吉林省長春市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.某企業(yè)從2005年初貸款M萬元，年利率為m，從該年末開始，每年償還的金額都是萬元，并計(jì)劃恰好在10年內(nèi)還清，則=

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：答案：C2.命題“若，則”的逆否命題是

A.“若，則”

B.“若，則”

C.“若，則”

D.“若，則”參考答案：C3.在正方體8個(gè)頂點(diǎn)中任選3個(gè)頂點(diǎn)連成三角形，則所得的三角形是等腰直角三角形的概率為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．【專題】概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】總的事件數(shù)是C83，而從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)頂點(diǎn)可形成的等腰直角三角形的個(gè)數(shù)按所選取的三個(gè)頂點(diǎn)是只能是來自于該正方體的同一個(gè)面．根據(jù)概率公式計(jì)算即可．【解答】解：正方體8個(gè)頂點(diǎn)中任選3個(gè)頂點(diǎn)連成三角形，所得的三角形是等腰直角三角形只能在各個(gè)面上，在每一個(gè)面上能組成等腰直角三角形的有四個(gè)，所以共有4×6=24個(gè)，而在8個(gè)點(diǎn)中選3個(gè)點(diǎn)的有C83=56，所以所求概率為=故選：C【點(diǎn)評】本題是一個(gè)古典概型問題，學(xué)好古典概型可以為其它概率的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，同時(shí)有利于理解概率的概念，有利于計(jì)算一些事件的概率，有利于解釋生活中的一些問題．4.過點(diǎn)作斜率為(≠0)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，的斜率為，則等于

A．

B．

C．

D．參考答案：B5.若變量x，y滿足約束條件且z=5y﹣x的最大值為a，最小值為b，則a﹣b的值是（）A．48

B．30C．24

D．16參考答案：C【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【分析】先根據(jù)條件畫出可行域，設(shè)z=5y﹣x，再利用幾何意義求最值，將最小值轉(zhuǎn)化為y軸上的截距最大，只需求出直線，過可行域內(nèi)的點(diǎn)B（8，0）時(shí)的最小值，過點(diǎn)A（4，4）時(shí)，5y﹣x最大，從而得到a﹣b的值．【解答】解：滿足約束條件的可行域如圖所示在坐標(biāo)系中畫出可行域，平移直線5y﹣x=0，經(jīng)過點(diǎn)B（8，0）時(shí)，5y﹣x最小，最小值為：﹣8，則目標(biāo)函數(shù)z=5y﹣x的最小值為﹣8．經(jīng)過點(diǎn)A（4，4）時(shí)，5y﹣x最大，最大值為：16，則目標(biāo)函數(shù)z=5y﹣x的最大值為16．z=5y﹣x的最大值為a，最小值為b，則a﹣b的值是：24．故選C．6.設(shè)全集，集合，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A本題主要考查集合的基本運(yùn)算.由補(bǔ)集的定義可知,,故選A.7.已知中，，點(diǎn)為邊所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則滿足（

）A．最大值為16

B．最小值為4

C．為定值8

D．與的位置有關(guān)參考答案：C略8.橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，弦過，若的內(nèi)切圓周長為，

兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B9.設(shè)為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)=(

)

參考答案：選

依題意：，故選.10.已知（﹣1+3i）（2﹣i）=4+3i（其中i是虛數(shù)單位），則z的虛部為（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i參考答案：A【考點(diǎn)】A5：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義、虛部的定義即可得出．【解答】解：∵（﹣1+3i）（2﹣i）=4+3i，∴﹣1+3i===1+2i，∴=2﹣i，∴z=2+i，∴z的虛部為1，故選：A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.過點(diǎn)作圓的弦，其中弦長為整數(shù)的共有

條。參考答案：3212.某企業(yè)的4名職工參加職業(yè)技能考核，每名職工均可從4個(gè)備選考核項(xiàng)目中任意抽取一個(gè)參加考核，則恰有一個(gè)項(xiàng)目未被抽中的概率是．參考答案：【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．【分析】先求出基本事件總數(shù)n=44，再求出恰有一個(gè)項(xiàng)目未被抽中包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出恰有一個(gè)項(xiàng)目未被抽中的概率．【解答】解：解：某企業(yè)的4名職工參加職業(yè)技能考核，每名職工均可從4個(gè)備選考核項(xiàng)項(xiàng)目中任意抽取一個(gè)參加考核，基本事件總數(shù)n=44，恰有一個(gè)項(xiàng)目未被抽中包含的基本事件個(gè)數(shù)為：m=，∴恰有一個(gè)項(xiàng)目未被抽中的概率為p===．故答案為：．13.在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的積，形成新的數(shù)列，這樣的操作叫做該數(shù)列的一次“擴(kuò)展”.將數(shù)列1，2進(jìn)行“擴(kuò)展”，第一次得到1，2，2；第二次得到數(shù)列1，2，2，4，2；…；第n次“擴(kuò)展”后得到的數(shù)列為.并記，其中，，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=________．參考答案：【分析】先由，結(jié)合題意得到，再設(shè)求出，得到數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】由題意，根據(jù)，可得，設(shè)，即，可得，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故，所以.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的應(yīng)用，熟記等比數(shù)列的性質(zhì)以及通項(xiàng)公式即可，屬于常考題型.14.等差數(shù)列中，已知，，則的取值范圍是

▲

．參考答案：略15.我們把平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量，在平面直角坐標(biāo)系中，利用求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的方法，可以求出過點(diǎn)，且法向量為的直線（點(diǎn)法式）方程為，化簡得．類比以上方法，在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)，且法向量為的平面（點(diǎn)法式）方程為

．參考答案：x+2y?z?2＝016.若不等式對于一切實(shí)數(shù)x均成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

。參考答案：（1,3）17.已知，則的最小值是

．參考答案：32三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù).（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若存在實(shí)數(shù)，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

參考答案：(Ⅰ)①當(dāng)時(shí)，，所以②當(dāng)時(shí)，，所以為③當(dāng)時(shí)，，所以綜合①②③不等式的解集為……………5分(Ⅱ)即由絕對值的幾何意義，只需…10分19.（本小題滿分12分）已知△ABC的兩頂點(diǎn)坐標(biāo)，圓E是△ABC的內(nèi)切圓，在邊AC，BC，AB上的切點(diǎn)分別為P，Q，R，（從圓外一點(diǎn)到圓的兩條切線段長相等），動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為曲線M．(I)求曲線M的方程；(Ⅱ)設(shè)直線BC與曲線M的另一交點(diǎn)為D，當(dāng)點(diǎn)A在以線段CD為直徑的圓上時(shí)，求直線BC的方程．

參考答案：⑴解：由題知所以曲線是以為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓（挖去與軸的交點(diǎn)），

設(shè)曲線：，

則，

所以曲線：為所求.---------------4分⑵解：注意到直線的斜率不為，且過定點(diǎn)，設(shè)，由消得，所以，所以-------------------------------------8分因?yàn)?所以注意到點(diǎn)在以為直徑的圓上,所以,即,-----11分所以直線的方程或?yàn)樗?------12分20.（本小題滿分14分）已知函數(shù)(1)若函數(shù)的圖象切x軸于點(diǎn)(2，0)，求a、b的值；(2)設(shè)函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)的切線斜率為k，試求的充要條件；(3)若函數(shù)的圖象上任意不同的兩點(diǎn)的連線的斜率小于l，求證．參考答案：

21.（16分）已知函數(shù)，（為常數(shù)）．函數(shù)定義為：對每個(gè)給定的實(shí)數(shù)，（1）求對所有實(shí)數(shù)成立的充分必要條件（用表示）；（2）設(shè)是兩個(gè)實(shí)數(shù)，滿足，且．若，求證：函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長度之和為（閉區(qū)間的長度定義為）參考答案：解析：（1）由的定義可知，（對所有實(shí)數(shù)）等價(jià)于（對所有實(shí)數(shù)）這又等價(jià)于，即對所有實(shí)數(shù)均成立.

（*）由于的最大值為，故（*）等價(jià)于，即，這就是所求的充分必要條件（2）分兩種情形討論

（i）當(dāng)時(shí)，由（1）知（對所有實(shí)數(shù)）則由及易知，再由的單調(diào)性可知，函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長度為（參見示意圖1）

（ii）時(shí)，不妨設(shè)，則，于是

當(dāng)時(shí)，有，從而；當(dāng)時(shí)，有從而

；當(dāng)時(shí)，，及，由方程

解得圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

⑴

顯然，這表明在與之間。由⑴易知

綜上可知，在區(qū)間上，

（參見示意圖2）

故由函數(shù)及的單調(diào)性可知，在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長度之和為，由于，即，得

⑵故由⑴、⑵得

綜合（i）（ii）可知，在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長度和為。

22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（a＞b＞0，φ為參數(shù)），且曲線C1上的點(diǎn)M（2，）對應(yīng)的參數(shù)φ=．以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2是圓心在極軸上且經(jīng)過極點(diǎn)的圓．射線與曲線C2交于點(diǎn)D（，）．（1）求曲線C1的普通方程，曲線C2的極坐標(biāo)方程；（2）若A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）是曲線C1上的兩點(diǎn)，求+的值．參考答案：【考點(diǎn)】參數(shù)方程化成普通方程；簡單曲線的極坐標(biāo)方程．【分析】（1）點(diǎn)M（2，）對應(yīng)的參數(shù)φ=代入（a＞b＞0，φ為參數(shù)），可得，解得a，b．可得曲線C1的普通方程．設(shè)圓C2的半徑為R，則曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2Rcosθ，將點(diǎn)D代入得R．（2）曲線C1的極坐標(biāo)方程為