與平移有關(guān)的探究題.平移的概念：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為平移，平移不改變圖形的形狀和大小.【要點(diǎn)詮釋】(1)平移是運(yùn)動(dòng)的一種形式，是圖形變換的一種，本講的平移是指平面圖形在同一平面內(nèi)的變換；(2)圖形的平移有兩個(gè)要素：一是圖形平移的方向，二是圖形平移的距離，這兩個(gè)要素是圖形平移的依據(jù)；(3)圖形的平移是指圖形整體的平移，經(jīng)過(guò)平移后的圖形，與原圖形相比，只改變了位置，而不改變圖形的大小，這個(gè)特征是得出圖形平移的基本性質(zhì)的依據(jù)..平移的基本性質(zhì)：由平移的概念知，經(jīng)過(guò)平移，圖形上的每一個(gè)點(diǎn)都沿同一個(gè)方向移動(dòng)相同的距離，平移不改變圖形的形狀和大小，因此平移具有下列性質(zhì)：經(jīng)過(guò)平移，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等，對(duì)應(yīng)角相等.【要點(diǎn)詮釋】(1)要注意正確找出“對(duì)應(yīng)線段，對(duì)應(yīng)角”，從而正確表達(dá)基本性質(zhì)的特征；2)“對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等”，這個(gè)基本性質(zhì)既可作為平移圖形之間的性質(zhì)，又可作為平移作圖的依據(jù).【典例1］在正方形ABCD中，BD是一條對(duì)角線，點(diǎn)P在直線CD上(不與點(diǎn)C、D重合)，連接AP,平移AADP,使點(diǎn)D移動(dòng)到點(diǎn)C,得到ABCQ,過(guò)點(diǎn)Q作QIUBD于H,連接AH,PH.【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】(1)如圖①，若點(diǎn)P在線段CD上，AH與PH的數(shù)量關(guān)系是,位置關(guān)系是；【拓展探究】(2)如圖②，若點(diǎn)P在線段CD的延長(zhǎng)線上，其他條件不變，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明，否則說(shuō)明理由；【解決問(wèn)題】(3)若點(diǎn)P在線段DC的延長(zhǎng)線上，且NAHQ=120°,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,請(qǐng)直接寫出DP的長(zhǎng)度.【答案】解：(1)AH=PH,AH±PH；【解法提示】如解圖①，連接HC,.?四邊形ABCD是正方形，AZBDC=45°,XVQH±BD,?.△DHQ是等腰直角三角形，，HD=HQ,ZHDP=ZHQC=45°,由平移的性質(zhì)可知DP=CQ,(HD=HQ在△HDP和△*(：中，\ZHDP=ZHQC,<DP=QC.,.AHDP^AHQC.，HP=HC,ZDHP=ZQHC.根據(jù)正方形是軸對(duì)稱圖形得到HA=HC,ZAHD=ZCHD,ZAHP=ZAHD+ZDHP=ZCHD+ZQHC=90°,即AH，PH..*.HA=HP,AH±PH.(2)(1)中的結(jié)論仍然成立，理由如下：如解圖②，連接HC,?.?四邊形ABCD是正方形,AZBDC=45°,XVQH1BD,.?.△DHQ是等腰直角三角形，.?./HDP=NHQC=135。，HD=HQ,由平移的性質(zhì)可知DP=CQ,HD=HQ在△HDP和△HQC中，jNHDP=ZHQC,、PD=CQ.,.△HDP^AHQC(SAS),.*.HP=HC,ZDHP=ZQHC,根據(jù)正方形是軸對(duì)稱圖形得到HA=HC,zahd=zchd,.??NAHP=ZAHD-NDHP=ZCHD-ZCHQ=90°，.*.HA=HP,AH±PH；(3)DP=2\'3.【解法提示】由（1）知，AH=PH,AH±PH,.?.NHPA=45°,?「NAHQ=120°,.?.NPHQ=120°—90°=30...NPHD=NQHD—NPHQ=60°,NAHB=NCHB=NAHP—NPHD=30°,...NCHP=NCHB=NAHB=30°,NCPH=180°—ZCHP.

2—=75°,...NAPD=NCPH—NAPH=30°,在Rt^ADP中，AD=2,2.??DP=tanZAPD【典例2】在^ABC中，AB=AC,CG±BA交ba的延長(zhǎng)線于點(diǎn)g.特例感知：（1）將一等腰直角三角尺按圖1所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點(diǎn)為F,一條直角邊與AC重合，另一條直角邊恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B.通過(guò)觀察、測(cè)量BF與CG的長(zhǎng)度，得到BF=CG.請(qǐng)給予證明.國(guó)1猜想論證：（2）當(dāng)三角尺沿AC方向移動(dòng)到圖2所示的位置時(shí)，一條直角邊仍與AC邊重合，另一條直角邊交BC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作DE1BA垂足為E.此時(shí)請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量DE,DF與CG的長(zhǎng)度，猜想并寫出DE、DF與CG之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.圖2聯(lián)系拓展：（3）當(dāng)三角尺在圖2的基礎(chǔ)上沿AC方向繼續(xù)移動(dòng)到圖3所示的位置（點(diǎn)F在線段AC上，且點(diǎn)F與點(diǎn)C不重合）時(shí)，請(qǐng)你判斷（2）中的猜想是否仍然成立？（不用證明）【答案】（1）證明見(jiàn)詳解；（2）DE+DF=CG,證明見(jiàn)詳解；（3）成立.【解析】【分析】（1）通過(guò)條件證明ABFC絲ACGB,即可得到破=0G；（2）過(guò)點(diǎn)B作BMLCF交CF延長(zhǎng)線于M,過(guò)點(diǎn)D作DHLBM于H,通過(guò)ABMC段得到BM=CG,然后由四邊形MHDF為矩形，MH=DF,最后再證明△BDH四△DBE,得到BH=DE,即可得到結(jié)論;（3）同（2）中的方法.【詳解】.:AB=ACAZABC=ZACB,在ABFC和^CGB中，叱F=/G=90。</FCB=/GBCBC=CB/.△BFC^^CGB,?BF=CGDE+DF=CG，如圖，過(guò)點(diǎn)B作BMLCF交CF延長(zhǎng)線于M,過(guò)點(diǎn)D作DHLBM于H,AB=ACAZABC=ZACB,在ABMC和4CGB中，叱M=ZG=90。/FCB二/GBC、BC=CBAABMC^ACGB,，BM=CG,由題意和輔助線可知，NM=90°,NMFD=90°,NMHD=90...四邊形MHDF為矩形，，MH=DF,DH〃MF,AZHDB=ZMCB,AZHDB=ZABC,在ABDH和ADBE中，叱BHD=/BED=90°/HDB二/EBDBD=DBAABDH^ADBE,.*.BH=DE,VBM=CG,BM=BH+HM,...DE+DF=CG,(3)成立，如圖，過(guò)點(diǎn)B作BM^CF交CF延長(zhǎng)線于M,過(guò)點(diǎn)D作DH^BM于H,M同(2)中的方法AB=ACAZABC=ZACB,在ABMC和^CGB中，叱M=ZG=90。/FCB二/GBC、BC=CBAABMC^ACGB,，BM=CG,由題意和輔助線可知，NM=90°,NMFD=90°,NMHD=90°,...四邊形MHDF為矩形，，MH=DF,DH〃MF,AZHDB=ZMCB,AZHDB=ZABC,在ABDH和ADBE中，叱BHD=/BED=90°/HDB二/EBDBD=DBAABDH^ADBE,.*.BH=DE,VBM=CG,BM=BH+HM,，DE+DF=CG.【典例3】如圖，將矩形ABCD沿對(duì)角線AC剪開(kāi)，再把AACD沿CA方向平移得到△A'C'D'.(1)證明AA'AD'四△式'B；(2)若NACB=30，試問(wèn)當(dāng)點(diǎn)C'在線段AC上的什么位置時(shí)，四邊形ABC'D’是菱形，并請(qǐng)說(shuō)明理由.【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)已知利用SAS判定AA'AD'四△"'B；(2)由已知可推出四邊形ABC'D’是平行四邊形，只要再證明一組鄰邊相等即可確定四邊形ABC'D’是菱形，由已知可得到BC'=2AC,AB=2AC,從而得到AB=BC',所以四邊形ABC'D’是菱形.【答案與解析】(1)證明：???四邊形ABCD是矩形，4A'C'D’由4ACD平移得到，，A‘D'=AD=CB,AA'=CC‘,A'D‘〃AD〃BC.「.ND’A’C'=ZBCA.「.△A'AD‘四△"‘B.(2)解：當(dāng)點(diǎn)C'是線段AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形ABC'D’是