高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家一折網(wǎng)歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。作文錄高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。選修4－1幾何證明選講第1課時相似三角形的進(jìn)一步認(rèn)識(對應(yīng)學(xué)生用書(理)179～181頁)考情分析考點(diǎn)新知應(yīng)用平行截割定理，相似三角形的判定定理與性質(zhì)定理解決有關(guān)三角形問題．①理解平行截割定理，相似三角形的判定定理與性質(zhì)定理，能運(yùn)用它們解決三角形中的計算與證明問題.②了解直角三角形的射影定理.1.如圖，△ABC中，DE∥BC,DF∥AC，AE∶AC＝3∶5，DE＝6，求BF的長．解：eq\f(DE,BC)＝eq\f(AE,AC)eq\f(6,BC)＝eq\f(3,5)BC＝10，∴BF＝10－6＝4.2.如圖，在△ABC中，DE∥BC，DE分別與AB、AC相交于點(diǎn)D、E，若AD＝4，DB＝2，求DE與BC的長度比．解：因?yàn)镈E∥BC，所以eq\f(DE,BC)＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).3.如圖，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD.且AB＝2，AD＝eq\r(2)，求AF的長．解：設(shè)AF＝x，則由eq\f(AD,DB)＝eq\f(AE,EC)＝eq\f(AF,DF)，eq\f(\r(2),2－\r(2))＝eq\f(x,\r(2)－x)，解得x＝1.4.如圖，四邊形ABCD中，DF⊥AB，垂足為F，DF＝3，AF＝2FB＝2，延長FB到E，使BE＝FB.連結(jié)BD、EC，若BD∥EC，求△BCD和四邊形ABCD的面積．解：S△BCD＝S△BDE＝eq\f(1,2)·BE·DF＝eq\f(1,2)×1×3＝eq\f(3,2)，S四邊形ABCD＝S△ADE＝eq\f(1,2)·AE·DF＝eq\f(1,2)×4×3＝6.5.如圖，平行四邊形ABCD中，AE∶EB＝1∶2，△AEF的面積為6，求△ADF的面積．解：由題意可得△AEF∽△CDF，且相似比為1∶3，由△AEF的面積為6，得△CDF的面積為54.又S△ADF∶S△CDF＝1∶3，所以S△ADF＝18.1.平行截割定理(1)平行線等分線段定理及其推論①定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在任一條(與這組平行線相交的)直線上截得的線段也相等．②推論：經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)而平行于底邊的直線平分另一腰．(2)平行截割定理及其推論①定理：兩條直線與一組平行線相交，它們被這組平行線截得的對應(yīng)線段成比例．②推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊，截得的三角形的邊與原三角形的對應(yīng)邊成比例．(3)三角形角平分線的性質(zhì)三角形的內(nèi)角平分線分對邊成兩段的長度比等于夾角兩邊長度的比．(4)梯形的中位線定理梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半．2.相似三角形(1)相似三角形的判定①判定定理a.兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．b.兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似．c.三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似．②推論：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．③直角三角形相似的特殊判定．斜邊與一條直角邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似．(2)相似三角形的性質(zhì)AH·BH＝2EF·EG.所以FG2＝AF·DF＋BG·CG＋2FE·EG＝AF·DF＋BG·CG＋AH·BH.1.如圖，在ABCD中，BC＝24，E、F為BD的三等分點(diǎn)，求BM－DN的值．解：∵E、F為BD的三等分點(diǎn)，四邊形為平行四邊形，∴M為BC的中點(diǎn)．連CF交AD于P，則P為AD的中點(diǎn)，由△BCF∽△DPF及M為BC中點(diǎn)知，N為DP的中點(diǎn)，∴BM－DN＝12－6＝6.2.如圖，在四邊形ABCD中，△ABC≌△BAD.求證：AB∥CD.證明：由△ABC≌△BAD得∠ACB＝∠BDA，故A、B、C、D四點(diǎn)共圓，從而∠CAB＝∠CDB.再由△ABC≌△BAD得∠CAB＝∠DBA.因此∠DBA＝∠CDB，所以AB∥CD.3.如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，EF是中位線，BD交EF于P，已知EP∶PF＝1∶2，AD＝7cm，解：EF是梯形中位線，得EF∥AD∥BC，∴eq\f(PE,AD)＝eq\f(PE,7)＝eq\f(BE,AB)＝eq\f(1,2)，eq\f(PF,BC)＝eq\f(FD,CD)＝eq\f(1,2).∵PE∶PF＝1∶2,∴BC＝2PF＝14cm4.如圖，已知A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0，1)、(－1，0)、(1，0)，P是線段AC上一點(diǎn)，BP交AO于點(diǎn)D，設(shè)三角形ADP的面積為S，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，求S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．解：如圖，作PE⊥y軸于E，PF⊥x軸于F，則PE＝x，PF＝y(tǒng).∵OA＝OB＝OC＝1，∴∠ACO＝∠FPC＝45°，∴PF＝FC＝y(tǒng)，∴OF＝OC－FC＝1－y，∴x＝1－y，即y＝1－x，∴BF＝2－y＝1＋x.∵OE∥FP，∴△BOD∽△BFP，∴eq\f(OD,PF)＝eq\f(BO,BF)，即eq\f(OD,y)＝eq\f(1,1＋x)，∴OD＝eq\f(y,1＋x)＝eq\f(1－x,1＋x)，∴AD＝1－OD＝1－eq\f(1－x,1＋x)＝eq\f(2x,1＋x)，S△ADP＝eq\f(1,2)AD·PE＝eq\f(1,2)·eq\f(2x,1＋x)×x＝eq\f(x2,1＋x)，∴S＝eq\f(x2,1＋x)(0<x≤1)．1.在直角三角形ABC中，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn)，求eq\f(|PA|2＋|PB|2,|PC|2).解：不失一般性，取特殊的等腰直角三角形，不妨令|AC|＝|BC|＝4，則|AB|＝4eq\r(2)，|CD|＝eq\f(1,2)|AB|＝2eq\r(2)，|PC|＝|PD|＝eq\f(1,2)|CD|＝eq\r(2)，|PA|＝|PB|＝eq\r(|AD|2＋|PD|2)＝eq\r(（2\r(2)）2＋（\r(2)）2)＝eq\r(10)，所以eq\f(|PA|2＋|PB|2,|PC|2)＝eq\f(10＋10,2)＝10.2.如圖，在ABCD中，E是CD的延長線上一點(diǎn)，BE與AD交于點(diǎn)F，DE＝eq\f(1,2)CD.(1)求證：△ABF∽△CEB；(2)若△DEF的面積為2，求ABCD的面積．(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝∠C，AB∥CD，∴∠ABF＝∠CEB，∴△ABF∽△CEB.(2)24.3.如圖，四邊形ABCD是正方形，E是AD上一點(diǎn)，且AE＝eq\f(1,4)AD，N是AB的中點(diǎn)，NF⊥CE于F，求證：FN2＝EF·FC.證明：連結(jié)NC、NE，設(shè)正方形的邊長為a，∵AE＝eq\f(1,4)a，AN＝eq\f(1,2)a，∴NE＝eq\f(\r(5),4)a.∵BN＝eq\f(1,2)a，BC＝a，∴NC＝eq\f(\r(5),2)a.∵DE＝eq\f(3,4)a，DC＝a，∴EC＝eq\f(5,4)a.又NE2＝eq\f(5,16)a2，NC2＝eq\f(5,4)a2，EC2＝eq\f(25,16)a2，且NE2＋NC2＝EC2，∴EN⊥NC.∵NF⊥CE，∴FN2＝EF·FC.4.在梯形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在腰AB、CD上，EF∥AD，AE∶EB＝m∶n.求證：(m＋n)EF＝mBC＋nAD.你能由此推導(dǎo)出梯形的中位線公式嗎？解：如圖，連結(jié)AC，交EF于點(diǎn)G.∵AD∥EF∥BC，∴eq\f(DF,FC)＝eq\f(AE,EB)＝eq\f(m,n)，∴eq\f(AE,AB)＝eq\f(m,m＋n)，eq\f(CF,CD)＝eq\f(n,m＋n).又EG∥BC，F(xiàn)G∥AD，∴eq\f(AE,AB)＝eq\f(EG,BC)＝eq\f(m,m＋n)，eq\f(CF,CD)＝eq\f(GF,AD)＝eq\f(n,m＋n)，∴EG＝eq\f(m,m＋n)·BC，GF＝eq\f(n,m＋n)·AD.又EF＝EG＋GF，∴(m＋n)EF＝mBC＋nAD.∴當(dāng)m＝n＝1時，EF＝eq\f(1,2)(BC＋AD)，即表示梯形的中位線．比例線段：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的長度的比與另兩條線段的長度的比相等，即eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)(或a∶b＝c∶d)那么這四