2022-2023學(xué)年湖南省婁底市長沙鐵路總公司鐵路中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.關(guān)于x的方程，給出下列四個命題：

①存在實數(shù)，使得方程恰有2個不同的實根；

②存在實數(shù)，使得方程恰有4個不同的實根；

③存在實數(shù)，使得方程恰有5個不同的實根；

④存在實數(shù)，使得方程恰有8個不同的實根；

其中假命題的個數(shù)是

（）

A．0

B．1

C．2

D．3參考答案：A2.已知函數(shù)，給出下列四個命題，其中正確的命題為

（

）①若②的最小正周期是；③在區(qū)間上是增函數(shù)；④的圖象關(guān)于直線對稱；⑤當(dāng)時，的值域為

A．①②④

B．③④⑤

C．②③

D．③④參考答案：D3.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且滿足f(x)＝2xf′(1)＋lnx，則f′(1)＝（

）A．－e

B．－1

C．1

D．e參考答案：B略4.設(shè)函數(shù)，則y=﹣f（x）的圖象大致是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】函數(shù)的圖象．【分析】根據(jù)函數(shù)定義域，單調(diào)性進行判斷．【解答】解：y=﹣f（x）=﹣+1，∴函數(shù)的定義域為[0，+∞），且在定義域上單調(diào)遞減，故選B．5.若集合是函數(shù)的定義域，是函數(shù)的定義域，則等于(

)

A．

B．

C．

D．

參考答案：A6.已知數(shù)列的前n項和,則此數(shù)列奇數(shù)項的前n項和為(A.

B.

C.

D.(參考答案：C7.集合則下列結(jié)論正確的是（）

A．

B．

C．

D．參考答案：D略8.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A．8+π B．8+π C．8+π D．8+3π參考答案：C【考點】由三視圖求面積、體積．【分析】由已知中的三視圖可得，該幾何體是兩個半徑為1的半球，一個棱長為2的正方體以及兩個半圓柱組成，即可求出幾何體的體積．【解答】解：由已知中的三視圖可得，該幾何體是兩個半徑為1的半球，一個棱長為2的正方體以及兩個半圓柱組成，體積為+π×12×2=8+π．故選：C．9.對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y，有一組觀測數(shù)據(jù)(，)(i=1，2，…，8)，其回歸直線方程是：，且，則實數(shù)a的值是A．

B．

C．

D．

參考答案：B10.已知，且，則A.

B.

C.

D.參考答案：【知識點】同角三角函數(shù)基本關(guān)系；和差角公式

C2

C5

C6【答案解析】A

解析：，，

，

根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式可得：

故選：A【思路點撥】利用和角的正切公式，化簡可求的值，幾何已知角是范圍和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求出，化簡所求式子，代入計算即可。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（4分）一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：m），則這個幾何體的體積為m3．參考答案：4【考點】：由三視圖求面積、體積．【專題】：立體幾何．【分析】：由題意可知，一個簡單的組合體，上面是一個底面是邊長為1的正方形，高是2的四棱柱，下面是一個長為2，高為1，寬為1的長方體，根據(jù)所給的長度，求出幾何體的體積．解：由三視圖可知，這是一個簡單的組合體，上面是一個底面是邊長為1的正方形，高是2的四棱柱，體積是1×1×2下面是一個長為2，高為1，寬為1的長方體，體積是1×1×2∴幾何體的體積是1×1×2+2×1×1=4m3，故答案為：4【點評】：本題考查由三視圖還原直觀圖，根據(jù)圖形中所給的數(shù)據(jù)，求出要求的體積，本題是一個考查簡單幾何體體積的簡單題目．12.在中，已知=1，則面積的最大值是

。參考答案：13.三角形，則

參考答案：6略14.=___.___.參考答案：.15.若則__________.參考答案：

16.有下列命題：①函數(shù)y＝cos(x－)cos(x＋)的圖象中，相鄰兩個對稱中心的距離為π；②函數(shù)的圖象關(guān)于點(－1,1)對稱；③關(guān)于x的方程ax2－2ax－1＝0有且僅有一個實數(shù)根，則實數(shù)a＝－1；④已知命題p：對任意的x∈R，都有sinx≤1，則非p：存在x∈R，使得sinx>1．其中所有真命題的序號是________．參考答案：③；④①函數(shù)y＝cos(x－)cos(x＋)＝cos2x，相鄰兩個對稱中心的距離為d＝＝，故①不正確；②函數(shù)y＝的圖象對稱中心應(yīng)為(1,1)，故②不正確；③正確；④正確．17.當(dāng)時，4x＜logax，則a的取值范圍．參考答案：【考點】指、對數(shù)不等式的解法．【分析】若當(dāng)時，不等式4x＜logax恒成立，則在時，y=logax的圖象恒在y=4x的圖象的上方，在同一坐標(biāo)系中，分析畫出指數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象，分析可得答案．【解答】解：當(dāng)時，函數(shù)y=4x的圖象如下圖所示若不等式4x＜logax恒成立，則y=logax的圖象恒在y=4x的圖象的上方（如圖中虛線所示）∵y=logax的圖象與y=4x的圖象交于（，2）點時，a=故虛線所示的y=logax的圖象對應(yīng)的底數(shù)a應(yīng)滿足＜a＜1故答案為：（，1）三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓C的左、右焦點分別為（﹣）、（），且經(jīng)過點（）．（I）求橢圓C的方程：（II）直線y=kx（k∈R，k≠0）與橢圓C相交于A，B兩點，D點為橢圓C上的動點，且|AD|=|BD|，請問△ABD的面積是否存在最小值？若存在，求出此時直線AB的方程：若不存在，說明理由．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】（I）由橢圓的焦點在x軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（a＞b＞0），則c=，b2=a2﹣c2=3，將點（）代入橢圓方程：，即可求得a和b的值，求得橢圓C的方程：（II）D在AB的垂直平分線上，OD：，將直線方程代入橢圓方程求得（1+4k2）x2=4，則|AB|=2|OA|=4，|OC|=2，可知S△ABC=2S△OAC=|OA|×|OC|=，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)可知：，因此S△ABC=2S△OAC≥，即可求得直線AB的方程．【解答】解：（I）由題意可知：橢圓的焦點在x軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（a＞b＞0），則c=，b2=a2﹣c2=3，將點（）代入橢圓方程：，即，解得：a2=4，b2=1，∴橢圓C的方程：…（II）D在AB的垂直平分線上，∴OD：．…由，可得（1+4k2）x2=4，|AB|=2|OA|=2=4，…同理可得|OC|=2，…則S△ABC=2S△OAC=|OA|×|OC|=．…由于，…∴S△ABC=2S△OAC≥，當(dāng)且僅當(dāng)1+4k2=k2+4（k＞0），即k=1時取等號．∴△ABD的面積取最小值，直線AB的方程為y=x．…19.四邊形ABCD中,,，，

（1）若,試求與滿足的關(guān)系式

（2）在滿足（1）的同時，若,求與的值以及四邊形ABCD的面積參考答案：解析：（1）由已知可得，，若，可知即（2）由已知可得，由可得（3）由（1）（2）可得

①

②由①②聯(lián)立可得易求得>0所以兩條曲線相交。另解：的圓心（-2,1）到直線的距離，所以兩條曲線相交原編題（2）在滿足（1）的同時，若,求與的值以及四邊形ABCD的面積由（1）可知所以或當(dāng)時，，由可得=16當(dāng)時，，由可得=16綜上可知=20.如圖，已知直線L：x=my+1過橢圓C：+=1（a＞b＞0）的右焦點F，且交橢圓C于A、B兩點，點A、F、B在直線G；x=a2上的射影依次為點D、K、E，若拋物線x2=4y的焦點為橢圓C的頂點．（1）求橢圓C的方程；（2）若直線L交y軸于點M，=λ1，=λ2，當(dāng)M變化時，求λ1+λ2的值．參考答案：解：(1)易知,,,..(2),設(shè),則由可得:，故..又由得..同理..本試題主要考查同學(xué)們能利用圓錐曲線的性質(zhì)求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及利用直線與橢圓的位置關(guān)系聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達定理，表示向量的坐標(biāo)，進而消去參數(shù)求解定值數(shù)學(xué)思想。21.如圖甲，⊙O的直徑AB=2，圓上兩點C，D在直徑AB的兩側(cè)，且∠CBA=∠DAB=．沿直徑AB折起，使兩個半圓所在的平面互相垂直（如圖乙），F(xiàn)為BC的中點，E為AO的中點．根據(jù)圖乙解答下列各題：（Ⅰ）求證：CB⊥DE；（Ⅱ）求三棱錐C﹣BOD的體積；（Ⅲ）在劣弧上是否存在一點G，使得FG∥平面ACD？若存在，試確定點G的位置；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面平行的性質(zhì)．【專題】綜合題；空間位置關(guān)系與距離．【分析】（Ⅰ）利用等邊三角形的性質(zhì)可得DE⊥AO，再利用面面垂直的性質(zhì)定理即可得到DE⊥平面ABC，進而得出結(jié)論．（Ⅱ）由（Ⅰ）知DE⊥平面ABC，利用轉(zhuǎn)換底面的方法，即可求三棱錐的體積；（Ⅲ）存在，G為劣弧的中點．連接OG，OF，F(xiàn)G，通過證明平面OFG∥平面ACD，即可得到結(jié)論．【解答】（Ⅰ）證明：在△AOD中，∵，OA=OD，∴△AOD為正三角形，又∵E為OA的中點，∴DE⊥AO…∵兩個半圓所在平面ACB與平面ADB互相垂直且其交線為AB，∴DE⊥平面ABC．

…又CB?平面ABC，∴CB⊥DE．

…5分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知DE⊥平面ABC，∴DE為三棱錐D﹣BOC的高．∵D為圓周上一點，且AB為直徑，∴，在△ABD中，由AD⊥BD，，AB=2，得AD=1，．

…∵，∴==．

…（Ⅲ）解：存在滿足題意的點G，G為劣弧的中點．

…證明如下：連接OG，OF，F(xiàn)G，易知OG⊥BD，又AD⊥BD∴OG∥AD，∵OG?平面ACD，∴OG∥平面ACD．

…在△ABC中，O，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，∴OF∥AC，OF?平面ACD，∴OF∥平面ACD，…∵OG∩OF=O，∴平面OFG∥平面ACD．又FG?平面OFG，∴FG∥平面ACD．

…【點評】本題考查線線、線面、面面關(guān)系，考查線線垂直的判定、面面垂直的性質(zhì)、線面平行的判定及幾何體高與體積的計算，考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力及分析探究問題和解決問題的能力．22.（本題滿分14分）如圖，在梯形中，，，四邊形為矩形，平面平面，.（I）求證：平面；（II）點在線段上運動，設(shè)平面與平面所成二面角的平面角為，試求的取值范圍.

參考答案：（I）證明：在梯形中，∵,，∠＝，∴

…2分∴∴∴⊥

…4分∵

平面⊥平面,平面∩平面,平面∴

⊥平面

…6分（II）解法一：由（I）可建立分別以直線為的如圖所示空間直角坐標(biāo)系，令，則，∴

…………8分設(shè)為平面MAB的一個法向量，由得

取，則，…………10分

∵是平面FCB的一個法向量

∴

………12分

∵

∴當(dāng)時，有最小值，

當(dāng)時，有最大值。

∴

…14分

解法二：①當(dāng)與重合時，取中點為，連結(jié)

∵

,∴

∴⊥

∵

∴⊥

∴

∠=∵

⊥

∴

∴,

∴…8分…②當(dāng)與重合時，過,連結(jié)，則平面∩平面＝,∵

⊥，又∵⊥∴

⊥平面∴

⊥平面∴∠＝∴=,∴=

…10分③當(dāng)與都不重合時，令延長交的延長線于,連結(jié)

∴在平面與平面的交線上

∵

在平面與平面的