泰勒中值定理B.Taylor1685-1731

英國(guó)問題的提出——函數(shù)值的近似計(jì)算（如下圖）以平直代曲以切直代曲不足之處是十分明顯的:2、精確度不高；1、x的取值只能在x0

的近旁；3、誤差不能估計(jì)。因此，在進(jìn)行函數(shù)值的近似計(jì)算時(shí)，僅僅考慮“以直代曲”是不夠的。如果能夠“以曲代曲”，那效果應(yīng)該要好多了。問題的解決:分析:2.若有相同的切線3.若彎曲方向相同近似程度越來(lái)越好1.若在點(diǎn)相交泰勒(Taylor)中值定理(1712年)證明:拉格朗日型余項(xiàng)泰勒(Taylor)中值定理泰勒(Taylor)中值定理除了拉格朗日形余項(xiàng)，常見的還有Cauchy形余項(xiàng)。

Taylor中值定理對(duì)我們初學(xué)者而言，似乎有些讓人望而生畏，不過僅僅是其公式形式較復(fù)雜，證明看起來(lái)較麻煩。其實(shí)，從方法上來(lái)講，定理證明只是Cauchy微分中值定理的多次重復(fù)運(yùn)用而已。有了Taylor中值定理中的這種帶有定量性質(zhì)的余項(xiàng)之后，我們就可以在較大范圍內(nèi)(而不只是一個(gè)給定點(diǎn)x0

的近旁)來(lái)研究用多項(xiàng)式逼近函數(shù)f(x)

的誤差。特別地，如果在這個(gè)范圍內(nèi)f(n+1)(x)

有界并且能給出|f(n+1)(x)|的一個(gè)盡可能小的上界時(shí)，好處就顯現(xiàn)出來(lái)了。麥克勞林(Maclaurin)公式

Maclaurin

公式是Taylor中值定理的特殊形式，但卻是獨(dú)立于Taylor中值定理并且遲于它被提出來(lái)的。Maclaurin

1698-1746

英國(guó)麥克勞林(Maclaurin)公式

雖然

Maclaurin

公式是Taylor中值定理的特殊形式，僅僅是取x0

=0

的特殊結(jié)果，可是由于Maclaurin

公式使用方便，因此在數(shù)學(xué)分析中常將此二結(jié)論相提并論。解拉格朗日型余項(xiàng)例2可以注意到，正弦函數(shù)是一個(gè)奇函數(shù)，所以其Maclaurin展開式中的多項(xiàng)式部分沒有偶數(shù)次項(xiàng)。

另外，對(duì)于我們初學(xué)者來(lái)說，在給出函數(shù)的Taylor展開式或者M(jìn)aclaurin展開式時(shí)，我們要知道有一個(gè)余項(xiàng)存在，也就是說一個(gè)一般的函數(shù)不與一個(gè)n

次多項(xiàng)式函數(shù)完全相等，兩者有些差別，差別用余項(xiàng)來(lái)體現(xiàn)。但是余項(xiàng)的給出是比較麻煩的，具體的表達(dá)式我們現(xiàn)在可以不用考慮太多，首先著重于多項(xiàng)式部分。極好的近似結(jié)果播放可以注意到，正弦函數(shù)是一個(gè)奇函數(shù)，所以sinx

的Maclaurin

展開的表達(dá)式中只有x的奇數(shù)次方項(xiàng)，并且所以我們可以通過這種方式來(lái)很快捷地掌握cosx

的Maclaurin

展開式所以，我們可以得到用n次多項(xiàng)式來(lái)近似表示正弦、余弦函數(shù)的近似計(jì)算結(jié)果，而且可以看到，隨著n的增大，近似效果就越來(lái)越好，x的取值范圍就可以隨之而擴(kuò)大。例3我們需要注意到，并不是只要提高Taylor多項(xiàng)式的次數(shù)，就能不斷地改進(jìn)對(duì)函數(shù)的逼近程度。以一個(gè)著名的例子來(lái)說明：此時(shí)的余項(xiàng)稱為是皮亞諾(Peano)型余項(xiàng),函數(shù)的帶皮亞諾型余項(xiàng)的展開式主要用于函數(shù)的極限計(jì)算,并且對(duì)函數(shù)的要求也可以適當(dāng)降低.Theorem2

如果函數(shù)f(x)在含有x0的某個(gè)開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有n階導(dǎo)數(shù),則在(a,b)內(nèi)當(dāng)xx0時(shí),f(x)可以表示為(x-x0)的一個(gè)n次多項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng)Rn(x)之和:例4

求極限解Taylor公式Maclaurin

公式泰勒(Taylor)中值定理例5

解這就是所謂的“間接展開”。一些常用的簡(jiǎn)單函數(shù)的Taylor展開式或者M(jìn)aclaurin展開式常用簡(jiǎn)單函數(shù)的麥克勞林公式例6

證明本題的證明方法挺多，這里僅介紹用Taylor中值定理來(lái)證明的方法。(其他做法請(qǐng)同學(xué)們自己思考。)證明法二備注:2.我十分欣賞的中國(guó)科大的常庚哲、史濟(jì)懷先生編著的《數(shù)學(xué)分析教程》中作者說：掌握了Taylor定理之后，回過頭去看前面的那些理論，似乎一切都在你的掌握之中，使你有一種“