福建省泉州市蓮山中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)的兩個極值點分別是且,記分別以為橫,縱坐標(biāo)的點所表示的平面區(qū)域為,若函數(shù)的圖象上存在區(qū)域內(nèi)的點,則實數(shù)的取值范圍是A.

B.

C.

D.參考答案：B2.已知球的直徑SC=4，A,B是該球球面上的兩點，AB=，，則棱錐S-ABC的體積為（A）

（B）

（C）

（D）1參考答案：C本題主要考查了球與多面體的組合體問題，考查了割補(bǔ)思想在球體積中的應(yīng)用，難度中等.連結(jié)OA、OB，則OA=OB=OS,又，則，，作面OAB，連結(jié)OH，由三余弦定理得：,即，，，點C到平面AOB的距離為，球半徑為2，，因此,則,選C.3.已知a＞0，實數(shù)x，y滿足：，若z=2x+y的最小值為1，則a=（）A．2 B．1 C． D．參考答案：C【考點】簡單線性規(guī)劃．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，通過平移即先確定z的最優(yōu)解，然后確定a的值即可．【解答】解：作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，（陰影部分）由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直線y=﹣2x+z，由圖象可知當(dāng)直線y=﹣2x+z經(jīng)過點C時，直線y=﹣2x+z的截距最小，此時z最小．即2x+y=1，由，解得，即C（1，﹣1），∵點C也在直線y=a（x﹣3）上，∴﹣1=﹣2a，解得a=．故選：C．【點評】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法．4.已知雙曲線與橢圓有共同的焦點，且它的一條漸近線方程為，則這雙曲線的方程為

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：Ｄ5.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的右焦點為F（c，0），圓M：（x﹣a）2+y2=c2，雙曲線以橢圓C的焦點為頂點，頂點為焦點，若雙曲線的兩條漸近線都與圓M相切，則橢圓C的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】由題意可知：雙曲線方程為：（a＞0，b＞0），漸近線方程為y=±x，圓心為（a，0），半徑為c，即d==b，即b=c，a=c，橢圓C的離心率e==．【解答】解：由題意可知：橢圓C：+=1（a＞b＞0），焦點在x軸上，a2=b2+c2，雙曲線以橢圓C的焦點為頂點，頂點為焦點，雙曲線方程為：（a＞0，b＞0），漸近線方程為y=±x，圓M：（x﹣a）2+y2=c2，圓心為（a，0），半徑為c，雙曲線的兩條漸近線都與圓M相切，則圓心到漸近線的距離d=c，即d==b，即b=c，a=c，橢圓C的離心率e==，故選A．【點評】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，考查雙曲線的漸近線方程，點到直線的距離公式，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．6.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（

）A、

B、

C、

D、參考答案：A7.展開式中的常數(shù)項為（）A.-1320

B.1320

C.-220

D.220參考答案：C8.（文）已知斜率為2的直線過拋物線的焦點F，且與軸相交于點A，若△OAF(O為坐標(biāo)原點)的面積為4，則拋物線方程為（

）A．

B．

C．或

D．或參考答案：D9.(理科)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)＋（1＋i）2對應(yīng)的點位于

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：B10.對于三次函數(shù)f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0），定義：設(shè)f″（x）是函數(shù)y＝f′（x）的導(dǎo)數(shù)，若方程f″（x）＝0有實數(shù)解x0，則稱點（x0，f（x0））為函數(shù)y＝f（x）的“拐點”．有同學(xué)發(fā)現(xiàn):“任何一個三次函數(shù)都有‘拐點’；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心；且‘拐點’就是對稱中心．”請你將這一發(fā)現(xiàn)為條件，若函數(shù)g（x）＝x3－x2＋3x－＋，則的值是

（

）

A．2010

B．2011

C．2012

D．2013參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知參考答案：．因為則。

12.關(guān)于的不等式（）的解集為

．參考答案：13.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若BC⊥AC，∠A=，AC=4，AA1=4，M為AA1的中點，點P為BM中點，Q在線段CA1上，且A1Q=3QC．則異面直線PQ與AC所成角的正弦值

．參考答案：考點：異面直線及其所成的角．專題：空間角．分析：以C為原點，CB為x軸，CA為y軸，CC1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線PQ與AC所成角的正弦值．解答： 解：以C為原點，CB為x軸，CA為y軸，CC1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則由題意得A（0，4，0），C（0，0，0），B（4，0，0），M（0，4，2），A1（0，4，4），P（2，2，1），==（0，4，4）=（0，1，1），∴Q（0，1，1），=（0，﹣4，0），=（﹣2，﹣1，0），設(shè)異面直線PQ與AC所成角為θ，cosθ=|cos＜＞|=||=，∴sinθ==．故答案為：．點評：本題考查異面直線PQ與AC所成角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．14.以坐標(biāo)原點O為圓心的圓與拋物線及其準(zhǔn)線分別交于點A，B和C，D，若|AB|=|CD|，則圓O的方程是

．參考答案：設(shè)，圓O半徑為r，則∵，∴A或B的坐標(biāo)為，∴∴，解得，∴圓O的方程為：故答案為：

15.用數(shù)學(xué)歸納法證明“”，在驗證成立時，等號左邊的式子是參考答案：16.已知函數(shù),若數(shù)列{am}滿足,且的前項和為,則=

.參考答案：804217.已知變量x，y滿足約束條件，則的最大值為______________.參考答案：6三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=x2+a（x+lnx），x＞0，a∈R是常數(shù)．（1）求函數(shù)y=f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程；（2）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點都在第一象限，試求常數(shù)a的取值范圍；（3）證明：?a∈R，存在ξ∈（1，e），使f′（ξ）=．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．【專題】計算題；證明題；分類討論；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率和切點，由點斜式方程即可得到切線方程；（2）討論a=0，a＞0，a＜0，運用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以及分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求極值、最值，即可得到a的范圍；（3）設(shè)函數(shù)g（x）=f′（x）﹣=2x﹣（e+1）+﹣，計算g（1），g（e），討論當(dāng)a＞e（e﹣1）2或時，由零點存在定理，即可得證；當(dāng)時，求出g（x）的最小值，判斷它小于0，再由零點存在定理，即可得證．【解答】（1）解：函數(shù)f（x）=x2+a（x+lnx）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=2x+a（1+），f（1）=1+a，f′（1）=2+2a，則函數(shù)y=f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線為y﹣（1+a）=（2+2a）（x﹣1），即y=（1+a）（2x﹣1）；（2）解：①a=0時，f（x）=x2，因為x＞0，所以點（x，x2）在第一象限，依題意，f（x）=x2+a（x+lnx）＞0；②a＞0時，由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)知，x∈（0，1）時，lnx∈（﹣∞，0），alnx∈（﹣∞，0），從而“?x＞0，f（x）=x2+a（x+lnx）＞0”不成立；③a＜0時，由f（x）=x2+a（x+lnx）＞0得，設(shè)，g′（x）=+，x（0，1）1（1，+∞）g′（x）﹣0+g（x）↘極小值↗則g（x）≥g（1）=﹣1，從而，﹣1＜a＜0；綜上所述，常數(shù)a的取值范圍﹣1＜a≤0．（3）證明：直接計算知，設(shè)函數(shù)g（x）=f′（x）﹣=2x﹣（e+1）+﹣，，，當(dāng)a＞e（e﹣1）2或時，＜0，因為y=g（x）的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，所以存在ξ∈（1，e），使g（ξ）=0，即ξ∈（1，e），使f′（ξ）=；當(dāng)時，g（1）、g（e）≥0，而且g（1）、g（e）之中至少一個為正，由均值不等式知，，等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立，所以g（x）有最小值，且，此時存在ξ∈（1，e）（或），使g（ξ）=0．綜上所述，?a∈R，存在ξ∈（1，e），使f′（ξ）=．【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間、極值和最值，同時考查函數(shù)的零點存在定理，以及分類討論的思想方法，屬于綜合題．19.在中,角的對邊分別為且(1)求證：(2)若,求的面積.參考答案：(1)由及正弦定理得:,即整理得:,所以,又所以(2) 由(1)及可得,又所以,所以三角形ABC的面積略20.已知函數(shù)（）．（1）若函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；（2）求證：當(dāng)時，都有．參考答案：（1）函數(shù)的定義域為，∵，∴，∵函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，∴或在上恒成立，①∵，∴，即，，令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，．則在上遞減，上遞增，∴，∴；②∵，∴，即，，由①得在上遞減，上遞增，又，時，∴；綜上①②可知，或；

...............................6分（2）由（1）可知，當(dāng)時，在上遞減，∵，∴，即，∴，要證，只需證，即證，令，，則證，令，則，∴在上遞減，又，∴，即，得證．

...............................12分21.如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，底面梯形ABCD中，AD∥BC，平面SAB⊥平面ABCD，△SAB是等邊三角形，已知，M是SD上任意一點，，且m＞0．（1）求證：平面SAB⊥平面MAC；（2）試確定m的值，使三棱錐S﹣ABC體積為三棱錐S﹣MAC體積的3倍．參考答案：【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；平面與平面垂直的判定．【分析】（1）在△ABC中，由已知可得AB2+AC2=BC2，得到AB⊥AC，再由面面垂直的性質(zhì)可得AC⊥平面SAB，進(jìn)一步得到平面SAB⊥平面MAC；（2）由，可得VS﹣MAC=VM﹣SAC=，轉(zhuǎn)化為三角形的面積比，可得m=2．【解答】（1）證明：在△ABC中，由于，∴AB2+AC2=BC2，故AB⊥AC，又平面SAB⊥平面ABCD，平面SAB∩平面ABCD=AB，AC?平面ABCD，∴AC⊥平面SAB，又AC?平面MAC，故平面SAB⊥平面MAC；（2）解：在△ACD中，∵AD=CD=，AC=4，∴，．又∵，∴VS﹣MAC=VM﹣SAC=，∴=，即m=2．故m的值為2．22.某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米，余下工程只需要建兩端橋墩之間的橋面和橋墩，經(jīng)預(yù)測，一個橋墩的工程費用為256萬元，距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為(2＋)x萬元．假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點，且不考慮其他因素，記余下工程的費用為y萬元．(1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)m＝640米時，需新建多少個橋墩才能使y最小參考答