2022-2023學(xué)年湖南省衡陽(yáng)市集兵中學(xué)高二數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在極坐標(biāo)系中，若圓的方程為，則圓心的極坐標(biāo)是（

）A．B．C．（1,π）D．（1,0）參考答案：D2.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且則等于（）

A．4

B．2

C．1

D．-2參考答案：A3.用三段論推理：“指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，因?yàn)槭侵笖?shù)函數(shù)，所以是增函數(shù)”，你認(rèn)為這個(gè)推理

()A．大前提錯(cuò)誤

B.小前提錯(cuò)誤

C．推理形式錯(cuò)誤

D．是正確的參考答案：A4.下列向量組中,能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底的是（

）.A.，

B.，C.，

D.，參考答案：D5.在空間中，可以確定一個(gè)平面的條件是（）A．一條直線B．不共線的三個(gè)點(diǎn)C．任意的三個(gè)點(diǎn)D．兩條直線參考答案：B略6.下列四個(gè)命題中，正確的有（）①兩個(gè)變量間的相關(guān)系數(shù)r越小，說(shuō)明兩變量間的線性相關(guān)程度越低；②命題“?x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“對(duì)?x∈R，均有x2+x+1＞0”；③命題“p∧q為真”是命題“p∨q為真”的必要不充分條件；④若函數(shù)f（x）=x3+3ax2+bx+a2在x=﹣1有極值0，則a=2，b=9或a=1，b=3．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)參考答案：A【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義可知①錯(cuò)誤；根據(jù)特稱(chēng)命題（又叫存在性命題）的否定可知②錯(cuò)誤；根據(jù)真值表即可判斷“p∧q為真”是命題“p∨q為真”的充分不必要條件，故③錯(cuò)誤；由條件可得，f（﹣1）=0，f'（﹣1）=0，解得a=2，b=9或a=1，b=3，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a=1，b=3時(shí)，f'（x）=3x2+6x+3=3（x+1）2≥0恒成立，此時(shí)f（x）沒(méi)有極值點(diǎn)，故④錯(cuò)誤．【解答】解：對(duì)于①：相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越趨近于1，相關(guān)性越強(qiáng)；越趨近于0，相關(guān)性越弱，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②：命題“?x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“對(duì)?x∈R，均有x2+x+1≥0”，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：若p∧q為真，則p、q均為真命題，此時(shí)p∨q為真，故命題“p∧q為真”是命題“p∨q為真”的充分條件，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④：f'（x）=3x2+6ax+b，因?yàn)閒（x）在x=﹣1有極值0，故，解得經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a=2，b=9時(shí)，f'（x）=3x2+12x+9=3（x+1）（x+3），此時(shí)f（x）在x=﹣1處取得極小值，符合條件；當(dāng)a=1，b=3時(shí)，f'（x）=3x2+6x+3=3（x+1）2≥0恒成立，此時(shí)f（x）沒(méi)有極值點(diǎn)，故不符合條件；所以a=2，b=9．故④錯(cuò)誤．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】考查了相關(guān)系數(shù)的概念，特稱(chēng)命題的否定，復(fù)合命題的真值表以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，對(duì)第四個(gè)命題中利用導(dǎo)數(shù)求出a，b的值后需進(jìn)行檢驗(yàn)．7.右面的程序框圖表示求式子×××××的值,則判斷框內(nèi)可以填的條件為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B

8.命題:“x∈R,”的否定是(

)A.x∈R,

B.x∈R,C.x∈R, D.x∈R,參考答案：C略9.如圖，已知六棱錐的底面是正六邊形，則下列結(jié)論正確的是（

）

A.

B.

C.直線∥

D.直線所成的角為45°參考答案：D略10.若直線與平面、、滿(mǎn)足∥，，則有（

）

A．∥且

B．⊥且

C．⊥且∥

D．∥且⊥參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若則自然數(shù)_____.參考答案：

解析：

12.觀察下列一組等式：①sin2300+cos2600+sin300cos600=，②sin2150+cos2450+sin150cos450=，③sin2450+cos2750+sin450cos750=，……，

那么，類(lèi)比推廣上述結(jié)果，可以得到的一般結(jié)果是：__

_____.參考答案：13.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為（），關(guān)于數(shù)列有下列三個(gè)命題：①若，則既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列；②若，則是等差數(shù)列；③若，則是等比數(shù)列。這些命題中，真命題的序號(hào)是

參考答案：②③14.已知一圓柱內(nèi)接于球O，且圓柱的底面直徑與母線長(zhǎng)均為2，則球O的表面積為_(kāi)___________。參考答案：略15.已知點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為▲。參考答案：

16.某市某種類(lèi)型的出租車(chē)，規(guī)定3千米內(nèi)起步價(jià)8元（即行程不超過(guò)3千米，一律收費(fèi)8元），若超過(guò)3千米，除起步價(jià)外，超過(guò)部分再按1.5元／千米計(jì)價(jià)收費(fèi)，若乘客與司機(jī)約定按四舍五入以元計(jì)費(fèi)不找零，下車(chē)后乘客付了16元，則乘車(chē)?yán)锍痰姆秶?/p>

．參考答案：解析：付款16元，肯定超出了3千米，設(shè)行程x千米，則應(yīng)該付款8＋1,5(x-3)∵四舍五入∴15.5≤8＋1.5(x-3)<16.5解得8≤x<8。17.二維空間中圓的一維測(cè)度（周長(zhǎng)）l=2πr，二維測(cè)度（面積）S=πr2，觀察發(fā)現(xiàn)S′=l；三維空間中球的二維測(cè)度（表面積）S=4πr2，三維測(cè)度（體積）V=πr3，觀察發(fā)現(xiàn)V′=S．則四維空間中“超球”的三維測(cè)度V=8πr3，猜想其四維測(cè)度W=

．參考答案：2πr4【考點(diǎn)】F3：類(lèi)比推理．【分析】根據(jù)所給的示例及類(lèi)比推理的規(guī)則得出高維的測(cè)度的導(dǎo)數(shù)是底一維的測(cè)度，從而得到W′=V，從而求出所求．【解答】解：∵二維空間中圓的一維測(cè)度（周長(zhǎng)）l=2πr，二維測(cè)度（面積）S=πr2，觀察發(fā)現(xiàn)S′=l三維空間中球的二維測(cè)度（表面積）S=4πr2，三維測(cè)度（體積）V=πr3，觀察發(fā)現(xiàn)V′=S∴四維空間中“超球”的三維測(cè)度V=8πr3，猜想其四維測(cè)度W，則W′=V=8πr3；∴W=2πr4；故答案為：2πr4三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖，直角三角形ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)A（﹣2，0），直角頂點(diǎn)，頂點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)P為線段OA的中點(diǎn)．（Ⅰ）求BC邊所在直線方程；（Ⅱ）圓M是△ABC的外接圓，求圓M的方程．參考答案：【考點(diǎn)】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（Ⅰ）求出，運(yùn)用直線方程的點(diǎn)斜式列式，再化簡(jiǎn)即可得到直線BC方程；（Ⅱ）根據(jù)A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)算出AC中點(diǎn)M坐標(biāo)為（1，0），而圓M的半徑R=|AC|=3，利用圓方程的標(biāo)準(zhǔn)形式即可寫(xiě)出圓M的方程為（x﹣1）2+y2=9．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴；

∴直線BC的方程是y=x﹣2﹒（Ⅱ）由（Ⅰ）可得C（4，0），∴圓心M（1，0），∴圓M的方程是：（x﹣1）2+y2=9﹒19.已知數(shù)列中，，其前項(xiàng)和滿(mǎn)足．（Ⅰ）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（Ⅲ）設(shè)（為非零整數(shù)，），試確定的值，使得對(duì)任意，有恒成立．參考答案：解:（Ⅰ）證明：由已知，,即（n≥2，n∈N*），且．∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，∴．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，設(shè)它的前n項(xiàng)和為∴兩式相減可得：所以（Ⅲ）解：∵，∴，要使恒成立，則恒成立∴恒成立，∴恒成立．（ⅰ）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，即λ＜恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)，有最小值為1，∴λ＜1．（ⅱ）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，即λ＞﹣恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)，﹣有最大值﹣2，∴λ＞﹣2．即﹣2＜λ＜1，又λ為非零整數(shù)，則λ=﹣1．綜上所述，存在λ=﹣1，使得對(duì)任意n∈N*，都有．略20.（本小題滿(mǎn)分12分）已知二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值成等差數(shù)列．（I）求展開(kāi)式的第四項(xiàng)；（II）求展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng).參考答案：解：因?yàn)榈谝弧⒍?、三?xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值分別為、、，

所以+=，即.

解得.

………….4分（I）第四項(xiàng)；….7分（II）通項(xiàng)公式為=，

令，得.

………….10分

所以展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.

…………….12分略21.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，，AD=AC=2，O為AC的中點(diǎn)，PO⊥平面ABCD，PO=2，M為PD的中點(diǎn),(1)證明：AD⊥平面PAC;(2)求直線AM與平面ABCD所成角的正弦值.參考答案：略22.設(shè)，其中.（1）證明：，其中；（2）當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)：；（3）當(dāng)時(shí)，記，，試比較與的大小.參考答案：（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析【分析】（1）直接將排列數(shù)用階乘表示，化簡(jiǎn)整理即可.（2）求出q＝1時(shí)的，證明，代入原式即可求得答案；（3）當(dāng)q＝n時(shí)，，可得，則，令x＝1，得．方法一、利用數(shù)學(xué)歸納法證明An與Bn的大小；方法二、設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，由單調(diào)性即可比較An與Bn的大小．【詳解】（1），其中.（2）當(dāng)時(shí)，由（1）結(jié)論可得所以原式.（3）【解法一】當(dāng)時(shí)，，所以，所以，令，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即.下面先用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，，（☆）①當(dāng)時(shí)，，（☆）式成立；②假設(shè)時(shí)，（☆）式成立，即，則時(shí)，（