樣本及抽樣分布第1頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月一總體與個體二樣本與簡單隨機樣本三統(tǒng)計量四順序統(tǒng)計量與經(jīng)驗分布函數(shù)第一節(jié)樣本與統(tǒng)計量機動目錄上頁下頁返回結束2第2頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)理統(tǒng)計概述數(shù)理統(tǒng)計學是一門應用性很強的學科.它是研究怎樣以有效的方式收集、整理和分析帶有隨機性的數(shù)據(jù)，以便對所考察的問題作出推斷和預測.由于大量隨機現(xiàn)象必然呈現(xiàn)它規(guī)律性，只要對隨機現(xiàn)象進行足夠多次觀察，被研究的規(guī)律性一定能清楚地呈現(xiàn)出來.客觀上，只允許我們對隨機現(xiàn)象進行次數(shù)不多的觀察試驗，我們只能獲得局部觀察資料.機動目錄上頁下頁返回結束3第3頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)理統(tǒng)計的任務就是研究有效地收集、整理、分析所獲得的有限的資料，對所研究的問題,盡可能地作出精確而可靠的結論.數(shù)理統(tǒng)計方法具有“部分推斷整體”的特征.機動目錄上頁下頁返回結束4第4頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月一總體與個體定義1研究“對象”的全體稱為總體.注對象指的是某項數(shù)量指標.Population

總體中的元素稱為個體.Individual

用X、Y、Z等表示總體.機動目錄上頁下頁返回結束總體就是隨機變量或隨機變量的概率分布.稱呼：正態(tài)總體、指數(shù)總體等.

5第5頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月代表性：X1,X2,…,Xn與總體X同分布；定義3

簡單隨機樣本(SRS):二樣本與簡單隨機樣本定義2從總體X中“抽取”的n個個體稱為（來自）SampleSize樣本（觀測）值：記作或隨機性確定性Simplerandomsample

以后談及樣本均指簡單隨機樣本.獨立性：X1,

X2,…,Xn相互獨立.樣本或總體X的容量為n的樣本.

機動目錄上頁下頁返回結束6第6頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月定理

設總體分布函數(shù)為F(x),樣本為（X1,X2,..,Xn),則（X1,X2,..,Xn)的聯(lián)合分布函數(shù)為：機動目錄上頁下頁返回結束若總體的密度函數(shù)為f(x),則其樣本的(聯(lián)合)密度函數(shù)為7第7頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月例如，總體X～b(1,p)，X的分布律P{X=x}=px

(1－p)1－x,x=0,1.P{（X1,X2,X3）=（x1,x2,x3）}樣本(X1,X2,X3)的聯(lián)合分布律為機動目錄上頁下頁返回結束8第8頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月三統(tǒng)計量稱為統(tǒng)計量.Statistic

統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布.相應地，T=T(x1,x2,…,xn)稱為統(tǒng)計量T

的觀測值.Samplingdistribution

定義4

不含未知參數(shù)的樣本函數(shù)T=T(X1,X2,…,Xn)機動目錄上頁下頁返回結束樣本的函數(shù)（二次數(shù)據(jù)。樣

本為一次數(shù)據(jù)、原始數(shù)據(jù)）①隨機的②不含未知參數(shù)的9第9頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月常用統(tǒng)計量樣本k階原點矩樣本k階中心矩相應的觀測值注樣本均值Samplemean

樣本方差Samplevariance

樣本標準差Samplestandarddeviation

Sampleoriginmomentoforderk

Samplecentralmomentoforderk

機動目錄上頁下頁返回結束10第10頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月——矩估計法的理論依據(jù)．樣本均值與樣本方差總存在且是隨機變量；若總體k階矩存在，則大數(shù)定律告訴我們總體均值與總體方差不一定存在,若存在則是數(shù).若總體均值與總體方差存在，則機動目錄上頁下頁返回結束樣本矩與總體矩的關系11第11頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月為由x1,x2,…,xn確定的經(jīng)驗分布函數(shù).四順序統(tǒng)計量與經(jīng)驗分布函數(shù)定義5稱為樣本的順序統(tǒng)計量，其中的觀測值個值.定義6設x1,x2,…,xn是總體X的樣本值，稱函數(shù)Empirical

distributionfunction

即機動目錄上頁下頁返回結束是樣本值按遞增順序排列后的第k12第12頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月例如，設總體X的容量為10的一組樣本觀測值為(1,

2，4，3，3，4，5，6，4，8)，求X的經(jīng)驗分布函數(shù)。機動目錄上頁下頁返回結束13第13頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月經(jīng)驗分布函數(shù)與理論分布函數(shù)的關系經(jīng)驗分布函數(shù)Fn

(x)也可看作統(tǒng)計量.格里汶科（Glivenko，1933）證明了更強的結論：由獨立同分布大數(shù)定律知機動目錄上頁下頁返回結束x(1)x(k)1x(n)因為對于固定的x，F(xiàn)n(x)是的函數(shù).14第14頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月一統(tǒng)計三大分布二單個正態(tài)總體的樣本均值與樣本方差的分布三兩個正態(tài)總體的樣本均值差與樣本方差比的分布第二節(jié)抽樣分布機動目錄上頁下頁返回結束15第15頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月

2分布一統(tǒng)計三大分布

t分布與正態(tài)分布有關

F分布機動目錄上頁下頁返回結束16第16頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月非負偏態(tài)

定義1

設X1,X2,…,Xn

iid且服從N(0,1)，則稱2分布的pdf為服從自由度為n的2分布，記為2

2(n)

.2分布可加性且相互獨立

則

數(shù)字特征機動目錄上頁下頁返回結束Chi-SquareDistributionIndependentandidenticallydistribution17第17頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月稱服從自由度為n的t分布，記為tt(n).

t分布的pdf為對稱定義2

設X

N(0,1),Y

2(n),且X

與Y

獨立，則當n30時，t分布類似于

t分布近似于標準正態(tài)分布.分布

標準正態(tài)

機動目錄上頁下頁返回結束18第18頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月非負偏態(tài)

定義3

設U

2(m),V

2(n),且U與V獨立,則稱服從自由度為

m,

n的F分布，記為F分布的pdf為FF(m,n).

FF(m,n)1/FF(n,m)

F分布機動目錄上頁下頁返回結束19第19頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月例1

設X與Y相互獨立同服從正態(tài)分布N(0,22)，

和X和Y的樣本．問統(tǒng)計量服從什么分布？是分別來自總體機動目錄上頁下頁返回結束20第20頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月課堂練習設總體X服從正態(tài)分布N(0,4),而X1,X2,…,X15是來自總體X的簡單隨機樣本，則隨機變量服從分布。F(10,5)機動目錄上頁下頁返回結束21第21頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月對于給定的(0<<1),稱滿足分位點t(n)=t1(n)當n＞45時，當n＞45時，F(xiàn)(n,m)=1/F1(m,n).F(m,

n)的為X（或其分布）的（上）

分位點.

thquantile機動目錄上頁下頁返回結束22第22頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月1、標準正態(tài)分布設X服從N(0,1),若滿足條件則稱點為標準正態(tài)分布的上分位點。由附表2，

附表2中的1-對應，查1-

就得到。機動目錄上頁下頁返回結束23第23頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月2、2—分布設X

~2(n)，若對于：0<<1，存在

滿足則稱為2(n)分布的上分位點。附表412.54943.273當n＞45時，機動目錄上頁下頁返回結束24第24頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月3、t分布設T～t(n)，若對:0<<1,存在t(n)>0，滿足P{Tt(n)}=，則稱t(n)為t(n)的上側分位點。附表3

2.13181.3104?機動目錄上頁下頁返回結束25第25頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月從附表3中無法查到，-1.3104機動目錄上頁下頁返回結束26第26頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月4、F分布對于：0<<1，若存在F(n1,

n2)>0，滿足P{F>F(n1,n2)}=，則稱F(n1,n2)為F(n1,n2)的上側分位點.附表52.061.82?機動目錄上頁下頁返回結束27第27頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月證明:設F~F(n1,n2),則得證!機動目錄上頁下頁返回結束28第28頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月二單個正態(tài)總體的樣本均值與樣本方差的分布

機動目錄上頁下頁返回結束相互獨立且29第29頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月三兩個正態(tài)總體的樣本均值差與樣本方差比的分布

與

是分別來自正態(tài)總體和的樣本，且相互獨立.當時，機動目錄上頁下頁返回結束30第30頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月例2從正態(tài)總體中抽取樣本X1,X2,…,X10(2)未知，求概率(1)已知，求概率解:(1)由得則(2)機動目錄上頁下頁返回結束31第31頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月機動目錄上頁下頁返回結束例3設總體從兩個總體中分別抽樣，得如下結果：求概率解：由知32第32頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月1

若總體X服從N(μ,σ2)，其中σ2已知，但μ機動目錄上頁下頁返回結束課堂練習未知，而X1,X2,…,Xn是它的一個簡單隨機樣本，試指出中下列量哪些是統(tǒng)計量，哪些不是統(tǒng)計量：提示：(1),(3),(4),(6)33