第五節(jié)對坐標的曲面積分第九章（Surfaceintegralofcoordinate)一、對坐標的曲面積分的概念與性質二、對坐標的曲面積分的計算三、兩類曲面積分之間的聯(lián)系四、小結與思考練習7/22/20231曲面的側

設連通曲面

S上到處都有連續(xù)變動的切平面

(

或法線

),曲面在其上每一點處的法線有兩個方向：當取定其中一個指向為正方向時,另一個指向就是負方向.又設為

S上任一點,L為S上任一經過點且不超出S邊界的閉曲線.當

S上的動點

M從出發(fā)沿

L連續(xù)移動一周而回到時,7/22/20232否則,若由某一點出發(fā),沿

S上某一封閉曲線回到時,其法線方向與出發(fā)時的方向相反,則稱S是單側曲面.我們通常遇到的曲面大多是雙側曲面.單側曲面的

一個典型例子是默比烏斯(M?bius)帶.它的構造方法如下:取一矩形長紙條ABCD(如圖22-4(a)),將其一端扭轉后與另一端粘合在一起

(

即讓

A

與

C

重合,B

與

D

重合,如圖22-4(b)所示

).出發(fā)時

M與取相同的法線方向,而回來時仍保持原來的法線方向不變,則稱該曲面

S是雙側的.

如果有如下特征:7/22/20233默比烏斯(M?bius,A.F.1790－1868,德國)7/22/20234通常由所表示的曲面都是雙側曲面,其法

線方向與

z軸正向的夾角成銳角的一側稱為上側,

另一側稱為下側.當

S為封閉曲面時,法線方向朝外的一側稱為外側，另一側稱為內側.

習慣上把上側

作為正側,下側作為負側;又把封閉曲面的外側作為

正側,內側作為負側.曲面法向量的指向決定曲面的側.決定了側的曲面稱為有向曲面.7/22/20235?曲面分類

雙側曲面單側曲面莫比烏斯帶曲面分上側和下側曲面分內側和外側曲面分左側和右側(單側曲面的典型)

7/22/20236曲面的分類:1.雙側曲面;2.單側曲面.典型雙側曲面7/22/20237莫比烏斯帶典型單側曲面:播放7/22/20238莫比烏斯帶典型單側曲面:7/22/20239典型單側曲面:莫比烏斯帶7/22/202310典型單側曲面:莫比烏斯帶7/22/202311典型單側曲面:莫比烏斯帶7/22/202312典型單側曲面:莫比烏斯帶7/22/202313典型單側曲面:莫比烏斯帶7/22/202314典型單側曲面:莫比烏斯帶7/22/202315典型單側曲面:莫比烏斯帶7/22/202316典型單側曲面:莫比烏斯帶7/22/202317典型單側曲面:莫比烏斯帶7/22/202318典型單側曲面:莫比烏斯帶7/22/202319典型單側曲面:莫比烏斯帶7/22/202320典型單側曲面:莫比烏斯帶7/22/202321典型單側曲面:莫比烏斯帶7/22/202322典型單側曲面:莫比烏斯帶7/22/202323典型單側曲面:莫比烏斯帶7/22/202324曲面法向量的指向決定曲面的側.決定了側的曲面稱為有向曲面.曲面的投影問題:一、對坐標的曲面積分的概念與性質1.有向曲面及其在坐標面上的投影概念以后如未作特別說明，我們所討論的曲面都是雙側的.7/22/202325的投影區(qū)域的面積,它們的符號由的方向來確定:

分別表示在三個坐標面上7/22/2023262.流向曲面一側的流量計算7/22/2023277/22/2023281.分割則該點流速為.法向量為.7/22/2023292.求和7/22/2023303.取極限7/22/2023313.對坐標的曲面積分的概念7/22/202332被積函數(shù)積分曲面類似可定義7/22/202333存在條件:組合形式:物理意義:7/22/2023344.對坐標的曲面積分的性質7/22/202335二、對坐標的曲面積分的計算7/22/2023367/22/2023377/22/202338注意:第二型的曲面積分,必須注意曲面所取的側.“一投,二代,三定號”7/22/2023397/22/2023407/22/2023417/22/2023427/22/202343例3.

計算

其中S是由平面x=0,y=0,z=0和x+y+z=1所圍的四面體表面的外側.解設S1是取上側

S2是S的底部取下側在xy坐標面上的投影區(qū)域為Dxy

先計算積分7/22/202344由對稱性7/22/202345三、兩類曲面積分之間的聯(lián)系7/22/2023467/22/2023477/22/2023487/22/2023497/22/2023507/22/202351解7/22/2023527/22/202353內容小結1.對坐標曲面積分的物理意義2.對坐標曲面積分的計算時應注意以下兩點a.