與冪級數(shù)不同的是,S(x)不但不是無窮次可微的,甚至是不連續(xù)的,這非但不是缺點(diǎn),反而正是它的優(yōu)點(diǎn).這使我們可以指望將較差的函數(shù)展開成形如(1)的三角級數(shù).設(shè)f(x)是周期為2π的函數(shù).本章主要研究下面兩個(gè)問題:(i)f(x)滿足什么樣的條件,可以將它展開成三角級數(shù)?(ii)當(dāng)f(x)可以展成三角級數(shù)時(shí),各個(gè)系數(shù)怎么確定?三角級數(shù)(1)中出現(xiàn)的函數(shù)列(2)稱為三角函數(shù)系.

定義1設(shè)f(x)和g(x)是[a,b]上的兩個(gè)可積函數(shù),若

則稱函數(shù)f(x)與g(x)在[a,b]上正交.若函數(shù)系{fn(x)}中的任何兩個(gè)函數(shù)都正交,則稱該函數(shù)系為正交函數(shù)系.

定理1三角函數(shù)系是[-π,π]上的一個(gè)正交函數(shù)系,即

可以證明,三角函數(shù)系在[0,2π]以及任何長為2π的區(qū)間[a,a+2π]上都是正交函數(shù)系.設(shè)f(x)是以2π為周期的函數(shù),并假定f(x)在區(qū)間[-π,π]可以展開成一致收斂的三角級數(shù)(3)將(3)式在[-π,π]上積分,得到將(3)式兩邊同乘,這樣得到的級數(shù)在[-π,π]一致收斂到,然后在[-π,π]逐項(xiàng)積分并利用三角函數(shù)系的正交性,得到類似地可得為了讓所有與都可定義,則必須在[-π,π]可積;倘若在[-π,π]有瑕點(diǎn),則必須絕對收斂.我們把滿足以上條件的稱為在[-π,π]絕對可積.

定義2設(shè)f(x)以2π為周期,在[-π,π]絕對可積,則由公式?jīng)Q定的稱為f(x)的傅里葉系數(shù),由這些決定的三角級數(shù)稱為f(x)的傅里葉級數(shù),記為

Remark并不意味著后者成立包含兩重意思:右邊的級數(shù)收斂且收斂于f(x).前者僅表示f(x)的傅里葉級數(shù)為右邊級數(shù),而右邊級數(shù)甚至可能不收斂.例1求f(x)=sgn(cosx)的傅里葉級數(shù).解:顯然,f(x)是以2π為周期的周期函數(shù).又f(x)為偶函數(shù),從而bn=0.

故例2設(shè)f(x)以2π為周期,求f(x)的傅里葉級數(shù).解:傅里葉級數(shù)的收斂性定義1若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上除有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)外皆連續(xù),則稱f(x)在[a,b]上逐段連續(xù).

若f(x)及其導(dǎo)數(shù)都在[a,b]上逐段連續(xù),則稱f(x)在[a,b]上逐段光滑.根據(jù)上述定義,若f(x)在[a,b]逐段光滑,則有如下重要性質(zhì):(i)f(x)在[a,b]可積;(ii)在[a,b]上每一點(diǎn)x都存在且有

收斂定理定理1若f(x)以2π為周期,且在[-π,π]逐段光滑,則在每一點(diǎn)f(x)的傅里葉級數(shù)收斂于f(x)在點(diǎn)x的左、右極限的算術(shù)平均值,即

推論

若f(x)以2π為周期的連續(xù)函數(shù),且在[-π,π]逐段光滑,則f(x)的傅里葉級數(shù)在收斂于f(x).Remark已知f(x)在[-π,π]逐段光滑,若f(x)在x=-π間斷,根據(jù)收斂定理,f(x)的傅里葉級數(shù)在-π收斂到注意到f(x)以2π為周期,因此故f(x)的傅里葉級數(shù)在–π應(yīng)收斂到由f(x)的周期性知,f(x)的傅里葉級數(shù)在π也應(yīng)收斂到同一數(shù)在具體討論函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式時(shí),常只給出函數(shù)f(x)在(-π,π](或[-π,π))上的解析表達(dá)式,但應(yīng)理解為它是定義在整個(gè)數(shù)軸上以2π為周期的函數(shù).即在(-π,π]以外的部分按函數(shù)在(-π,π]上的對應(yīng)關(guān)系作周期延拓.f(x)是以2π為周期的函數(shù),所以傅里系數(shù)公式中的積分區(qū)間[-π,π]可以改為長度為2π的任何區(qū)間,而不影響的值:其中c為任何常數(shù).例3將函數(shù)展成傅里葉級數(shù).解:顯然f(x)是逐段光滑的.當(dāng)

時(shí),所以在(-π,π)上在上式右端收斂于例4設(shè)求f(x)的傅里葉級數(shù)展開式.解:當(dāng)時(shí),所以當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),上式右端傅里葉級數(shù)收斂于當(dāng)時(shí),上式右端傅里葉級數(shù)收斂于例5將函數(shù)展成傅里葉級數(shù).解:收斂定理的證明兩個(gè)引理.

引理1若f(x)是以2π為周期的函數(shù),且在[-π,π]上可積,則它的傅里葉級數(shù)的部分和

可寫成當(dāng)時(shí),被積函數(shù)中的不定式由極限來定義.

推論

引理2(黎曼引理)若g(x)在[a,b]可積,則證明:首先,對任意的有給[a,b]以分法記為g(x)在的下確界,這時(shí)因此其中為g(x)在的振幅,由g(x)在[a,b]可積知,可選定分法,使取定分法后,就是固定的了,因此只要就有這就證明了引理2的第一個(gè)極限.引理2的第二個(gè)極限類似可證.

收斂定理的證明:只需證明在每一點(diǎn)處下述極限成立.即或證明同時(shí)有與我們僅證上面第一個(gè)極限,第二個(gè)極限類似可證.先用引理1的推論將表示為于是,第一個(gè)極限改寫為令則再令則在右連續(xù).于是,在[0,π]至多有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn),因此在[0,π]上可積.根據(jù)黎曼引理,這就證明了第一個(gè)極限成立.用同樣方法可證第二個(gè)極限也成立.收斂定理得證.傅里葉級數(shù)的逐項(xiàng)積分

定理2設(shè)f(x)以2π為周期,在[-π,π]內(nèi)除有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)外是連續(xù)的,且則有或Remark:證明:首先,f(x)在[-π,π]可積,因而函數(shù)在[-π,π]連續(xù).而且,F(x)也是以2π為周期的周期函數(shù).事實(shí)上,下證F(x)在[-π,π]是逐段光滑的.不妨設(shè)f(x)在[-π,π]只有一個(gè)第一類間斷點(diǎn)x0,則F(x)在[-π,π]除x0以外每一點(diǎn)都有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),而在x0點(diǎn),由積分中值定理知,即F(x)在x0存在右導(dǎo)數(shù)同理可證,F(x)在x0存在左導(dǎo)數(shù)根據(jù)收斂定理知,F(x)可以展開成傅里葉級數(shù)其中于是令x=0,得因此有證畢.例6由例2知應(yīng)用逐項(xiàng)積分定理,有其中于是,得令x=π,有任意區(qū)間上的傅里葉級數(shù)設(shè)f(x)是以2l為周期的函數(shù),通過變換可將f(x)變成以2π為周期的函數(shù)若f(x)在[-l,l]可積,則φ(t)在[-π,π]也可積.這時(shí)函數(shù)φ(t)的傅里葉級數(shù)為其中將反變換代回,便得其中這就是周期為2l的函數(shù)f(x)的傅里葉級數(shù).若一個(gè)函數(shù)定義在更一般的區(qū)間[a,b]上,如何考慮它的傅里葉級數(shù)展開?不妨設(shè)f(x)定義在[0,l]上,因?yàn)槿绻鹒(x)定義在[a,b]上,考慮φ(t)=f(a+t),則φ便定義在[0,l]上,其中l(wèi)=b-a.這時(shí),我們考慮用兩種延拓方法:偶延拓和奇延拓,先將f(x)延拓到[-l,l]上,然后再將f(x)以2l為周期延拓到整個(gè)數(shù)軸上.先介紹偶延拓.設(shè)f(x)定義在[0,l]上,令則F(x)是定義在[-l,l]的偶函數(shù),然后根據(jù)便可將F(x)延拓到整個(gè)數(shù)軸,此時(shí)F(x)是以2l為周期的函數(shù).若f(x)在[0,l]連續(xù),則F(x)在整個(gè)數(shù)軸上都是連續(xù)的.由于F(x)是偶函數(shù),其傅里葉級數(shù)只有余弦項(xiàng)其中若f(x)在[0,l]逐段光滑,則F(x)在[-l,l]也逐段光滑.于是有把它限制回[0,l],便得下面討論奇延拓.設(shè)f(x)定義在[0,l]上,令則F(x)是定義在[-l,l]的奇函數(shù),然后根據(jù)便可將F(x)延拓到整個(gè)數(shù)軸,得F(x)是以2l為周期的函數(shù).與偶延拓不同的是,即使f(x)在[0,l]是連續(xù)的,但F(x)并不一定在整個(gè)數(shù)軸連續(xù).由于F(x)是奇函數(shù),其傅里葉級數(shù)只有正弦項(xiàng)其中若