型系統(tǒng)對于斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零。7竹/搶9坐/魄2惱0桶2嗚320畫根軌跡

分離（會合）點分別為-2.93和-17.07，分離（會合）角為90度。根軌跡為圓，如右圖所示。例4-14．已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為（1）畫出系統(tǒng)的根軌跡；（2）計算當(dāng)增益k為何值時，系統(tǒng)的阻尼比是，并求此時系統(tǒng)的閉環(huán)特征根；（3）分析k對系統(tǒng)性能的影響，并求系統(tǒng)最小阻尼比所對應(yīng)的閉環(huán)極點。7盞/慘9城/帥2牢0園2封32爛1當(dāng)時，阻尼角，表示角的直線為OB,其方程為，代入特征方程整理后得：令實部和虛部分別為零，有解得 由圖可知當(dāng)時直線OB與圓相切，系統(tǒng)的阻尼比，特征根為。

7兵/號9間/傭2膊0殼2廣32靜2對于分離點，由幅值條件可知對于會合點，有由根軌跡圖可知，當(dāng)時，閉環(huán)系統(tǒng)有一對不等的負(fù)實數(shù)極點，其瞬態(tài)響應(yīng)呈過阻尼狀態(tài)。當(dāng)時，閉環(huán)系統(tǒng)有一對共軛復(fù)數(shù)極點，其瞬態(tài)響應(yīng)呈欠阻尼狀態(tài)。當(dāng) 時，閉環(huán)系統(tǒng)又有一對不等的負(fù)實數(shù)極點，瞬態(tài)響應(yīng)又呈過阻尼狀態(tài)。7確/樓9愁/惜2拒0旱2魂32版3由坐標(biāo)原點作根軌跡圓的切線，此切線就是直線OB，直線OB與負(fù)實軸夾角的余弦就是系統(tǒng)的最小阻尼比，由上可知，此時系統(tǒng)的閉環(huán)極點為。7遷/賢9劈燕/透2顫0寸2責(zé)324[例灰4-評15裕]：鋒設(shè)系強(qiáng)統(tǒng)A和B有相佩同的病被控竿對象評，且漫有相裂同的厚根軌瓜跡，臭如下帶圖所餡示。朝已知島系統(tǒng)A有一佳個閉轟環(huán)零增點，泊系統(tǒng)B沒耗有防閉余環(huán)使零凈點排。貼試為求叨系楊統(tǒng)A和B的開弊環(huán)傳鳥遞函盟數(shù)和遷它們拘所對饑應(yīng)的犁閉環(huán)攤方塊饅圖。7汽/棉9歐/室2坦0莫2掉32懶5②系統(tǒng)A和B的閉環(huán)傳遞函數(shù)分別為：[解]：①由于兩系統(tǒng)的根軌跡完全相同，因而它們對應(yīng)的開環(huán)傳遞函數(shù)和閉環(huán)特征方程式也完全相同。由上頁圖可知系統(tǒng)A和B的開環(huán)傳遞函數(shù)為：特征方程為：7練/布9哥/津2咳0胃2詞326由此可知，系統(tǒng)A是一單位反饋系統(tǒng)，前向通路的傳遞函數(shù)為：。系統(tǒng)B的前向通路傳遞函數(shù)為：，反饋通路傳遞函數(shù)為：。由于系統(tǒng)A和B有相同的被控對象，因此，系統(tǒng)的A的前向通路傳遞函數(shù)可寫為：，閉環(huán)方塊圖如下圖（a）所示，系統(tǒng)B的閉環(huán)方塊圖如下圖（b）所示。圖(a)A系統(tǒng)圖(b)B系統(tǒng)根余軌組跡臂相得同考的名系鐵統(tǒng)系，賴開棕環(huán)飼傳膠遞批函仰數(shù)坑和謝閉土環(huán)歉極畝點換都烏相上同飯，適但換閉花環(huán)淺零筐點檔卻編不凍一撥定勢相蓄同澡。7/蛇9/北20紹232秘7[例4-16]:已知單位反饋系統(tǒng)的根軌跡如下圖所示。（1）寫出該系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)；（2）試用適當(dāng)?shù)姆椒ㄊ瓜到y(tǒng)在任意K值時均處于穩(wěn)定的狀態(tài)。7暴/盼9欄/掩2扯0點2責(zé)32這8[茶解學(xué)]亮：①由等根草軌析跡騙圖寶知焰系能統(tǒng)決的努開系環(huán)睡傳享遞仙函沉數(shù)襖為梢：單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：提示述：①加入在比例土微分捏控制脊后，州系統(tǒng)產(chǎn)增加羽了開像環(huán)零礙點。②在饒系撿統(tǒng)恨中傭加服入旗零壯點閑后秋，糕將嬌使伐根依軌艙跡彎左制移梅，基有仆利盡于鎮(zhèn)系體統(tǒng)腹的積穩(wěn)耽定賓性窩。

②當(dāng)在系統(tǒng)中加入比例微分控制時，開環(huán)傳遞函數(shù)增加了一個零點，此時：這時漸近線與實軸的夾角為：，只要漸近線與負(fù)實軸相交,系統(tǒng)的根軌跡就在左半S平面。因此有： ，所以 。 7/認(rèn)9/漠20寧232械9從下老圖可缺以看妖出：a越修小斷，型根圍軌熊跡老越叔左極，并穩(wěn)衡定娛性碗越孔好引。a銜<俊6時躲，藍(lán)根尸軌品跡捧全夕部融在s左半暴平面析。a隨=辨6時，贏根軌熔跡有媽一部政分在或虛軸盟上。a>壟6時，扛根軌拿跡有烤一部五分在s右遣半橡平閉面越。c崇l嚴(yán)e瓣a塵r聲a摸l槽l借;nu尊m1并=[店0尤0薪1海3]崇;de脾n1依=[鳥1述6兔0語0]劈燕;n城u猛m爽2勉=戲[茅0蜂0茄1獵5拒]甘;d勾e俘n小2悔=賄[萌1見6揭0裂0優(yōu)]公;nu柳m3總=[泄0也