第八講最優(yōu)控制模型及理論第1頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月最優(yōu)控制模型

基本原理

計(jì)算問題主要內(nèi)容第2頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月

最優(yōu)化問題的實(shí)質(zhì)就是利用數(shù)學(xué)工具在容許控制集中尋找一個(gè)最優(yōu)控制函數(shù)或者最優(yōu)控制方案，使所研究的系統(tǒng)能夠最優(yōu)地達(dá)到預(yù)期的目標(biāo)。最優(yōu)化問題

靜態(tài)與動(dòng)態(tài)，離散與連續(xù)第3頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月最優(yōu)化問題病毒的傳播模型；海洋生態(tài)平衡模型；交通流量的控制模型；導(dǎo)彈運(yùn)行最佳軌跡?！?頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月建立數(shù)學(xué)模型分為三步驟：最優(yōu)化問題（1）需要確定狀態(tài)變量、控制變量、約束、目標(biāo)；（2）對(duì)問題具體分析、數(shù)學(xué)描述和研究；（3）研究算法，并對(duì)算法的收斂性、誤差、有效性作出評(píng)價(jià)。第5頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月1）狀態(tài)方程組最優(yōu)控制模型的數(shù)學(xué)描述2）容許控制集第6頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月3）邊界條件與目標(biāo)集最優(yōu)控制模型的數(shù)學(xué)描述

動(dòng)力系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過程，就是系統(tǒng)從一個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到另一個(gè)狀態(tài)的過程，在狀態(tài)空間中其運(yùn)動(dòng)軌跡將形成曲線x(t).邊界值：初始狀態(tài)x(t0),終端狀態(tài)x(tf)終端時(shí)刻和狀態(tài)可以是自由的，也可以是給定的。目標(biāo)集：第7頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月4）目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)控制模型的數(shù)學(xué)描述

控制變量用于控制狀態(tài)的轉(zhuǎn)移過程，效果的好壞取決于u(t)，效果——性能指標(biāo).最少燃料、最少時(shí)間，最小能耗等控制問題。第8頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月4）目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)控制模型的數(shù)學(xué)描述(1)Bolza(2)

Lagrange第9頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月能控性和能觀測(cè)性的概念1960年卡爾曼最先提出能控性和能觀測(cè)性的概念。對(duì)于一個(gè)控制系統(tǒng)，特別是多變量控制系統(tǒng)，必須要回答的兩個(gè)問題是：（1）能控性：在有限的時(shí)間內(nèi)，控制作用能否使得系統(tǒng)從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到要求的狀態(tài)？（2）能觀測(cè)性：在有限的時(shí)間內(nèi)，能否通過對(duì)系統(tǒng)的輸出的測(cè)定來評(píng)估系統(tǒng)的初始狀態(tài)？第10頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月山羊放牧系統(tǒng)中的最優(yōu)控制模型及生態(tài)經(jīng)濟(jì)效益實(shí)例1草原放牧生態(tài)系統(tǒng)模型：放牧總利潤(rùn)：第11頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月計(jì)算機(jī)病毒傳播的最優(yōu)控制模型實(shí)例2計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究[J],28(8),2011狀態(tài)變量當(dāng)前以后S(數(shù)量)沒有感染可能感染C(數(shù)量)沾染病毒發(fā)現(xiàn)I(數(shù)量)感染傳播A(數(shù)量)不被感染不被感染參數(shù)含義α沾染率β1，ω免疫率β2感染率u(t)殺毒率狀態(tài)轉(zhuǎn)移因子第12頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月計(jì)算機(jī)病毒傳播的最優(yōu)控制模型實(shí)例2狀態(tài)方程組：狀態(tài)隨時(shí)間的變化率機(jī)理分析第13頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月計(jì)算機(jī)病毒傳播的最優(yōu)控制模型實(shí)例2控制集：目標(biāo)泛函：初始條件：感染數(shù)量系統(tǒng)消耗min第14頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月路徑選擇的交通流量的最優(yōu)控制模型實(shí)例3城市機(jī)動(dòng)車擁有量以及各種交通需求量急劇上升，城市道路所承受的負(fù)荷不斷增長(zhǎng)，給城市管理和人民生活都帶來了巨大的考驗(yàn)．大連交通大學(xué)學(xué)報(bào)[J],31(6),2010第15頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月動(dòng)態(tài)路徑選擇的交通系統(tǒng)最優(yōu)控制模型實(shí)例3

智能交通運(yùn)輸系統(tǒng)(以下簡(jiǎn)稱ITS)具有先進(jìn)的檢測(cè)、通信、計(jì)算機(jī)系統(tǒng)集成控制技術(shù)，它能最大限度地發(fā)揮現(xiàn)有交通基礎(chǔ)設(shè)施的潛力，提高運(yùn)輸效率，改進(jìn)交通安全，緩解城市交通擁擠，節(jié)約能源的消耗，保護(hù)周圍環(huán)境，……．第16頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月動(dòng)態(tài)路徑選擇的交通系統(tǒng)最優(yōu)控制模型實(shí)例3（1）基本約束第17頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月動(dòng)態(tài)路徑選擇的交通系統(tǒng)最優(yōu)控制模型實(shí)例3（2）非負(fù)約束邊界條件：（3）流量守恒約束第18頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月動(dòng)態(tài)路徑選擇的交通系統(tǒng)最優(yōu)控制模型實(shí)例3（4）先進(jìn)先出原則不考慮超車現(xiàn)象（5）流量傳播約束假定交通流為連續(xù)流第19頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月動(dòng)態(tài)路徑選擇的交通系統(tǒng)最優(yōu)控制模型實(shí)例3交通流的總量達(dá)最小第20頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月嫦娥三號(hào)的著陸軌道和在6個(gè)階段的最優(yōu)控制策略實(shí)例4(1)著陸準(zhǔn)備軌道(2)主減速段(3)快速調(diào)整段(4)粗避障段(5)精避障段(6)緩速下降階段燃料消耗達(dá)最小第21頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月嫦娥三號(hào)的著陸軌道和在6個(gè)階段的最優(yōu)控制策略實(shí)例4(2)主減速段第22頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月嫦娥三號(hào)的著陸軌道和在6個(gè)階段的最優(yōu)控制策略實(shí)例4(3)快速調(diào)整階段的最優(yōu)控制策略根據(jù)牛頓第二定律，建立飛行器水平方向上的動(dòng)力學(xué)方程設(shè)計(jì)控制參數(shù)k1，k2，使第23頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月1.最優(yōu)控制中的變分法（無約束）最優(yōu)控制模型的基本原理

在動(dòng)態(tài)最優(yōu)化問題中，目標(biāo)函數(shù)通常是一個(gè)泛函。泛函可以簡(jiǎn)單地理解為“函數(shù)的函數(shù)”。第24頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月1.最優(yōu)控制中的變分法（無約束）最優(yōu)控制模型的基本原理定理1連續(xù)泛函的變分，等于泛函對(duì)的導(dǎo)數(shù)在的值。即定理2如果可微泛函在上達(dá)到極大或極小，則第25頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月1）固定端點(diǎn)的變分問題最優(yōu)控制模型的基本原理取極值的必要條件是容許極值曲線

滿足歐拉方程邊界條件：第26頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月2）可變端點(diǎn)的變分問題最優(yōu)控制模型的基本原理取極值的必要條件是容許極值曲線

滿足歐拉方程始端邊界條件和終端橫截條件：第27頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月2.最優(yōu)控制問題求解（有約束）最優(yōu)控制模型的基本原理

把具有狀態(tài)方程約束的變分問題轉(zhuǎn)化為無約束變分問題。即轉(zhuǎn)換為哈密頓函數(shù)的極值問題。第28頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月1）固定端點(diǎn)的最優(yōu)控制問題最優(yōu)控制模型的基本原理狀態(tài)方程：泛函指標(biāo)：構(gòu)造哈密頓函數(shù)：第29頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月1）固定端點(diǎn)的最優(yōu)控制問題最優(yōu)控制模型的基本原理正則方程：控制方程：邊界條件：最優(yōu)解滿足以下方程和條件：第30頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月第一步構(gòu)造哈密頓函數(shù)一般的計(jì)算步驟第二步將最優(yōu)控制變量代入正則方程中第三步回代，得到第31頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月山羊放牧系統(tǒng)中的最優(yōu)控制模型及生態(tài)經(jīng)濟(jì)效益實(shí)例1草原放牧生態(tài)系統(tǒng)模型：放牧總利潤(rùn)：哈密頓函數(shù)：第32頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月實(shí)例1哈密頓函數(shù)：正則方程：控制方程：第33頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月實(shí)例1聯(lián)立求解，可得：如果已知（1）代入（1）式，得到第34頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月實(shí)例1與之對(duì)應(yīng)的最優(yōu)控制為：第35頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月例2計(jì)算機(jī)病毒傳播的控制問題狀態(tài)方程目標(biāo)泛函初始條件第36頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月例2計(jì)算機(jī)病毒傳播的控制問題哈密頓函數(shù)第37頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月例2計(jì)算機(jī)病毒傳播的控制問題最優(yōu)控制和最優(yōu)狀態(tài)滿足如下正則方程組：橫截條件第38頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月例2計(jì)算機(jī)病毒傳播的控制問題控制方程：最優(yōu)控制：第39頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月例2計(jì)算機(jī)病毒傳播的控制問題數(shù)值仿真初始條件參數(shù)選取采用Runge-Kutta四階微分方程數(shù)值求解法。第40頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月例2計(jì)算機(jī)病毒傳播的控制問題參考程序(matlab)(1)建立M函數(shù)文件functiondx=fish(t,x)r=2;s=1;a=1