角的平分線的性質(zhì)（第三課時(shí)）回顧角的平分線的性質(zhì)角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．題設(shè)：一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)角的平分線上．結(jié)論：它到角的兩邊的距離相等．交換題設(shè)和結(jié)論，你能得到什么新命題？這個(gè)新命題正確嗎？來(lái)看具體問(wèn)題．已知：如圖，PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE．求證：點(diǎn)P在∠AOB的平分線上（OP平分∠AOB）．分析：求證何來(lái)？“全等推角等”

∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知），∴∠PDO=∠PEO=90°．在Rt△PDO和Rt△PEO中，

∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）．∴∠POD=∠POE．即點(diǎn)P

在∠AOB的平分線上．證明：新的定理角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．（定理2）留一個(gè)思考問(wèn)題：為什么會(huì)有“角的內(nèi)部”這個(gè)前提？沒(méi)有的話會(huì)怎樣？角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．（定理2）使用這個(gè)定理時(shí)這樣書(shū)寫(xiě)：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上．“雙垂等距推角分”例

如圖所示，AM⊥BM于M，AN⊥BN于N，AM=AN，求證：∠BAM=∠BAN.分析：標(biāo)圖．如果用全等是可以證明的，可以簡(jiǎn)單試一試．“雙垂等距推角分”

由定理2得∠ABM=

∠ABN．∵AM⊥BM，AN⊥BN，AM=AN，∴點(diǎn)B在∠MBN的平分線上，即∠ABM=∠ABN．（角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．）∴∠BAM=∠BAN（等角的余角相等）．積累不同證明方法．證明：分析：標(biāo)圖已知可推？“雙垂等距推角分”，可得AD平分∠BAC．再由∠BAC得∠BAD，最后在△ADB求角．例如圖，在△ABC中，∠C=36o，∠ABC=

110o，且DE⊥AB于E，DF⊥AC

于F，DE=DF．求∠ADB的度數(shù)．∵∠C=

36o，∠ABC=

110o，∴∠BAC=

180o﹣36o﹣110o

=

34o．∵DE⊥AB于E，DF⊥AC

于F，DE=DF，∴AD平分∠BAC．∴∠BAD=

17o．∴∠ADB=180o﹣110o﹣17o

=53o．解：基本圖不變例

如圖，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D，E，BE，CD相交于點(diǎn)O，OB=OC，連AO，求證：∠1

=

∠2．分析：標(biāo)圖已知可推？

△ODB≌△OEC求證何來(lái)？全等？定理2更好

需要OD=

OE

∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDO=

∠CEO=

90°．

在△ODB和△OEC中∴△ODB≌△OEC．∴OD=OE．又OD⊥AB，OE⊥AC，∴點(diǎn)O在∠BOC的平分線上，即∠1=∠2．證明：例如圖，D，E，F(xiàn)分別是△ABC的三條邊上的點(diǎn)，BE=CF，△DBE和△DCF的面積相等．求證：AD平分∠BAC．分析：標(biāo)圖已知可推？直接用面積要找底高

考慮作垂直

面積和一邊等，則高等“雙垂等距推角分”求證何來(lái)？例BE=CF，△DBE和△DCF的面積相等．求證：AD平分∠BAC．證明：過(guò)D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N．∵△DBE和△DCF的面積相等，∴

BE?DM=CF?DN．又∵BE=CF，又∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴AD平分∠BAC∴DM=DN．輔助線不變分析：標(biāo)圖已知可推？鄰補(bǔ)角好找180o可以轉(zhuǎn)換為等角的條件求證何來(lái)？“雙垂等距推角分”作雙垂，欠等距，全等推例如圖，OP為∠AOB內(nèi)一條射線，C，D分別為OA，OB上兩點(diǎn)，且∠PCO+∠PDO=180o，PC=PD．求證：OP平分∠AOB．例如圖，OP為∠AOB內(nèi)一條射線，C，D分別為OA，OB上兩點(diǎn)，且∠PCO+∠PDO=180o，PC=PD．求證：OP平分∠AOB．整理一下思路：1．作雙垂2．由180o找等角，供全等用3．證明兩三角形全等4．得距離等，配雙垂證角等證明：過(guò)點(diǎn)P作PM⊥OA，PN⊥OB．則∠PMC=∠PND=90o．∵∠PCO+∠PDO=180o，∠PCO+∠PCM=

180o，∴∠PCM=

∠PDN．在△PMC與△PND中∴△PMC≌△PND．∴PM=PN．又∵PM⊥OA，PN⊥OB，∴OP平分∠AOB．3新的關(guān)注兩個(gè)定理的異同（基本圖，輔助線相同）．今天研究的內(nèi)容2新的應(yīng)用“雙垂等距推角分”．1新的定理角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．1．小明同學(xué)在學(xué)習(xí)了全等三角形的相關(guān)知識(shí)后發(fā)現(xiàn)，只用兩把完全相同的長(zhǎng)方形直尺就可以作出一個(gè)角的平分線．如圖：一把直尺壓住射線OB，另一把直尺壓住射線OA并且與第一把直尺交于點(diǎn)P，小明說(shuō)：“射線OP就是∠BOA的角平分線．”他這樣做的依據(jù)是（）．作業(yè)1．小明同學(xué)在學(xué)習(xí)了全等三角形的相關(guān)知識(shí)后發(fā)現(xiàn)，A．角的內(nèi)部到角的兩邊的距離

相等的點(diǎn)在角的平分線上

B．角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的

距離相等

C．三角形三條角平分線的交點(diǎn)

到三條邊的距離相等

D．以上均不正確作業(yè)作業(yè)2．如圖所示，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是點(diǎn)E，F(xiàn)，且BE=CF，求證：AD是△ABC的角平分線．同學(xué)們，再見(jiàn)！練習(xí)

如圖，BE=CF，DE⊥AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，且DB=DC，求證：AD是∠BAC的平分線．分析：標(biāo)圖已知可推？全等較明顯求證何來(lái)？定理2更好

需