6.4.1平面幾何中的向量方法一、教學(xué)目標(biāo)1.會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題2.體會(huì)向量在解決幾何問(wèn)題中的作用3.通過(guò)對(duì)用向量法解決平面幾何問(wèn)題的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)素養(yǎng)二、教學(xué)重點(diǎn)用向量方法解決幾何問(wèn)題的基本方法：向量法解決幾何問(wèn)題的“三步曲”教學(xué)難點(diǎn)能夠?qū)缀螁?wèn)題轉(zhuǎn)化為平面向量問(wèn)題三、教學(xué)過(guò)程1、復(fù)習(xí)回顧問(wèn)題1：（1）平面兩個(gè)向量的數(shù)量積：（2）向量平行的判定:（3）向量平行與垂直的判定:（4）平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式：（其中，）（5）求模：；；問(wèn)題2：平面幾何元素及其表示與向量及其運(yùn)算的轉(zhuǎn)化幾何元素及其表示向量及其運(yùn)算點(diǎn)A線段AB，AB兩點(diǎn)距離夾角∠AOB直線a//ba//b直線A、B、C三點(diǎn)共線直線a⊥ba⊥ba·b＝02、探索新知【例1】如圖，三角形ABC中，D為AB的中點(diǎn)，E為AC的中點(diǎn)，求證：DE∥BC，DE=12證明：如圖，因?yàn)镈E是△ABC的中位線，所以QUOTE????=12????AD=12AB，QUOTE????=1從而QUOTE????=?????????=12?????12????=所以QUOTE????=12????DE=12BC于是DE∥BC，DE=12BC【例2】如圖,在平行四邊形ABCD中,你能發(fā)現(xiàn)對(duì)角線AC與DB的長(zhǎng)度和鄰邊AB與AD長(zhǎng)度之間的關(guān)系嗎?解：方法一：第一步，建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題：如圖，取QUOTE為基底，設(shè)QUOTE????=??，????=??AB=a，AD=b，則QUOTE????=??+??AC=a+第二步，通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系：QUOTE????2=(??+??)2=??2+2上面兩式相加，得QUOTE????2+????2=第三步，把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系：QUOTE????2+????2=2(方法二：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系方法規(guī)律：1、用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題(2)通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問(wèn)題(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系2、用向量證明平面幾何問(wèn)題的兩種基本思路及步驟(1)利用線性運(yùn)算證明的四個(gè)步驟：①選取基底②用基底表示相關(guān)向量③利用向量的線性運(yùn)算或數(shù)量積找出相應(yīng)關(guān)系④把幾何問(wèn)題向量化.(2)利用坐標(biāo)運(yùn)算證明的四個(gè)步驟：①建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系②把相關(guān)向量坐標(biāo)化③用向量的坐標(biāo)運(yùn)算找出相應(yīng)關(guān)系④把幾何問(wèn)題向量化四、課堂練習(xí)P39練習(xí)1、所示，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，求證：AF⊥DE.解：（基底法）設(shè)AD＝a，AB＝b，則|a|＝|b|，a·b＝0又DE＝DA＋AE＝－a＋eq\f(b,2)，AF＝AB＋BF＝b＋eq\f(a,2)所以AF·DE＝(b＋eq\f(a,2))·(－a＋eq\f(b,2))＝－eq\f(1,2)a2－eq\f(3,4)a·b＋eq\f(b2,2)＝－eq\f(1,2)|a|2＋eq\f(1,2)|b|2＝0故AF⊥DE，即AF⊥DE.（坐標(biāo)法）如圖建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2則A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(xiàn)(2,1)，所以AF＝(2,1)，DE＝(1，－2)因?yàn)锳F·DE＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0所以AF⊥DE，即AF⊥DE五、課堂小結(jié)1、向量方法解決平面幾何問(wèn)題“三步曲”2、向量的線性運(yùn)算法（基底法）的四個(gè)步驟：①選取基底②用基底表示相關(guān)向量③利用向量的線性運(yùn)算或數(shù)量積找相應(yīng)關(guān)系④把幾何問(wèn)題向量化向量的坐