東北師大附中2022—2023學(xué)年下學(xué)期第七次模擬考試高三年級(jí)數(shù)學(xué)試卷試卷滿(mǎn)分：150分考試時(shí)長(zhǎng)：120分鐘注意事項(xiàng)：1．答題前，考生請(qǐng)務(wù)必用黑色字跡的簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”．2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能只答在試卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡的簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無(wú)效．4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足(其中為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.3.若，則（）A. B. C. D.4.酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為．為了保障交通安全，根據(jù)國(guó)家有關(guān)規(guī)定：100mL血液中酒精含量達(dá)到20~79mg的駕駛員即為酒后駕車(chē)，80mg及以上認(rèn)定為醉酒駕車(chē)．假設(shè)某駕駛員喝了一定量酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量會(huì)以每小時(shí)20%的速度減少，那他至少經(jīng)過(guò)（）小時(shí)才能駕駛．（參考數(shù)據(jù)）A.5 B.6 C.7 D.85.在矩形中，與相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于，則（）A. B. C. D.6.現(xiàn)有一個(gè)軸截面是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形的倒置圓錐（頂點(diǎn)在下方，底面在上方），將半徑為的小球放入圓錐，使得小球與圓錐的側(cè)面相切，過(guò)所有切點(diǎn)所在平面將圓錐分割成兩個(gè)部分，則分割得到的圓臺(tái)的側(cè)面積為（）A. B. C. D.7.已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分為，，左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)M，N在y軸上，且滿(mǎn)足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．直線(xiàn)，與C的左、右支分別交于另外兩點(diǎn)P，Q，若四邊形為矩形，且P，N，三點(diǎn)共線(xiàn)，則C的離心率為（）A.3 B.2 C. D.8.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋沂瞧婧瘮?shù)，是偶函數(shù)，設(shè)函數(shù)．若對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知的最小正周期為，則下列說(shuō)法正確的有（）A.B.函數(shù)在上為增函數(shù)C.直線(xiàn)是函數(shù)圖象一條對(duì)稱(chēng)軸D.是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心10數(shù)列首項(xiàng)，對(duì)一切正整數(shù)，都有，則（）A.數(shù)列是等差數(shù)列B.對(duì)一切正整數(shù)都有C.存在正整數(shù)，使得D.對(duì)任意小的正數(shù)，存在，使得11.已知圓的圓心在直線(xiàn)上，且與相切于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條互相垂直的弦，記線(xiàn)段的中點(diǎn)分別為，則下列結(jié)論正確的是（）A.圓的方程為 B.四邊形面積的最大值為C.弦的長(zhǎng)度的取值范圍為 D.直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)12.如圖，平面四邊形中，是等邊三角形，且，是將翻折，折成三棱錐，在翻折過(guò)程中，下列結(jié)論正確的是（）A.存在某個(gè)位置，使得與所成角銳角B.棱上總會(huì)有一點(diǎn)，使得平面C.當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，D.當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐的外接球的表面積是三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知的展開(kāi)式中第3項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)__________.14.已知隨機(jī)變量，則的最小值為_(kāi)__________．15.已知斜率為的動(dòng)直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，則的軌跡長(zhǎng)度為_(kāi)________．16.設(shè)函數(shù)，若不等式有且只有兩個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知中角的對(duì)邊分別為，．（1）求；（2）若，且的面積為，求周長(zhǎng)．18.已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．19.如圖，在四面體中，．點(diǎn)為棱上的點(diǎn)，且，三棱錐的體積為．（1）求點(diǎn)A到平面的距離；（2）求平面與平面夾角的余弦值．20.概率論中有很多經(jīng)典的不等式，其中最著名的兩個(gè)當(dāng)屬由兩位俄國(guó)數(shù)學(xué)家馬爾科夫和切比雪夫分別提出的馬爾科夫（Markov）不等式和切比雪夫（Chebyshev）不等式．馬爾科夫不等式的形式如下：設(shè)為一個(gè)非負(fù)隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望為，則對(duì)任意，均有，馬爾科夫不等式給出了隨機(jī)變量取值不小于某正數(shù)的概率上界，闡釋了隨機(jī)變量尾部取值概率與其數(shù)學(xué)期望間的關(guān)系．當(dāng)為非負(fù)離散型隨機(jī)變量時(shí)，馬爾科夫不等式的證明如下：設(shè)的分布列為其中，則對(duì)任意，，其中符號(hào)表示對(duì)所有滿(mǎn)足的指標(biāo)所對(duì)應(yīng)的求和．切比雪夫不等式的形式如下：設(shè)隨機(jī)變量的期望為，方差為，則對(duì)任意，均有（1）根據(jù)以上參考資料，證明切比雪夫不等式對(duì)離散型隨機(jī)變量成立．（2）某藥企研制出一種新藥，宣稱(chēng)對(duì)治療某種疾病的有效率為．現(xiàn)隨機(jī)選擇了100名患者，經(jīng)過(guò)使用該藥治療后，治愈的人數(shù)為60人，請(qǐng)結(jié)合切比雪夫不等式通過(guò)計(jì)算說(shuō)明藥廠的宣傳內(nèi)容是否真實(shí)可信．21.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)焦點(diǎn)為的準(zhǔn)線(xiàn)交軸于點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切于點(diǎn)，且交軸正半軸于點(diǎn)．已