函數(shù)第三章第3講函數(shù)的奇偶性與周期性考點(diǎn)要求考情概覽1．結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義．2．會(huì)運(yùn)用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性．3．了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義，會(huì)判斷、應(yīng)用簡單函數(shù)的周期性考向預(yù)測：本部分常常命制高考試題，難度中等，常結(jié)合分段函數(shù)、不等式等內(nèi)容進(jìn)行綜合考查，難度中等．學(xué)科素養(yǎng)：主要考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力欄目導(dǎo)航01基礎(chǔ)整合

自測糾偏03素養(yǎng)微專

直擊高考02重難突破

能力提升04配套訓(xùn)練基礎(chǔ)整合自測糾偏11．函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有_____________，那么函數(shù)f(x)就叫作偶函數(shù)關(guān)于______對稱奇函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有______________，那么函數(shù)f(x)就叫作奇函數(shù)關(guān)于______對稱f(－x)＝f(x)

y軸f(－x)＝－f(x)

原點(diǎn)【常用結(jié)論】函數(shù)奇偶性的幾個(gè)重要結(jié)論(1)如果一個(gè)奇函數(shù)f(x)在原點(diǎn)處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|)．(3)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類型，即f(x)＝0，x∈D，其中定義域D是關(guān)于原點(diǎn)對稱的非空數(shù)集．(4)奇函數(shù)在兩個(gè)對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在兩個(gè)對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．2．函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有____________，那么就稱函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期．(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)_____________，那么這個(gè)____________就叫作f(x)的最小正周期．f(x＋T)＝f(x)

最小的正數(shù)最小正數(shù)2．對稱性的三個(gè)常用結(jié)論(1)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱．(2)若對于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱．(3)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(b,0)中心對稱．1．(教材改編)下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是 (

)A．y＝x2sinx

B．y＝x2cosxC．y＝|lnx|

D．y＝2－x【答案】B2．對于定義在R上的函數(shù)f(x)，給出下列說法：①若f(x)是偶函數(shù)，則f(－2)＝f(2)；②若f(－2)＝f(2)，則函數(shù)f(x)是偶函數(shù)；③若f(－2)≠f(2)，則函數(shù)f(x)不是偶函數(shù)；④若f(－2)＝f(2)，則函數(shù)f(x)不是奇函數(shù)．其中，正確的說法是 (

)A．①③

B．①④

C．②③

D．③④【答案】A【答案】B4．(多選)已知偶函數(shù)f(x)滿足f(x)＋f(2－x)＝0，下列說法正確的是

(

)A．函數(shù)f(x)是以2為周期的周期函數(shù)B．函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)C．函數(shù)f(x＋2)為偶函數(shù)D．函數(shù)f(x－3)為偶函數(shù)【答案】BC【解析】偶函數(shù)f(x)滿足f(x)＋f(2－x)＝0，即有f(－x)＝f(x)＝－f(2－x)，即為f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，可得f(x)的最小正周期為4，故A錯(cuò)誤，B正確；由f(x)＋f(2－x)＝0，可得f(－x)＋f(2＋x)＝0，兩式相減得f(2－x)－f(2＋x)＝0，故f(2－x)＝f(2＋x)，所以f(x＋2)為偶函數(shù)，故C正確；由f(x)為偶函數(shù)得f(－x－3)＝f(x＋3)，若f(x－3)為偶函數(shù)，則有f(－x－3)＝f(x－3)，可得f(x＋3)＝f(x－3)，即f(x＋6)＝f(x)，可得6為f(x)的周期，這與4為最小正周期矛盾，故D錯(cuò)誤．【答案】11．判斷函數(shù)f(x)的奇偶性時(shí)，必須對定義域內(nèi)的每一個(gè)x，均有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，而不能說存在x0使f(－x0)＝－f(x0)f(－x0)＝f(x0)．2．判定分段函數(shù)的奇偶性時(shí)，不能利用函數(shù)在定義域某一區(qū)間上不是奇偶函數(shù)來否定函數(shù)在整個(gè)定義域上的奇偶性．3．奇函數(shù)在對稱區(qū)間內(nèi)具有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在對稱區(qū)間內(nèi)具有相反的單調(diào)性．判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?：(1)函數(shù)y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函數(shù)． (

)(2)偶函數(shù)的圖象不一定過原點(diǎn)，奇函數(shù)的圖象一定過原點(diǎn)．

(

)(3)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(diǎn)(b,0)中心對稱．

(

)(4)如果函數(shù)f(x)，g(x)為定義域相同的偶函數(shù)，則F(x)＝f(x)＋g(x)也是偶函數(shù)．

(

)(5)若T為函數(shù)f(x)的一個(gè)周期，那么nT(n∈Z且n≠0)也是函數(shù)f(x)的周期．

(

)【答案】(1)×

(2)×

(3)√

(4)√

(5)√重難突破能力提升2

判斷下列函數(shù)的奇偶性：函數(shù)奇偶性的判斷當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝x2＋x，則當(dāng)x>0時(shí)，－x<0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)．故f(x)是偶函數(shù)．方法三：f(x)可以寫成f(x)＝x2－|x|(x≠0)，故f(x)為偶函數(shù)．【解題技巧】判定函數(shù)奇偶性的方法(1)定義法：(2)圖象法：【變式精練】1．(1)設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是

(

)A．f(x)g(x)是偶函數(shù)

B．|f(x)|·g(x)是奇函數(shù)C．f(x)·|g(x)|是奇函數(shù)

D．|f(x)g(x)|是奇函數(shù)【答案】(1)C

(2)B【解析】(1)依題意得對任意x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－[f(x)g(x)]，f(x)g(x)是奇函數(shù)，A錯(cuò)；|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|·g(x)，|f(x)|·g(x)是偶函數(shù)，B錯(cuò)；f(－x)·|g(－x)|＝－f(x)·|g(x)|＝－[f(x)·|g(x)|]，f(x)·|g(x)|是奇函數(shù)，C正確；|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，|f(x)g(x)|是偶函數(shù)，D錯(cuò)．

(2020年石家莊月考)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，當(dāng)x∈(0,2]時(shí)，f(x)＝x－sinπx，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＝

(

)A．6

B．4

C．2

D．0【答案】C函數(shù)的周期性【解析】根據(jù)題意，函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，則f(x＋4)＝f(x)，即f(x)是周期為4的周期函數(shù)．當(dāng)x∈(0,2]時(shí)，f(x)＝x－sinπx，則f(1)＝1－sinπ＝1，f(2)＝2－sin2π＝2.又由f(x＋2)＝－f(x)，得f(3)＝－f(1)＝－1，f(4)＝－f(2)＝－2，則有f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＝[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋[f(5)＋f(6)＋f(7)＋f(8)]＋…＋f(2019)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＝2.【解題技巧】函數(shù)周期性問題的求解策略(1)判斷函數(shù)的周期只需證明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題．(2)根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，在解決具體問題時(shí)，要注意結(jié)論：若T是函數(shù)的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期．示通法周期性與奇偶性結(jié)合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行交換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解．周期性、奇偶性與單調(diào)性結(jié)合．解決此類問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解．函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用【解析】由f(x)是奇函數(shù)，得f(－1)＝－f(1)．又g(x)是偶函數(shù)，所以g(－1)＝g(1)．因?yàn)閒(－1)＋g(1)＝2，所以g(1)－f(1)＝2①，又f(1)＋g(－1)＝4，所以f(1)＋g(1)＝4②，由①②，得g(1)＝3.【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是偶函數(shù)，且當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)＝lnx，所以f(1)＝ln1＝0，則不等式f(x)＞0等價(jià)為f(|x|)＞f(1)．因?yàn)楫?dāng)x＞0時(shí)，f(x)為增函數(shù)，所以由|x|＞1，得x＞1或x＜－1，即x的取值范圍是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．【解析】因?yàn)閒(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)．所以函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，則f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定義在R內(nèi)的奇函數(shù)，且滿足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．因?yàn)閒(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，f(x)在R內(nèi)是奇函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間[－2,2]上是增函數(shù)．所以f(－1)<f(0)<f(1)，即f(－25)<f(80)<f(11)．【答案】2【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，所以f(－2017)＝－f(2017)．因?yàn)楫?dāng)x≥0時(shí)，有f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，即當(dāng)x≥0時(shí)，自變量的值每增加6，對應(yīng)函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)一次．又當(dāng)x∈(0,3)時(shí)，f(x)＝x＋1，所以f(2017)＝f(336×6＋1)＝f(1)＝2，f(2018)＝f(336×6＋2)＝f(2)＝3.故f(－2017)＋f(2018)＝－f(2017)＋3＝1.【答案】4【解析】因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x－1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，所以函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于(0,0)對稱．所以f(x)是R上的奇函數(shù)．因?yàn)閒(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期為4.所以f(2021)＝f(505×4＋1)＝f(1)＝4.所以f(2020)＋f(2022)＝－f(2018)＋f(2018＋4)＝－f(2018)＋f(2018)＝0.所以f(2020)＋f(2021)＋f(2022)＝4.【解題技巧】1．函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用問題的常見類型及解題策略(1)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合．注意函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖象的對稱性．(2)周期性與奇偶性結(jié)合．此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解．(3)周期性、奇偶性與單調(diào)性結(jié)合．解決此類問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解．2．函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用的注意點(diǎn)函數(shù)的奇偶性體現(xiàn)的是一種對稱關(guān)系，而函數(shù)的單調(diào)性體現(xiàn)的是函數(shù)值隨自變量變化而變化的規(guī)律，因此在解題時(shí)，往往需要借助函數(shù)的奇偶性和周期性來確定另一區(qū)間上的單調(diào)性，即實(shí)現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)化，再利用單調(diào)性解決相關(guān)問題．【解析】(1)根據(jù)題意，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝3對稱，則有f(x)＝f(6－x)．所以f(－16)＝－f(16)＝－f(6－16)＝－f(－10)＝f(10)＝f(6－10)＝f(－4)＝－f(4)＝－f(6－4)＝－f(2)＝－(－2)＝2.素養(yǎng)微專直擊高考3母題探究類——函數(shù)性質(zhì)及其應(yīng)用典例精析【命題意圖】(1)理解函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值及其幾何意義；結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義．(2)會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)．【考試方向】這類試題在考查題型上主要以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、最大值、最小值求函數(shù)值或參數(shù)的取值范圍，試題難度中等偏上．【核心素養(yǎng)】邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算【解題技巧】(1)若已知條件為不等式，根據(jù)條件