Page1第二章方程(組)與不等式(組)

第一節(jié)一次方程(組)及其應(yīng)用考點幫易錯自糾易錯點1忽略除數(shù)不能為0的條件1.下列四個選項中,不一定成立的是(B)A.若x=y,則2x=x+y B.若ac=bc,則a=bC.若a=b,則a2=b2 D.若x=y,則2x=2y易錯點2整體代入時,忽略各整式之間的倍數(shù)關(guān)系及符號變化2.若x=2是關(guān)于x的一元一次方程ax-2=b的解,則3b-6a+2的值是(B)A.-8 B.-4 C.8 D.4易錯點3去分母時,方程中的常數(shù)項漏乘分母的最小公倍數(shù)3.小明在解關(guān)于x的方程2x-13=x+a3-1,去分母時,方程右邊的A.x=0 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2易錯點4混淆不同數(shù)量關(guān)系中的單位1而出錯4.某商販在一次買賣中,同時賣出兩件上衣,售價都是135元,若按成本計算,其中一件盈利25%,另一件虧損25%,在這次買賣中他(C)A.不賺不賠 B.賺9元 C.賠18元 D.賺18元方法幫提分特訓(xùn)1.[2021重慶A卷]若關(guān)于x的方程4-x2+a=4的解是x=2,則a的值為32.[2021四川眉山]解方程組:3解:原方程組可變形為3①×2-②×3,得-49y=-49,解得y=1.將y=1代入①,得3x-2=-20,解得x=-6.故原方程組的解為x3.[2020江蘇揚州中考節(jié)選]閱讀感悟:有些關(guān)于方程組的問題,欲求的結(jié)果不是每一個未知數(shù)的值,而是關(guān)于未知數(shù)的代數(shù)式的值,如以下問題:已知實數(shù)x,y滿足3x-y=5①,2x+3y=7②,求x-4y和7x+5y的值.本題常規(guī)思路是將①②兩式聯(lián)立組成方程組,解得x,y的值再代入欲求值的代數(shù)式得到答案,常規(guī)思路運算量比較大.其實,仔細(xì)觀察兩個方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系,本題還可以通過適當(dāng)變形整體求得代數(shù)式的值,如由①-②可得x-4y=-2,由①+②×2可得7x+5y=19.這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”.解決問題:(1)已知二元一次方程組2x+y=7,x+2y=8,則x-y=-(2)某班級組織活動購買小獎品,買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元,買39支鉛筆、5塊橡皮、3本日記本共需58元,則購買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需多少元?解:(1)-15解法提示:2x+y=7①,x+2y=8②,①-②,得x-y=-1;①+②(2)設(shè)每支鉛筆x元,每塊橡皮y元,每本日記本z元,由題意得20①×2-②,得x+y+z=6,則5(x+y+z)=30.答:購買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需30元.4.[2021吉林]港珠澳大橋是世界上最長的跨海大橋,它由橋梁和隧道兩部分組成.橋梁和隧道全長共55km,其中橋梁長度比隧道長度的9倍少4km.求港珠澳大橋的橋梁長度和隧道長度.解:設(shè)港珠澳大橋的橋梁長度為xkm,隧道長度為ykm.根據(jù)題意,得x解得x答:港珠澳大橋的橋梁長度為49.1km,隧道長度為5.9km.5.[2021廣西賀州]為了提倡節(jié)約用水,某市制定了兩種收費方式:當(dāng)每戶每月用水量不超過12m3時,按一級單價收費;當(dāng)每戶每月用水量超過12m3時,超過部分按二級單價收費.已知李阿姨家五月份用水量為10m3,繳納水費32元.七月份因孩子放假在家,用水量為14m3,繳納水費51.4元.(1)問該市一級水費、二級水費的單價分別是多少.(2)某戶某月繳納水費為64.4元時,用水量為多少?解:(1)設(shè)該市一級水費的單價為x元,二級水費的單價為y元,依題意得10解得x答:該市一級水費的單價為3.2元,二級水費的單價為6.5元.(2)3.2×12=38.4(元).設(shè)該戶該月用水量為am3,依題意得38.4+6.5(a-12)=64.4,解得a=16.答:當(dāng)繳納水費為64.4元時,用水量為16m3.真題幫考法1等式的性質(zhì)1.[2021安徽,7]設(shè)a,b,c為互不相等的實數(shù),且b=45a+15c,則下列結(jié)論正確的是A.a>b>c B.c>b>aC.a-b=4(b-c) D.a-c=5(a-b)2.[2019安徽,9]已知三個實數(shù)a,b,c滿足a-2b+c=0,a+2b+c<0,則(D)A.b>0,b2-ac≤0 B.b<0,b2-ac≤0C.b>0,b2-ac≥0 D.b<0,b2-ac≥0考法2一次方程(組)的實際應(yīng)用3.[2020安徽,19]某超市有線上和線下兩種銷售方式.與2019年4月份相比,該超市2020年4月份銷售總額增長10%,其中線上銷售額增長43%,線下銷售額增長4%.(1)設(shè)2019年4月份的銷售總額為a元,線上銷售額為x元,請用含a,x的代數(shù)式表示2020年4月份的線下銷售額(直接在表格中填寫結(jié)果);時間銷售總額/元線上銷售額/元線下銷售額/元2019年4月份axa-x2020年4月份1.1a1.43x1.04(a-x)(或1.1a-1.43x)(2)求2020年4月份線上銷售額與當(dāng)月銷售總額的比值.解:(2)由題意,得1.1a-1.43x=1.04(a-x),解得x=213于是,2020年4月份的線上銷售額為1.43x=0.22a,所以,2020年4月份線上銷售額與當(dāng)月銷售總額的比值為0.22a1.1a=04.[2019安徽,17]為實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略,解決某山區(qū)老百姓出行難問題,當(dāng)?shù)卣疀Q定修建一條高速公路.其中一段長為146米的山體隧道貫穿工程由甲、乙兩個工程隊負(fù)責(zé)施工.甲工程隊獨立工作2天后,乙工程隊加入,兩工程隊又聯(lián)合工作了1天,這3天共掘進(jìn)26米.已知甲工程隊每天比乙工程隊多掘進(jìn)2米,按此速度完成這項隧道貫穿工程,甲、乙兩個工程隊還需聯(lián)合工作多少天?解:設(shè)甲工程隊每天掘進(jìn)x米,乙工程隊每天掘進(jìn)y米.根據(jù)題意,得x-y(146-26)÷(7+5)=10(天).答:甲、乙兩個工程隊還需聯(lián)合工作10天.5.[2018安徽,16]《孫子算經(jīng)》中有這樣一道題,原文如下:今有百鹿入城,家取一鹿,不盡,又三家共一鹿,適盡.問:城中家?guī)缀?大意為:今有100頭鹿進(jìn)城,每家取一頭鹿,沒有取完,剩下的鹿每3家共取一頭,恰好取完.問:城中有多少戶人家?請解答上述問題.解:設(shè)城中有x戶人家,根據(jù)題意,得x+x3=解得x=75.答:城中有75戶人家.6.[2017安徽,16]《九章算術(shù)》中有一道闡述“盈不足術(shù)”的問題,原文如下:今有人共買物,人出八,盈三;人出七,不足四.問人數(shù),物價各幾何?譯文為:現(xiàn)有一些人共同買一個物品,每人出8元,還盈余3元,每人出7元,則還差4元,問共有多少人,這個物品的價格是多少?請解答上述問題.解:設(shè)共有x人,根據(jù)題意,可列方程8x-3=7x+4.解得x=7,所以物品的價格為8×7-3=53(元).答:共有7人,這個物品的價格為53元.第二節(jié)分式方程及其應(yīng)用易錯自糾易錯點1去分母時,忽略分?jǐn)?shù)線的括號作用1.方程3x2-1-1x+1=0的解為易錯點2忽略分式方程分母不能為0的條件2.解分式方程1-xx-2+2=1A.x=2 B.x=4 C.x=3 D.無解易錯點3解分式方程過程中忘記檢驗3.解分式方程2x+1+3x-1=A.方程兩邊分式的最簡公分母是(x-1)(x+1)B.方程兩邊都乘以(x-1)(x+1),得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6C.解這個整式方程,得x=1D.原方程的解為x=1易錯點4列分式方程時方程兩邊的單位不統(tǒng)一4.小明每天乘坐公交車上學(xué),他家與公交站臺相距1.2km.已知小明騎共享單車到公交站臺所花時間比步行到公交站臺少12min,且小明騎共享單車的平均速度是步行平均速度的2.5倍,則小明步行的平均速度是3.6km/h.

方法幫提分特訓(xùn)1.[2021廣西賀州]若關(guān)于x的分式方程m+4x-3=3xx-3A.2 B.3 C.4 D.52.[2021湖北荊州]若關(guān)于x的方程2x+mx-2+x-12-x=3的解是正數(shù),則m的取值范圍為3.[2021江蘇連云港]解方程:x+1x-1-4解:去分母得(x+1)2-4=x2-1,解得x=1.檢驗:當(dāng)x=1時,(x+1)(x-1)=0.故原方程無解.4.[2021湖南株洲]《九章算術(shù)》之“粟米篇”中記載了中國古代的“粟米之法”:“粟率五十,糲米三十……”(粟指帶殼的谷子,糲米指糙米),其意為:“50單位的粟,可換得30單位的糲米……”.問題:有3斗的粟(1斗=10升),若按照此“粟米之法”,則可以換得的糲米為(C)A.1.8升 B.16升 C.18升 D.50升5.[2021山東泰安]接種疫苗是阻斷新型冠狀病毒傳播的有效途徑,針對疫苗急需問題,某制藥廠緊急批量生產(chǎn),計劃每天生產(chǎn)疫苗16萬劑,但受某些因素影響,有10名工人不能按時到廠.為了應(yīng)對新冠肺炎疫情,回廠的工人加班生產(chǎn),由原來每天工作8小時增加到10小時,每人每小時完成的工作量不變,這樣每天只能生產(chǎn)疫苗15萬劑.(1)求該廠當(dāng)前參加生產(chǎn)的工人有多少人.(2)生產(chǎn)4天后,未到的工人同時到崗加入生產(chǎn),每天生產(chǎn)時間仍為10小時.若上級分配給該廠共760萬劑的生產(chǎn)任務(wù),問該廠共需要多少天才能完成任務(wù).解:(1)設(shè)該廠當(dāng)前參加生產(chǎn)的工人有x人,依題意得1600008(x+10)解得x=30,經(jīng)檢驗,x=30是原方程的解,且符合題意.答:該廠當(dāng)前參加生產(chǎn)的工人有30人.(2)每人每小時生產(chǎn)的數(shù)量為16÷8÷40=0.05(萬劑),設(shè)還需要生產(chǎn)y天才能完成任務(wù),依題意得4×15+40×10×0.05×y=760,解得y=35,35+4=39(天).答:該廠共需要39天才能完成任務(wù).真題幫考法1解分式方程1.[2016安徽,5]方程2x+1x-1A.-45 B.452.[2014安徽,13]方程4x-12x-2=3的解是x=考法2分式方程的實際應(yīng)用3.[2013安徽,20]某校為了進(jìn)一步開展“陽光體育”活動,購買了一批乒乓球拍和羽毛球拍.已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍貴20元,購買羽毛球拍的費用比購買乒乓球拍的2000元要多.多出的部分能購買25副乒乓球拍.(1)若每副乒乓球拍的價格為x元,請你用含x的代數(shù)式表示該校購買這批乒乓球拍和羽毛球拍的總費用;(2)若購買的兩種球拍數(shù)一樣,求x.解:(1)購買這批乒乓球拍和羽毛球拍的總費用是(4000+25x)元.(2)由(1)知購買每副乒乓球拍用去了x元,則購買每副羽毛球拍用去了(x+20)元.由題意,得2000x=2000+25解得x1=40,x2=-40(不合題意,舍去).經(jīng)檢驗,x=40是原方程的根,∴x=40.第三節(jié)一元二次方程及其應(yīng)用易錯自糾易錯點1忽視一元二次方程二次項系數(shù)不為01.若方程(m-1)xm2+1-(m+1)x-2=0是一元二次方程,則m的值為-易錯點2誤認(rèn)為關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0一定是一元二次方程2.關(guān)于x的方程(m-2)x2-2x+1=0有實根,則(B)A.m<3 B.m≤3C.m<3且m≠2 D.m≤3且m≠2易錯點3一元二次方程ax2+bx+c=0有2個實數(shù)根時,忽略Δ=0的情況3.方程x2+2x+k=0有2個實數(shù)根,則k的取值范圍是(B)A.k<1 B.k≤1 C.k≤-1 D.k<-1易錯點4直接開平方解一元二次方程時易丟根4.方程4x2+4x+1=9的解為x1=1,x2=-2.

易錯點5方程兩邊同時約去含有未知數(shù)的因式導(dǎo)致漏根5.方程x(x+2)=2(x+2)的根為x1=2,x2=-2.

方法幫提分特訓(xùn)1.[2021山東煙臺]已知關(guān)于x的一元二次方程x2-mnx+m+n=0,其中m,n在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖所示,則這個方程的根的情況是(A)A.有兩個不相等的實數(shù)根 B.有兩個相等的實數(shù)根C.沒有實數(shù)根 D.無法確定2.[2021北京]已知關(guān)于x的一元二次方程x2-4mx+3m2=0.(1)求證:該方程總有兩個實數(shù)根;(2)若m>0,且該方程的兩個實數(shù)根的差為2,求m的值.(1)證明:∵Δ=(-4m)2-4×1×3m2=4m2≥0,∴該方程總有兩個實數(shù)根.(2)由公式法解關(guān)于x的一元二次方程x2-4mx+3m2=0,可得x1=3m,x2=m.∵m>0,∴3m-m=2,∴m=1.3.[2021合肥蜀山區(qū)二模]隨著我國新能源汽車生產(chǎn)技術(shù)水平的不斷提升,市場上某款新能源汽車的價格由今年3月份的270000元/輛下降到5月份的243000元/輛.假設(shè)月降價的百分率保持不變,則預(yù)測到今年7月份該款新能源汽車的價格將會(參考數(shù)據(jù):0.9≈0.95)(A)A.低于22萬元/輛B.低于21.5萬元/輛C.超過22萬元/輛 D.超過23萬元/輛4.[2021山東菏澤]端午節(jié)期間,某水果超市調(diào)查某種水果的銷售情況.下面是調(diào)查員的對話:小王:該水果的進(jìn)價是每千克22元.小李:當(dāng)銷售價為每千克38元時,每天可售出160千克;每千克每降低3元,每天的銷售量將增加120千克.根據(jù)他們的對話,解決下面所給問題:超市每天要獲得銷售利潤3640元,又要盡可能讓顧客得到實惠,求這種水果的銷售價為每千克多少元.解:設(shè)這種水果每千克降價x元,由題意得(38-x-22)(160+x3×120)=整理,得x2-12x+27=0,解得x=3或x=9.∵要盡可能讓顧客得到實惠,∴x=9,∴銷售價為38-9=29(元/千克).答:這種水果的銷售價為每千克29元.真題幫考法1解一元二次方程1.[2019安徽,15]解方程:(x-1)2=4.解:∵(x-1)2=4,∴x-1=±2,∴x1=3,x2=-1.2.[2016安徽,16]解方程:x2-2x=4.解:方程兩邊都加上1,得x2-2x+1=5,即(x-1)2=5,∴x-1=±5,∴x1=1+5,x2=1-5.考法2根的判別式3.[2020安徽,5]下列方程中,有兩個相等實數(shù)根的是(A)A.x2+1=2x B.x2+1=0C.x2-2x=3 D.x2-2x=04.[2018安徽,7]若關(guān)于x的一元二次方程x(x+1)+ax=0有兩個相等的實數(shù)根,則實數(shù)a的值為(A)A.-1 B.1C.-2或2 D.-3或1考法3一元二次方程的實際應(yīng)用5.[2017安徽,8]一種藥品原價每盒25元,經(jīng)過兩次降價后每盒16元,設(shè)兩次降價的百分率都為x,則x滿足(D)A.16(1+2x)=25 B.25(1-2x)=16C.16(1+x)2=25 D.25(1-x)2=16第四節(jié)一元一次不等式(組)及其應(yīng)用考點幫易錯自糾易錯點1當(dāng)不等式兩邊乘(或除以)同一個負(fù)數(shù)時,不等號方向沒有改變致錯1.不等式3-2x≥1的解集是x≤1.

易錯點2列不等式解決實際問題時,未正確理解“至少”“最多”“不超過”2.小明準(zhǔn)備用40元錢購買作業(yè)本和簽字筆.已知每個作業(yè)本6元,每支簽字筆2.2元.小明買了7支簽字筆,他最多還可以買4個作業(yè)本.

真題幫考法1一次不等式(組)及其解法1.[2017安徽,5]不等式4-2x>0的解集在數(shù)軸上表示為(D)ABCD2.[2013安徽,5]已知不等式組x-3>0,x+1≥0,ABCD3.[2018安徽,11]不等式x-82>1的解集是x>104.[2021安徽,15]解不等式:x-13-1>解:移項,得x-13去分母,得x-1>3,所以x>4.5.[2015安徽,16]解不等式:x3>1-x解:不等式兩邊同乘6,得2x>6-(x-3),去括號,得2x>6-x+3,移項、合并同類項,得3x>9,系數(shù)化為1,得x>3.故不等式的解集為x>3.考法2一元一次不等式的實際應(yīng)用6.鏈接第三章第二節(jié)真題幫第3題參考答案

第二章方程(組)與不等式(組)第一節(jié)一次方程(組)及其應(yīng)用【易錯自糾】1.B若ac=bc,當(dāng)c≠0時,a=b;當(dāng)c=0時,a=b不一定成立,故選B.2.B將x=2代入一元一次方程ax-2=b,得2a-2=b,則2a-b=2,∴3b-6a+2=-3(2a-b)+2=-3×2+2=-4.3.A根據(jù)題意,可知x=2滿足2x-1=x+a-1,則3=2+a-1,解得a=2,代入原方程,得2x-13=x+23-1,去分母,得2x-1=x+24.C設(shè)盈利的衣服成本為x元,根據(jù)題意可列方程(1+25%)x=135,解得x=108,135-108=27(元),故盈利27元.設(shè)虧本的衣服成本為y元,根據(jù)題意可列方程(1-25%)y=135,解得y=180,135-180=-45(元).27+(-45)=-18(元),故這次買賣中賠了18元.提分特訓(xùn)1.3將x=2代入4-x2+a=4,得4-22+a=4,解得2~5.略1.D等式兩邊同時乘5,得5b=4a+c,等式兩邊再同時加a-5b-c,得a-c=5a-5b,即a-c=5(a-b).2.D由a-2b+c=0,得a+c=2b,∴a+2b+c=2b+2b=4b<0,∴b<0.b2-ac=(a+c2)2-ac=a2+2ac+3~6.略第二節(jié)分式方程及其應(yīng)用【易錯自糾】1.4將方程化為3(x+1)(x-1)-1x+1=0,方程兩邊同乘以(x+1)(x-1),得3-(x-1)=0,解得x=4.檢驗:當(dāng)x=4時,(x+1)(2.D將原方程兩邊都乘以(x-2),得(1-x)+2(x-2)=-1,解得x=2.檢驗:x=2時,x-2=0,因此x=2是原分式方程的增根,原方程無解.3.D將該分式方程左右兩邊同時乘(x-1)(x+1),得2(x-1)+3(x+1)=6,解這個整式方程,得x=1.檢驗:當(dāng)x=1時,(x-1)(x+1)=0,故x=1不是原分式方程的解,故錯誤的一步是選項D.4.3.6設(shè)小明步行的平均速度是xkm/h,則小明騎共享單車的平均速度是2.5xkm/h,依題意得1.2x-1.22.5x=1260,解得x=3.6.經(jīng)檢驗,x=3.6是所列方程的解,且符合題意提分特訓(xùn)1.D方程兩邊同時乘(x-3),得m+4=3x+2(x-3),解得x=15m+2.∵該方程有增根,∴x-3=0,∴x=3,∴15m+2=3,∴m=2.m>-7且m≠-32x+mx-2+x-12-x=3,方程兩邊同時乘x-2,得2x+m-(x-1)=3(x-2),去括號,得2x+m-x+1=3x-6,移項、合并同類項,得-2x=-7-m,系數(shù)化為1,得x=7+m2,∴7+m3.略4.C根據(jù)題意,得3斗=30升,設(shè)可以換得的糲米為x升,則5030=30x,解得x=18.經(jīng)檢驗,x=5.略1.D去分母,得2x+1=3x-3,解得x=4.檢驗:當(dāng)x=4時,x-1=3≠0,故該分式方程的解是x=4.2.6去分母,可得4x-12=3x-6,移項、合并同類項,可得x=6.檢驗:當(dāng)x=6時,x-2=6-2=4≠0,所以x=6是該分式方程的解.3.略第三節(jié)一元二次方程及其應(yīng)用【易錯自糾】1.-1由題意得m-1≠0,m2+1=2,故m=-1.2.B分兩種情況進(jìn)行討論.當(dāng)m-2=0,即m=2時,(m-2)x2-2x+1=0可化為-2x+1=0,是一元一次方程,有實數(shù)根;當(dāng)m-2≠0,即m≠2時,(m-2)x2-2x+1=0是一元二次方程,若該方程有實數(shù)根,則Δ≥0,即(-2)2-4×(m-2)×1=12-4m≥0,解得m≤3,故m≤3且m≠2.綜上可知m≤3.故選B.3.B∵方程x2+2x+k=0有2個實數(shù)根,∴Δ=22-4k≥0,∴k≤1.4.x1=1,x2=-2原方程可化為(2x+1)2=9,兩邊開平方,