統(tǒng)計學(xué)第4章綜合指標(biāo)教師：吳小衛(wèi)四、變異指標(biāo)1、全距2、四分位差3、平均差4、方差及標(biāo)準(zhǔn)差5、相對離散程度：離散系數(shù)平均指標(biāo)說明總體各單位標(biāo)志值的集中趨勢，而變異指標(biāo)則說明總體各單位標(biāo)志值的分散程度或離中趨勢。變異指標(biāo)的概念與作用概念：變異指標(biāo)是反映總體各單位標(biāo)志值差別大小程度的綜合指標(biāo)，又稱為標(biāo)志變動度。變異指標(biāo)的作用（1）變異指標(biāo)是衡量平均指標(biāo)代表性的尺度。

一般情況下，數(shù)據(jù)分布越分散，變異指標(biāo)越大，平均指標(biāo)的代表性越差；數(shù)據(jù)分布越集中，變異指標(biāo)越小，平均指標(biāo)的代表性就越好。（2）變異指標(biāo)可以反映社會經(jīng)濟活動過程的均衡程度和穩(wěn)定性。

一般來說，變異指標(biāo)值越小，則說明社會經(jīng)濟活動過程的穩(wěn)定性和均衡程度越高。比較甲、乙兩學(xué)生平均成績的代表性。項目語文數(shù)學(xué)物理化學(xué)政治英語甲959065707585乙1107095508075例

甲、乙兩學(xué)生的平均成績?yōu)?0分，集中趨勢一樣，但是他們偏離平均數(shù)的程度卻不一樣。乙組數(shù)據(jù)分布更分散，離散程度更大，平均數(shù)的代表性越差；甲組數(shù)據(jù)分布較集中，離散程度更小，平均數(shù)的代表性越好。項目供貨計劃完成百分比(%)季度總供貨計劃執(zhí)行結(jié)果一月二月三月鋼廠甲100323434乙100203050例比較甲乙兩鋼廠計劃執(zhí)行的穩(wěn)定性。由上表可知，甲廠比乙廠的計劃執(zhí)行情況更穩(wěn)定。1、極差（全距）是指一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值之差，

用R表示。未分組數(shù)據(jù)

R

=max(Xi)-min(Xi)組距分組數(shù)據(jù)

R

=最高組上限-最低組下限計算公式為：例現(xiàn)有甲乙兩個生產(chǎn)小組，每組5名工人，每人日產(chǎn)量如下：甲組：69,69,70,70,72R甲=3（件）乙組：65,68,70,71,76R乙=11（件）這兩個小組的平均日產(chǎn)量都是70件，但比較兩個小組日產(chǎn)量的全距，有R甲<R乙，說明乙組工人日產(chǎn)量的差異程度比甲組大，所以甲組工人生產(chǎn)情況更均衡，平均日產(chǎn)量的代表性更好。2、四分位差上四分位數(shù)與下四分位數(shù)之差，用Q表示。計算公式為：Q=Q3-Q1不受極端值影響，可用于衡量中位數(shù)的代表性，數(shù)值越小，中位數(shù)代表性越好。四分位數(shù)排序后處于25%和75%位置上的值。Q1Q2Q325%25%25%25%四分位數(shù)的位置Q1位置=Q3位置=未分組數(shù)據(jù)：未分組數(shù)據(jù)的四分位數(shù)

(7個數(shù)據(jù)的算例)原始數(shù)據(jù):

2321 3032 282526排序:

2123

25262830

32位置:

12

3 456

7

∴四分位差Q=Q3-Q1=7未分組數(shù)據(jù)的四分位數(shù)

(6個數(shù)據(jù)的算例)原始數(shù)據(jù):

232130282526排序:212325262830位置:1 23456Q1=21+0.75(23-21)=22.5Q3=28+0.25(30-28)=28.5∴Q=Q3-Q1=63、平均差是指各變量值與其均值離差絕對值的平均數(shù)，用A.D.表示。計算公式為：未分組數(shù)據(jù)已分組數(shù)據(jù)某車間50名工人日加工零件標(biāo)準(zhǔn)差計算表按零件數(shù)分組組中值(Xi)頻數(shù)(fi)|Xi-||Xi-

|fi105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140107.5112.5117.5122.5127.5132.5137.535814106415.710.75.70.74.39.314.347.153.545.69.84355.857.2合計—50—312【例】根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，計算平均差。4、方差和標(biāo)準(zhǔn)差

反映了各變量值與均值的平均差異，方差用

表示，標(biāo)準(zhǔn)差用表示。在實際工作中，標(biāo)準(zhǔn)差是測定總體離散程度最常用的指標(biāo)。方差的計算公式為：未分組數(shù)據(jù)已分組數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差只需在方差基礎(chǔ)上開平方根即可得到。某車間50名工人日加工零件標(biāo)準(zhǔn)差計算表按零件數(shù)分組組中值(Xi)頻數(shù)(fi)(Xi-)2(Xi-)2fi105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140107.5112.5117.5122.5127.5132.5137.5358141064246.49114.4932.490.4918.4986.49204.49739.47572.45259.926.86184.90518.94817.96合計—50—3100.5【例】根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，計算標(biāo)準(zhǔn)差。5、變異系數(shù)反映變量值之間相對離散程度的指標(biāo)，用于比較平均水平不同或計量單位不同的數(shù)據(jù)，標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)用表示。計算公式為：比較兩組數(shù)據(jù)的離散程度或平均指標(biāo)的代表性當(dāng)，此時用標(biāo)準(zhǔn)差比較，標(biāo)準(zhǔn)差越小的組，離散程度越小，平均指標(biāo)代表性越好；當(dāng)，此時用標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)比較，標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)越小的組，離散程度越小，平均指標(biāo)代表性越好。例：甲乙兩數(shù)列的平均數(shù)分別為100和14.5，它們的標(biāo)準(zhǔn)差為12.8和3.7，哪個數(shù)列的平均數(shù)代表性更好？解：由于,所以應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)比較。甲數(shù)列的標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)=12.8/100*100%=12.8%,乙數(shù)列的標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)=3.7/14.5*100%=25.5%。由于甲數(shù)列的標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)小于乙數(shù)列，所以甲數(shù)列的平均數(shù)代表性更好。例：有兩個班級同時參加《統(tǒng)計學(xué)原理》期末考試，1班學(xué)生分?jǐn)?shù)如下，2班學(xué)生的平均成績?yōu)?5分，標(biāo)準(zhǔn)差為12分，試比