2022年廣東省湛江市附城中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.一個質(zhì)點從原點出發(fā)，每秒末必須向右、或向左、或向上、或向下跳一個單位長度．則此質(zhì)點在第8秒末到達(dá)點P（4，2）的跳法共有（）A．98 B．448 C．1736 D．196參考答案：B【考點】計數(shù)原理的應(yīng)用．【分析】由題意跳動8次從原點O到P（4，2），可以分為2類，第一類，向右跳了4次，向上跳了3次，向下跳了1次，第二類，向右跳5次，向上跳了2次，向左跳了1次，根據(jù)分類計數(shù)原理即可得到答案．【解答】解：可分二種情況來解．第一類，向右跳了4次，向上跳了3次，向下跳了1次，故有C84C43=280種，第二類，向右跳5次，向上跳了2次，向左跳了1次，故有C85C32=168種，根據(jù)分類計數(shù)原理，共有280+168=448，故選：B．【點評】本題考查了分類計數(shù)計數(shù)原理，關(guān)鍵是分類，屬于中檔題．2.將甲,乙兩名同學(xué)5次物理測驗的成績用莖葉圖表示如圖,若甲,乙兩人成績的中位數(shù)分別是,則下列說法正確的是

A.,乙比甲成績穩(wěn)定

B.;甲比乙成績穩(wěn)定C.;乙比甲成績穩(wěn)定

D.;甲比乙成績穩(wěn)定

參考答案：A略3.在△ABC中，∠A=30°，，BC=1，則△ABC的面積等于(

)A． B． C．或 D．或參考答案：D【考點】正弦定理．【專題】三角函數(shù)的求值．【分析】利用余弦定理列出關(guān)系式，將cosA，a與c的值代入求出b的值，再由于b，c及sinA的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．【解答】解：∵在△ABC中，∠A=30°，AB=c=，BC=a=1，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即1=b2+3﹣3b，解得：b=1或b=2，則S△ABC=bcsinA=或．故選D【點評】此題考查了余弦定理，三角形面積公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．4.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)，既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（

）.

A.

B.

C.

D.參考答案：C略5.下列命題中正確的是（

）A.函數(shù)與互為反函數(shù)B.函數(shù)與都是增函數(shù)C.函數(shù)與都是奇函數(shù)D.函數(shù)與都是周期函數(shù)參考答案：A6.如圖，在直角梯形中，為BC邊上一點，為中點，則（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：C取的中點，連結(jié)，，則，所以，∴＝，于是＝＝，故選C．7.已知，則sin2x的值為(

)

A. B. C. D.參考答案：A8.某綜藝節(jié)目為比較甲、乙兩名選手的各項能力（指標(biāo)值滿分為5分，分值高者為優(yōu)），繪制了如圖所示的六維能力雷達(dá)圖，圖中點A表示甲的創(chuàng)造力指標(biāo)值為4，點B表示乙的空間能力指標(biāo)值為3，則下面敘述正確的是（

）A．乙的記憶能力優(yōu)于甲的記憶能力B．乙的創(chuàng)造力優(yōu)于觀察能力C．甲的六大能力整體水平優(yōu)于乙D．甲的六大能力中記憶能力最差參考答案：C由圖示易知甲的記憶能力指標(biāo)值為，乙的記憶能力指標(biāo)值為4，所以甲的記憶能力優(yōu)于乙，故排除；同理，乙的觀察能力優(yōu)于創(chuàng)造力，故排除；甲的六大能力中推理能力最差，故排除；又甲的六大能力指標(biāo)值的平均值為，乙的六大能力指標(biāo)值的平均值為，所以甲的六大能力整體水平優(yōu)于乙，故選.9.已知橢圓方程為，過橢圓上一點作切線交軸于，過點的另一條直線交軸于，若是以為底邊的等腰三角形，則直線的方程為A．

B．

C．

D．參考答案：B略10.在等比數(shù)列中，若公比，且，，則（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.當(dāng)時，對任意實數(shù)都成立，則實數(shù)的取值范圍是

．參考答案：時成立，當(dāng)時對任意實數(shù)都成立，因為，故當(dāng)時恒成立.所以12.已知二項式的展開式的二項式系數(shù)之和為32,則展開式中含項的系數(shù)是

(用數(shù)字作答).參考答案：1013.已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)>0時,＝1＋，則＝

.參考答案：【知識點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．B4【思路點撥】根據(jù)是奇函數(shù)，故，而可直接代入已知函數(shù)中可求。14.若圓的圓心到直線的距離為,則a的值為參考答案：0或2略15.已知函數(shù)f（x）的定義域為，部分對應(yīng)值如下表．x﹣1045f（x）1221f（x）的導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象如圖所示：下列關(guān)于f（x）的命題：①函數(shù)f（x）是周期函數(shù)；②函數(shù)f（x）在是減函數(shù)；③如果當(dāng)x∈時，f（x）的最大值是2，那么t的最大值為4；④當(dāng)1＜a＜2時，函數(shù)y=f（x）﹣a有4個零點；⑤函數(shù)y=f（x）﹣a的零點個數(shù)可能為0、1、2、3、4個．其中正確命題的序號是

．參考答案：②⑤考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；函數(shù)的周期性；函數(shù)的零點；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．專題：閱讀型．分析：先由導(dǎo)函數(shù)的圖象和原函數(shù)的關(guān)系畫出原函數(shù)的大致圖象，再借助與圖象和導(dǎo)函數(shù)的圖象，對五個命題，一一進行驗證，對于假命題采用舉反例的方法進行排除即可得到答案．解答： 解：由導(dǎo)函數(shù)的圖象和原函數(shù)的關(guān)系得，原函數(shù)的大致圖象可由以下兩種代表形式，如圖：由圖得：①為假命題．函數(shù)f（x）不能斷定為是周期函數(shù)．②為真命題，因為在上導(dǎo)函數(shù)為負(fù)，故原函數(shù)遞減；③為假命題，當(dāng)t=5時，也滿足x∈時，f（x）的最大值是2；④為假命題，當(dāng)a離1非常接近時，對于第二個圖，y=f（x）﹣a有2個零點，也可以是3個零點．⑤為真命題，動直線y=a與y=f（x）圖象交點個數(shù)可以為0、1、2、3、4個，故函數(shù)y=f（x）﹣a的零點個數(shù)可能為0、1、2、3、4個．綜上得：真命題只有②⑤．故答案為：②⑤點評：本題主要考查導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系．二者之間的關(guān)系是：導(dǎo)函數(shù)為正，原函數(shù)遞增；導(dǎo)函數(shù)為負(fù)，原函數(shù)遞減．16.求值=．參考答案：

考點： 三角函數(shù)的化簡求值．專題： 計算題．分析： 利用二倍角公式化簡分母，降次升角，利用誘導(dǎo)公式化簡分子，約分即可．解答： 解：===（﹣2）×=﹣2．故答案為：﹣2．點評： 本題是基礎(chǔ)題，解題的關(guān)鍵所在：分母應(yīng)用二倍角公式：降次升角，考查計算能力．17.矩形中，，，平面，，，分別是，的中點，則四棱錐的外接球表面積為

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知，設(shè)命題P：；命題Q：函數(shù)f（x）＝3x2＋2mx＋m＋有兩個不同的零點．求使命題“P或Q”為真命題的實數(shù)的取值范圍．參考答案：解：對P：，即2≤m≤8對Q:由已知得f（x）＝3x2＋2mx＋m＋＝0的判別式Δ＝4m2－12（m＋）＝4m2－12m－16>0，得m<－1或m>4．

所以，要使“P或Q”為真命題，只需求其反面，P假且Q假，即 實數(shù)m的取值范圍是略19.已知四棱柱的底面是邊長為的菱形，且，平面，，設(shè)為的中點（1）求證：平面（2）點在線段上，且平面，求平面和平面所成銳角的余弦值．參考答案：（1）證明略；（2）試題解析：（1）證明：由已知該四棱柱為直四棱柱，且為等邊三角形，所以平面，而平面，故因為的三邊長分別為，故為等腰直角三角形所以，結(jié)合知：平面（2）解：取中點，則由為等邊三角形知，從而以為坐標(biāo)軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系此時,，設(shè)由上面的討論知平面的法向量為由于平面，故平面故，故設(shè)平面的法向量為，由知，取，故設(shè)平面和平面所成銳角為，則即平面和平面所成銳角的余弦值為考點：線面垂直；二面角.20.如圖，多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為菱形，且∠DAB=60°，EF∥AC，AD=2，EA=ED=EF=．（Ⅰ）求證：AD⊥BE；（Ⅱ）若BE=，求三棱錐F﹣BCD的體積．參考答案：【考點】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積；LX：直線與平面垂直的性質(zhì)．【分析】解法一：（Ⅰ）取AD中點O，連結(jié)EO，BO．證明EO⊥AD．BO⊥AD．說明AD⊥平面BEO，即可證明AD⊥BE．（Ⅱ）證明EO⊥OB，然后證明EO⊥平面ABCD．通過VF﹣BCD=VE﹣BCD求解即可．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）證明EO⊥OB，利用AD⊥平面EOB，以及VF﹣BCD=VE﹣BCD=VE﹣ABD求解即可．【解答】解法一：（Ⅰ）如圖，取AD中點O，連結(jié)EO，BO．∵EA=ED，∴EO⊥AD．…（1分）∵四邊形ABCD為菱形，∴AB=AD，又∠DAB=60°，∴△ABD為等邊三角形，∴BA=BD，∴BO⊥AD．（3分）∵BO∩EO=O，BO?平面BEO，EO?平面BEO，∴AD⊥平面BEO，∵BE?平面BEO，∴AD⊥BE．（6分）（Ⅱ）在△EAD中，，AD=2，∴，∵△ABD為等邊三角形，∴AB=BD=AD=2，∴．（7分）又，∴EO2+OB2=BE2，∴EO⊥OB，（8分）∵AD∩OB=O，AD?平面ABCD，BO?平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD．（9分）又，（10分）∴．又∵EF∥AC，∴VF﹣BCD=VE﹣BCD（11分）=．（12分）解法二：（Ⅰ）同解法一．（6分）（Ⅱ）在△EAD中，，AD=2，∴，∵△ABD為等邊三角形，∴AB=BD=AD=2，∴．（7分）又，∴EO2+OB2=BE2，∴EO⊥OB，（8分）所以．（9分）又S△BCD=S△ABD，EF∥AC，AD⊥平面EOB，∴VF﹣BCD=VE﹣BCD=VE﹣ABD（10分）=．（12分）【點評】本題主要考查空間直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系及幾何體的體積等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等．21.已知橢圓的右頂點為A，上頂點為B，離心率，O為坐標(biāo)原點，圓與直線AB相切.（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）已知四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓E，AB∥DC.記直線AC，BD的斜率分別為，試問是否為定值？證明你的結(jié)論.參考答案：解：（Ⅰ）直線的方程為，即，由圓與直線相切，得，即①.設(shè)橢圓的半焦距為，則，所以②.由①②得，.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

……4分（Ⅱ）為定值，證明過程如下：由（Ⅰ）得直線的方程為，故可設(shè)直線的方程為，顯然.設(shè)，.聯(lián)立消去得，則有.由，，則.…………12分

22.（本小題滿分12分）某校高二年級共有學(xué)生1000名,其中走讀生750名,住宿生250名,現(xiàn)從該年級采用分層抽樣的方法從該年級抽取n名學(xué)生進行問卷調(diào)查.根據(jù)問卷取得了這n名同學(xué)每天晚上有效學(xué)習(xí)時間(單位:分鐘)的數(shù)據(jù),按照以下區(qū)間分為八組①[0,30),②[30,60),③[60,90),④[90,120),⑤[120,150),⑥[150,180),⑦[180,210),⑧[210,240),得到頻率分布直方圖如下.已知抽取的學(xué)生中每天晚上有效學(xué)習(xí)時間少于60分鐘的人數(shù)為5人；（1）求n的值并補全下列頻率分布直方圖；（2）如果把“學(xué)生晚上有效時間達(dá)到兩小時”作為是否充分利用時間的標(biāo)準(zhǔn)，對抽取的n名學(xué)生，完成下列2×2列聯(lián)表：

利用時間充分利用時間不充分總計走讀生502575住宿生101525總計6040100是否有95%的把握認(rèn)為學(xué)生利用時間是否充分與走讀、住宿有關(guān)？參考公式：參考列表：0.500.400.250.150.100.050.0250.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024（3）若在第①組、第②組、第⑦組、第⑧組中共抽出3人調(diào)查影響有效利用時間的原因，記抽到“有效學(xué)習(xí)時間少于60分鐘”的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列及期望；參考答案：解：（1）設(shè)第i組的頻率為Pi（i=1,2,…,8),則由圖可知：P1=×30=,P2=×30=∴學(xué)習(xí)時間少于60鐘的頻率為：P1+P2=

由題n×=5∴n=100…(2分)又P3=×30=,P5=×30=,P6=×30=,P7=×30=,P8=×30=,∴P4=1-(P1+P2+P3+P5+P6+P7+P8)=1-=1-=第④組的高度h=×==

頻率分布直方圖如圖：（未標(biāo)