1.4充分條件與必要條件命題命題的定義在數(shù)學(xué)中，把用語言、符號、或式子表達的，可以判斷真假的陳述語句叫做命題。真命題，假命題判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題命題的一般形式通常用“若，則”的形式來表達，其中稱為命題的條件，稱為命題的結(jié)論?？键c1：判斷語句是否為命題例1：下列語句中不是命題的是（） B．二次函數(shù)的圖象不一定關(guān)于y軸對稱C． D．對任意，總有【答案】C【分析】根據(jù)命題的定義進行判斷即可.【詳解】選項A,B,D中均為陳述句,且能夠判斷真假,故均為命題,C選項雖然是陳述句但無法判斷真假,故不是命題.故選：C.【點睛】判斷一個語句是不是命題,要看它符不符合“是陳述句”和“可以判斷真假”這兩個條件.考點2：判斷命題的真假例2：下列命題是真命題的是（）．A．空集是任何集合的真子集B．等腰三角形是銳角三角形C．函數(shù)是二次函數(shù)D．若，則【答案】D【分析】由真子集的定義、等腰三角形的特征，二次函數(shù)的定義以及集合的運算即可得出選項?！驹斀狻靠占侨魏畏强占系恼孀蛹?，故選項錯誤；等腰三角形頂角可以為鈍角，故選項錯誤；函數(shù)，當時是一次函數(shù)，故選項錯誤；若，則是集合，的公共元素，所以。所以答案為D【點睛】本題考查命題真假的判斷。變式2-1：如果命題“若m<3,則q”為真命題,那么該命題的結(jié)論q可以是()m<2 B．m<4C．m>2 D．m>4【答案】B【分析】根據(jù)集合的性質(zhì)，小集合可以推導(dǎo)出大集合，并且要求命題為真命題，即可直接得出結(jié)論.【詳解】由集合的性質(zhì)，小范圍推大范圍，故可知的范圍要比題干中m的范圍大，所以??；故選B.變式2-2：下列命題是假命題的是（）．A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】B【分析】根據(jù)集合的性質(zhì)，小集合可以推導(dǎo)出大集合，并且要求命題為真命題，即可直接得出結(jié)論.【詳解】由集合的性質(zhì)，小范圍推大范圍，故可知的范圍要比題干中m的范圍大，所以取；故選B.考點3：命題的一般形式例3．判斷下列語句是否為命題，若是，請判斷真假并改寫成“若，則”的形式.（1）垂直于同一條直線的兩條直線平行嗎？（2）三角形中，大角所對的邊大于小角所對的邊；（3）當是有理數(shù)時，都是有理數(shù)；（4）；（5）這盆花長得太好了！【答案】（2）（3）為命題，（2）為真命題，改寫成“若，則”的形式是：在中，所對的邊為，若，則.（3）為假命題，改成“若，則”的形式是：若為有理數(shù)，則為有理數(shù).【分析】能判斷真假的陳述句是命題，從而可得（2）（3）為命題，找出兩者的前提和結(jié)論，從而可得它們“若，則”的形式．【詳解】（1）為疑問句，（5）為感嘆句，兩者均不是命題，（4）為一個和式，無法判斷其真假，故也不是命題.（2）為命題，且為真命題，改成“若，則”的形式是：在中，所對的邊為，若，則.（3）為命題，且為假命題，比如的和為有理數(shù)，但它們均為無理數(shù).改成“若，則”的形式是：若為有理數(shù)，則為有理數(shù).【點睛】本題考查命題的判斷以及命題的結(jié)構(gòu)，注意可以判斷真假的陳述句才是命題，命題由前提和結(jié)論構(gòu)成，本題屬于基礎(chǔ)題.變式3-1．判斷下列命題的真假并說明理由．（1）某個整數(shù)不是偶數(shù)，則這個數(shù)不能被4整除；（2）若，且，則，且；（3）合數(shù)一定是偶數(shù)；（4）若，則；（5）兩個三角形兩邊一對角對應(yīng)相等，則這兩個三角形全等；（6）若實系數(shù)一元二次方程滿足，那么這個方程有兩個不相等的實根；（7）若集合，，滿足，則；（8）已知集合，，，如果，那么．【答案】（1）真；（2）假；（3）假；（4）真；（5）假；（6）真；（7）假；（8）真【分析】（1）先判斷逆否命題的真假，即可判定出結(jié)果；（2）根據(jù)不等式性質(zhì)，直接判斷即可；（3）特殊值驗證即可；（4）根據(jù)子集的性質(zhì)，即可判定結(jié)果；（5）根據(jù)全等三角形的判定定理，即可判定結(jié)果；（6）根據(jù)判別式，即可判定結(jié)果；（7）特殊值法驗證即可；（8）根據(jù)子集與交集的性質(zhì)，即可判定結(jié)果.【詳解】（1）命題“某個整數(shù)不是偶數(shù)，則這個數(shù)不能被4整除”的逆否命題為“某個整數(shù)能被4整除，則這個數(shù)是偶數(shù)”，顯然為真命題，故（1）是真命題；（2）若，且，則或；故（2）是假命題；（3）合數(shù)是指自然數(shù)中除了能被1和本身整除外，還能被其他整數(shù)整除的數(shù)；因此，合數(shù)不一定是偶數(shù)，如9，是合數(shù)，但不是偶數(shù)；故（3）是假命題；（4）若，根據(jù)子集的性質(zhì)，有；故（4）是真命題；（5）有兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等；題干中所說對角不一定是夾角，故這兩個三角形不一定全等；故（5）是假命題；（6）若實系數(shù)一元二次方程滿足，則，所以這個方程有兩個不相等的實根；故（6）是真命題；（7）若集合，，，顯然滿足，但；故（7）是假命題；（8）已知集合，，，如果，根據(jù)交集與子集的性質(zhì)，可得：．故（8）是真命題.【點睛】本題主要考查命題真假的判定，熟記對應(yīng)的知識點，靈活運用特殊值法即可，屬于?？碱}型.充分條件與必要條件充分條件與必要條件的定義一般地，“若，則”為真命題，是指由條件通過推理可以得出。由可推出，記作，并且說是的充分條件，是的必要條件。如果“若，則”為假命題，是指由條件不能推出結(jié)論，記作，則不是的充分條件，不是的必要條件?？键c4：判斷充分條件與必要條件例4：已知a,b,c是實數(shù),判斷下列命題的真假：(1)“”是“”的充分條件；(2)“”是“”的必要條件；(3)“”是“”的充分條件；(4)“”是“”的必要條件.【答案】(1)假命題(2)假命題(3)假命題(4)真命題【分析】(1)(2)利用來判斷；(3)(4)利用來判斷.【詳解】解:(1)假命題,因為；(2)假命題,因為；(3)假命題,因為,依據(jù)為可能為0；(4)真命題,因為.【點睛】本題考查充分性和必要性的判斷，是基礎(chǔ)題.例5：下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的p是q的充分條件？（1）若平面內(nèi)點P在線段的垂直平分線上，則；（2）若兩個三角形的兩邊及一邊所對的角分別相等，則這兩個三角形全等；（3）若兩個三角形相似，則這兩個三角形的面積比等于周長比的平方.【答案】（1）p是q的充分條件；（2）p不是q的充分條件；（3）p是q的充分條件【分析】根據(jù)所給命題，判斷出能否得到，從而得到p是否是q的充分條件，得到答案.【詳解】（1）線段垂直平分線的性質(zhì)，，p是q的充分條件；（2）三角形的兩邊及一邊所對的角分別相等的兩個三角形不一定全等，，p不是q的充分條件；（3）相似三角形的性質(zhì)，，p是q的充分條件.【點睛】本題考查判斷是否為充分條件，屬于簡單題.變式5-1下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的q是p的必要條件？（1）若直線l與有且僅有一個交點，則l為的一條切線；（2）若x是無理數(shù)，則也是無理數(shù).【答案】（1）q是p的必要條件；（2）q不是p的必要條件【分析】根據(jù)所給命題，判斷出能否得到，從而得到q是否是p的必要條件，得到答案.【詳解】（1）這是圓的切線定義，，所以q是p的必要條件；（2）由于是無理數(shù)，但不是無理數(shù)，，所以q不是p的必要條件.【點睛】本題考查判斷是否為必要條件，屬于簡單題.變式5-2判斷下列各題中，p是否是q的充分條件，q是否是p的必要條件：（1）；（2）p：x是矩形，q：x是正方形.【答案】（1）p是q的充分條件，q是p的必要條件（2）p不是q的充分條件，q不是p的必要條件.【分析】根據(jù)充分條件與必要條件的概念，可直接判斷出這兩問的結(jié)果.【詳解】（1）因為整數(shù)都是有理數(shù)，從而一定也是實數(shù)，即，因此p是q的充分條件，q是p的必要條件.（2）因為矩形不一定是正方形，即，因此p不是q的充分條件，q不是p的必要條件.【點睛】本題主要考查充分條件與必要條件的判斷，熟記概念即可，屬于基礎(chǔ)題型.例6：已知命題：，①②則命題的充分條件是___________，命題的必要條件是______________【答案】②，①變式6-1．指出下列各命題中，p是q的什么條件，q是p的什么條件．（1）p：x2>0，q：x>0；（2）p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2；（3）p：a能被6整除，q：a能被3整除；（4）p：兩個角不都是直角，q：兩個角不相等．【答案】（1）p是q的必要條件，q是p的充分條件；（2）p是q的必要條件，q是p的充分條件；（3）p是q的充分條件，q是p的必要條件；（4）p是q的必要條件，q是p的充分條件．【分析】根據(jù)充分、必要條件的定義，逐一判斷即可.【詳解】解：（1）p：x2>0則x>0，或x<0，q：x>0，故p是q的必要條件，q是p的充分條件．（2）p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2，則x＋2≠y且x＋2≠－y，故p是q的必要條件，q是p的充分條件．（3）p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，故p是q的充分條件，q是p的必要條件．（4）p：兩個角不都是直角，這兩個角可以相等，q：兩個角不相等，則這個角一定不都是直角，故p是q的必要條件，q是p的充分條件．【點睛】本題考查充分、必要條件的判斷，考查分析判斷的能力，屬基礎(chǔ)題.充分性和必要性的關(guān)系在“若，則”中，若：，則是的充分條件，是的必要條件若：，則是的充分條件，是的必要條件也就是說：在“若，則”中，條件結(jié)論，充分性成立；結(jié)論條件，必要性成立充要條件充要條件的定義若有，又有，就記作，則是的充分必要條件，簡稱充要條件。充分條件、必要條件的四種類型若，，則是的充要條件若，，則是的充分不必要條件若，，則是的必要不充分條件若，，則是的既不充分也不必要條件例7：試用推出關(guān)系說明是的什么條件.（1），；（2）是非零自然數(shù)，是正整數(shù)；（3），；（4），；（5）使得關(guān)于的方程有唯一實根的實數(shù)，.【答案】（1）充分非必要；（2）充要；（3）必要非充分；（4）充分非必要；（5）必要非充分【分析】先確定每個小題的集合元素，再確定集合之間關(guān)系，逐一判斷即可.【詳解】解：（1）或，是的真子集，故是的充分非必要條件；（2）是非零自然數(shù)與是正整數(shù)完全等價，，故是的充要條件；（3），是的真子集，故是的必要非充分條件；（4）或，是的真子集，故是的充分非必要條件；；（5）對于使得關(guān)于的方程有唯一實根的實數(shù)，時，，符合題意；時，，符合題意；是的真子集，故是的必要非充分條件.【點睛】考查四種條件的判斷，需用子集與推出關(guān)系說明兩個命題的關(guān)系；基礎(chǔ)題.變式7-1試用推出關(guān)系來說明命題是的什么條件．（1）：，，：且；（2）：平行四邊形，：四邊形的一組對邊平行．【答案】（1）充要條件（2）充分非必要條件【分析】（1）根據(jù)充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．（2）一組對邊平行的四邊形，可能是梯形或者平行四邊形。【詳解】解：（1）因為，則是的充要條件。（2）一組對邊平行的四邊形，可能是梯形或者平行四邊形，所以，則是的充分非必要條件?！军c睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)充分條件和必要條件的定義是解決本題的關(guān)鍵．比較基礎(chǔ)．變式7-2判斷下列命題中p是q的什么條件.（充分不必要條件必要不充分條件，充要條件，既不充分也不必要條件）（1）p：數(shù)a能被6整除，q：數(shù)a能被3整除；（2），；（3）有兩個角相等，是正三角形；（4）若，，；（5），.【答案】（1）p是q的充分不必要條件（2）P是q的充分不必要條件（3）p是q的必要不充分條件（4）p是q的充要條件（5）p是q的既不充分也不必要條件【分析】判斷兩個命題和是否正確，然后得結(jié)論．【詳解】解析（1）因為“數(shù)a能被6整除”能推出“數(shù)a能被3整除”，所以，但“數(shù)a能被3整除”推不出“數(shù)a能被6整除”，如，所以，所以p是q的充分不必要條件.（2）因為能推出，即；但當時，如，推不出，即，所以P是q的充分不必要條件.（3）因為“有兩個角相等”推不出“是正三角形”，因此，但“是正三角形”能推出“有兩個角相等”，即，所以p是q的必要不充分條件.（4）若，則，即；若，則，即，故，所以p是q的充要條件.（5）當，時，推不出，知，又當，時，推不出，知，所以p是q的既不充分也不必要條件.【點睛】本題考查充分條件與必要條件的判斷，解題時必須判斷兩個命題和是否正確．例8：求證：關(guān)于的方程有一個根為1的充要條件是【答案】詳見解析.【分析】由可得，將方程因式分解后求出方程的根，可知充分性成立，將代入方程可得知必要性成立，由此得出證明.【詳解】充分性：，，代入方程得，即．關(guān)于的方程有一個根為；必要性：方程有一個根為，滿足方程，，即．故關(guān)于的方程有一個根是的充要條件為．集合中的包含關(guān)系在判斷條件關(guān)系中的應(yīng)用設(shè)命題對應(yīng)集合，命題對應(yīng)集合若，即，是的充分條件（充分性成立）若，即，是的必要條件（必要性成立）若，即，，是的充分不必要條件若，即，，是的必要不充分條件若，即，，是的充要條件例9設(shè)是的充分非必要條件，是的充要條件，是的必要非充分條件，則是的什么條件？【答案】必要非充分條件【分析】本題條件是，結(jié)論是，關(guān)鍵是要根據(jù)題意找到與的推出關(guān)系.【詳解】因為是的必要非充分條件，所以，.又因為是的充要條件即，∴，.所以是的必要非充分條件.又因為是的充分非必要條件即，，∴.假設(shè)，則，與矛盾，∴.所以是的必要非充分條件.【點睛】本題考查充分條件與必要條件的應(yīng)用，關(guān)鍵是分清條件與結(jié)論的推出關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.例10已知，，.若是的充分非必要條件，求正實數(shù)的取值范圍.【答案】【分析】由題得解不等式即得解.【詳解】設(shè)集合，.由題意知，∴，經(jīng)檢驗等號滿足題意.【點睛】本題主要考查集合的關(guān)系，考查充分不必要條件的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平.變式10-1已知，，若是的充分非必要條件，求實數(shù)的取值范圍.【答案】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為兩個集合之間的包含關(guān)系，然后再利用集合的包含關(guān)系列出不等式組，解不等式組即可求解.【詳解】設(shè)集合，.由題意知，∴.【點睛】本題考查了由充分條件、必要條件求參數(shù)的取值范圍，考查了轉(zhuǎn)化的思想，屬于基礎(chǔ)題.例11已知，，若是的必要非充分條件，求實數(shù)的取值范圍.【答案】或.【分析】設(shè)，，根據(jù)是的必要非充分條件，得到.，然后分和兩種情況討論求解.【詳解】設(shè)，，如圖所示.∵是的必要非充分條件，∴.分兩種情況討論：①當時，，解得；②當時，畫數(shù)軸，得.,，當時，，成立，當時，，成立.綜上：或.【點睛】本題主要考查邏輯條件的應(yīng)用以及集合的基本關(guān)系，還考查了分類討論思想和運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.變式11-1已知，，且是的必要非充分條件.求實數(shù)的取值范圍.【答案】【分析】根據(jù)不等式之間的關(guān)系，利用必要非充分條件的定義即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖所示，設(shè)集合，.由題意可知，.分兩種情況討論：（1）時，，；（2）時，無解.綜上，【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的應(yīng)用，利用不等式之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．變式11-2．設(shè)，，，.若是的必要非充分條件，求實數(shù)，滿足