極小值原理及應用1第1頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月主要內容3.1極小值原理的提出3.2連續(xù)系統(tǒng)極小值原理積分型最優(yōu)控制問題綜合型最優(yōu)控制問題3.3離散系統(tǒng)極小值原理（自學）2第2頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月古典變分法存在的問題3.1極小值原理的提出3第3頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月(1)在一般情況下，可以將控制函數(shù)U(t)所受到的約束條件利用如下形式的不等式來表示.

當控制函數(shù)U(t)受到上述不等式約束,并且最優(yōu)控制取決于閉集性約束的邊界時，特別要求H/U(t)有定義，古典變分法便不再適用了。(2)在應用古典變分法來求解最優(yōu)控制問題時，要求函數(shù)[X(tf),tf],L[X(t),U(t),t],f[X(t),U(t),t]對它們的自變量具有“充分”的可微性.

例如：

ā4第4頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月初始條件給定系統(tǒng)狀態(tài)方程要求：確定滿足約束條件的最優(yōu)控制U*(t)，使系統(tǒng)從給定的初態(tài)X(t0)轉移到某個終態(tài)X(tf)

，并使性能泛函達到極小值。1、積分型最優(yōu)控制問題終端時刻tf固定，終端狀態(tài)X(tf)自由，U(t)是m維控制變量，其所受約束條件是：為容許控制域，是以U(t)為元素的m維實函數(shù)空間中的一個閉子集。容許控制3.2連續(xù)系統(tǒng)極小值原理問題3-15第5頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）設U*(t)是最優(yōu)控制，

X*(t)是對應于U*(t)的最優(yōu)軌線，則必存在一與U*(t)和X*(t)相對應的n維協(xié)態(tài)變量(t)

，使得X(t)與(t)

滿足規(guī)范方程其中（2）邊界條件為（3）哈密頓函數(shù)H對控制變量U(t)（t0ttf）取極值，即如果不考慮約束條件，那么該最優(yōu)控制問題的解的必要條件可由定理2-10給出，現(xiàn)引述如下：控制函數(shù)U(t)不受約束或只受開集性的約束的情況下的最小值原理6第6頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月(1)當控制函數(shù)U(t)不受約束或只受開集性約束條件下，等價控制方程不是問題3-1所給定的最優(yōu)控制問題解的必要條件。結論：說明：(2)在控制函數(shù)U(t)受到閉集性約束的條件下，控制方程未必是最優(yōu)控制問題的解的必要條件之一。

a.b.Hamilton函數(shù)H[X(t)，(t)，U(t)，t]在閉子集內可能不存在極值點，以H/U

來求極小值點難以奏效。7第7頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月定理3-1（積分型最優(yōu)控制問題的極小值原理）

給定系統(tǒng)的狀態(tài)方程

初態(tài)X(t0)=X0，終端時刻tf固定，終端狀態(tài)X(tf)自由以及控制變量U(t)所受約束條件是則為將系統(tǒng)從給定的初態(tài)X(t0)轉移到某個終態(tài)X(tf)，并使性能泛函達到極小值的最優(yōu)控制應滿足的必要條件是：8第8頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月(1)設U*(t)是最優(yōu)控制,X*(t)是對應于U*(t)的最優(yōu)軌線，則必存在一與U*(t)和X*(t)相對應的n維協(xié)態(tài)變量(t)，使得X*(t)和(t)滿足規(guī)范方程：(2)邊界條件為(3)哈密頓函數(shù)在最優(yōu)控制U*(t)和最優(yōu)軌線X*(t)上達到最小值,即H：哈密頓函數(shù)9第9頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)一個函數(shù)的最小值點與該函數(shù)反號后的最大值是一致的。則結果是一致的，只是二式中的協(xié)態(tài)變量(t)是互為反號的。則說明:(1)用古典變分法求解控制向量無界時的泛函極值問題是最小值原理的一個特例。令哈密頓函數(shù)為：若令哈密頓函數(shù)為：10第10頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月定理3-2（積分型最優(yōu)控制問題的極大值原理）

給定系統(tǒng)的狀態(tài)方程

初態(tài)X(t0)=X0，終端時刻tf固定，終端狀態(tài)X(tf)自由以及控制變量U(t)所受約束條件是則為將系統(tǒng)從給定的初態(tài)X(t0)轉移到某個終態(tài)X(tf)，并使性能泛函達到極小值的最優(yōu)控制應滿足的必要條件是：11第11頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月(1)設U*(t)是最優(yōu)控制,X*(t)是對應于U*(t)的最優(yōu)軌線，則必存在一與U*(t)和X*(t)相對應的n維協(xié)態(tài)變量(t)，使得X*(t)和(t)滿足規(guī)范方程：(2)邊界條件為(3)哈密頓函數(shù)在最優(yōu)控制U*(t)和最優(yōu)軌線X*(t)上達到最大值,即H：哈密頓函數(shù)12第12頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月定理3-2極大值原理的中心內容是,使性能泛函達到最小值的最優(yōu)控制的必要條件是哈密頓函數(shù)H達到最大值極大值原理。定理3-1極小值原理的中心內容是,使性能泛函達到最小值的最優(yōu)控制的必要條件是哈密頓函數(shù)H達到最小值極小值原理。13第13頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月用極小值（極大值）原理解最優(yōu)控制問題的一般步驟

（1）列出哈密頓函數(shù)（2）求出使H極?。ɑ驑O大）時的最優(yōu)控制和，的關系。可分為兩種情況：a能成立的，就用此式求和 ，的關系；b不能成立的，即有約束，或H對不連續(xù)可微，則用極小值原理分析H表達式,求出使H最小時的和，的關系式。但此時x與仍是未知數(shù)，下一步求出x、后再代入求。14第14頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月3.由狀態(tài)方程和協(xié)態(tài)方程

及相應邊界與橫截條件求出與。4．將與代入，可求出。5.驗算。因為最小值原理解最優(yōu)控制問題不是充分條件，因此，解出后須代入性能指標J的表達式進行驗算。15第15頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月例

3-1

給定一階線性系統(tǒng)和初始條件

其中控制作用u(t)（控制函數(shù)）的約束條件為

要求確定控制函數(shù)u(t)，使性能泛函

達到極小值。分析：積分型最優(yōu)控制問題；始端固定，終端時刻tf=1固定，終端狀態(tài)X(tf)是自由；控制函數(shù)受到閉集性的約束條件。16第16頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月17第17頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月關于極小值原理的幾點說明（1）極小值原理將經典變分法得到的控制方程修改為但是，并不改變正則方程及橫截條件。因此，可從上式解得 并將其代入正則方程，同樣可以得到一組兩點邊值微分方程。18第18頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）極小值原理擴大了變分法的適用范圍極小值是對古典變分法的發(fā)展。不僅可以用來求解函數(shù)U(t)不受約束或只受開集性約束的最優(yōu)控制問題，而且也可以用來求解控制函數(shù)U(t)受到閉集性約束條件的最優(yōu)控制問題。這就意味著極小值原理放寬了對控制函數(shù)U(t)的要求。極小值原理沒有提出哈密頓函數(shù)H對控制函數(shù)U(t)的可微性的要求，因此，其應用條件進一步放寬了。19第19頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月uH0H-u曲線存在角點uaub20第20頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）全局與局部由極小值原理所求得的最優(yōu)控制U(t)使哈密頓函數(shù)H達到全局、絕對最大值，而由古典變分法的極值條件H/U=0所得到的解是H的局部、相對最大值。極小值原理將古典變分法求解最優(yōu)控制問題的極值條件作為一個特例概括在自己之中。21第21頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月由極小值原理所求得的解能否使性能泛函J達到極小值，還需要進一步分析與判定。如果根據物理意義已經能夠斷定所討論的最優(yōu)控制問題的解是存在的，而由極小值原理所得到的解只有一個，那么，該解就是最優(yōu)解。實際上，我們遇到的問題往往屬于這種情況。（4）極小值原理是最優(yōu)控制問題的必要條件并非充分條件22第22頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月ABDCuH0u3uaubu1u2幾種不同的H-u曲線23第23頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月2、綜合型最優(yōu)控制問題

問題3-2

給定系統(tǒng)的狀態(tài)方程：（

3.1）其中f是n維連續(xù)可微的向量函數(shù)。X(t)是n維狀態(tài)變量，已知其初態(tài)為

X(t0)=X0，終端時刻tf是可變，終端的約束條件為：

（3.2）其中是r維連續(xù)可微的向量函數(shù)，且r<n，U(t)是m維控制變量，且其約束條件為

（3.3）是以U(t)為元素的m維實函數(shù)空間中的閉子集。要求：在滿足式（3.3）的容許控制中，確定一控制變量U(t)，使系統(tǒng)從給定的初態(tài)X(t0)轉移到滿足式（3.2）條件下的某個終態(tài)X(tf)，并使性能泛函達到極小值。24第24頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月給定系統(tǒng)的狀態(tài)方程和控制函數(shù)U(t)的閉集約束條件則為將系統(tǒng)從給定的初態(tài)X(t0)=X0，轉移到滿足終端約束條件

的某個終態(tài)X(tf)，其中tf是可變的，并使性能泛函

達到極小值的最優(yōu)控制應滿足的必要條件是：定理3-3綜合型最優(yōu)控制問題的極小值原理25第25頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月(1)

設U*(t)是最優(yōu)控制,X*(t)是對應于U*(t)的最優(yōu)軌線，則存在一與U*(t)和X*(t)相對應的n維協(xié)態(tài)變量(t)，使得X*(t)和(t)滿足規(guī)范方程其中

26第26頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月在上述各式中的是待定的r維乘子向量，即

(3)哈密頓函數(shù)H在最優(yōu)控制與最優(yōu)軌線上達到最小值。即

終端受限tf自由(2)狀態(tài)變量和協(xié)態(tài)變量的邊界條件為

27第27頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月給定系統(tǒng)的狀態(tài)方程和控制函數(shù)U(t)的閉集約束條件則為將系統(tǒng)從給定的初態(tài)X(t0)=X0，轉移到滿足終端約束條件

的某個終態(tài)X(tf)，其中tf是可變的，并使性能泛函達到極小值的最優(yōu)控制應滿足的必要條件是：定理3-4綜合型最優(yōu)控制問題的極大值原理28第28頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月其中(1)

設U*(t)是最優(yōu)控制,X*(t)是對應于U*(t)的最優(yōu)軌線，則必存在一與U*(t)和X*(t)相對應的(t)，使得X*(