數(shù)值分析第六章插值法第1頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月插值法的基本原理設(shè)函數(shù)y=f(x)定義在區(qū)間[a,b]上,是[a,b]上取定的n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn),且在這些點(diǎn)處的函數(shù)值為已知,即若存在一個(gè)f(x)的近似函數(shù),滿足則稱為f(x)的一個(gè)插值函數(shù),f(x)為被插函數(shù),點(diǎn)xi為插值節(jié)點(diǎn),稱(6.1)式為插值條件,而誤差函數(shù)R(x)=

稱為插值余項(xiàng),區(qū)間[a,b]稱為插值區(qū)間,插值點(diǎn)在插值區(qū)間內(nèi)的稱為內(nèi)插,否則稱外插

(6.1)第2頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月插值函數(shù)在n+1個(gè)互異插值節(jié)點(diǎn)(i=0,1,…,n)處與相等,在其它點(diǎn)x就用的值作為f(x)的近似值。這一過程稱為插值，點(diǎn)x稱為插值點(diǎn)。換句話說,插值就是根據(jù)被插函數(shù)給出的函數(shù)表“插出”所要點(diǎn)的函數(shù)值。用的值作為f(x)的近似值,不僅希望能較好地逼近f(x),而且還希望它計(jì)算簡(jiǎn)單。由于代數(shù)多項(xiàng)式具有數(shù)值計(jì)算和理論分析方便的優(yōu)點(diǎn)。所以本章主要介紹代數(shù)插值。即求一個(gè)次數(shù)不超過n次的多項(xiàng)式。第3頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月滿足

則稱P(x)為f(x)的n次插值多項(xiàng)式。這種插值法通常稱為代數(shù)插值法。其幾何意義如下圖所示第4頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月定理6.1n次代數(shù)插值問題的解是存在且惟一的

證明:設(shè)n次多項(xiàng)式

是函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的n+1個(gè)互異的節(jié)點(diǎn)(i=0,1,2,…,n)上的插值多項(xiàng)式,則求插值多項(xiàng)式P(x)的問題就歸結(jié)為求它的系數(shù)(i=0,1,2,…,n)。由插值條件:(i=0,1,2,…,n),可得第5頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月這是一個(gè)關(guān)于待定參數(shù)的n+1階線性方程組,其系數(shù)矩陣行列式為

稱為Vandermonde（范德蒙）行列式，因xi≠xj（當(dāng)i≠j），故V≠0。根據(jù)解線性方程組的克萊姆（Gramer）法則，方程組的解存在惟一，從而P(x)被惟一確定。

惟一性說明，不論用何種方法來構(gòu)造，也不論用何種形式來表示插值多項(xiàng)式,只要滿足插值條件(6.1)其結(jié)果都是相互恒等的。

第6頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月§6.3拉格朗日（Lagrange）插值

為了構(gòu)造滿足插值條件(i=0,1,2,…,n)的便于使用的插值多項(xiàng)式P(x),先考察幾種簡(jiǎn)單情形,然后再推廣到一般形式。（

線性插值與拋物插值）（1）線性插值線性插值是代數(shù)插值的最簡(jiǎn)單形式。假設(shè)給定了函數(shù)f(x)在兩個(gè)互異的點(diǎn)的值，,現(xiàn)要求用線性函數(shù)近似地代替f(x)。選擇參數(shù)a和b,使。稱這樣的線性函數(shù)P(x)為f(x)的線性插值函數(shù)。第7頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月線性插值的幾何意義:用通過點(diǎn)和的直線近似地代替曲線y=f(x)由解析幾何知道,這條直線用點(diǎn)斜式表示為

為了便于推廣，記這是一次函數(shù),且有性質(zhì)第8頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

與稱為線性插值基函數(shù)。且有

于是線性插值函數(shù)可以表示為與基函數(shù)的線性組合例6.1已知,,求解:這里x0=100，y0=10，x1=121，y1=11,利用線性插值

第9頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月拉格朗日插值多項(xiàng)式兩個(gè)插值點(diǎn)可求出一次插值多項(xiàng)式,而三個(gè)插值點(diǎn)可求出二次插值多項(xiàng)式。插值點(diǎn)增加到n+1個(gè)時(shí),也就是通過n+1個(gè)不同的已知點(diǎn),來構(gòu)造一個(gè)次數(shù)為n的代數(shù)多項(xiàng)式P(x)。與推導(dǎo)線性插值的基函數(shù)類似,先構(gòu)造一個(gè)特殊n次多項(xiàng)式的插值問題,使其在各節(jié)點(diǎn)上滿足

即由條件()知,都是n次的零點(diǎn),故可設(shè)第10頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月其中為待定常數(shù)。由條件,可求得

于是代入上式,得稱為關(guān)于基點(diǎn)的n次插值基函數(shù)(i=0,1,…,n)

第11頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月以n+1個(gè)n次基本插值多項(xiàng)式為基礎(chǔ),就能直接寫出滿足插值條件的n次代數(shù)插值多項(xiàng)式。事實(shí)上，由于每個(gè)插值基函數(shù)都是n次值多項(xiàng)式,所以他們的線性組合是次數(shù)不超過n次的多項(xiàng)式,稱形如（6.8）式的插值多項(xiàng)式為n次拉格朗日插值多項(xiàng)式。并記為

（6.8）第12頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月第13頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月例6.2已知y=f(x)的函數(shù)表

求線性插值多項(xiàng)式,

并計(jì)算x=1.5的值X13y12解:由線性插值多項(xiàng)式公式得第14頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月例6.3已知x=1,4,9的平方根值,用拋物插值公式,求

(x0–x1)(x0–x2)(x–x1)(x–x2)y0+(x1–x0)(x1–x2)(x–x0)(x–x2)y1+(x2–x0)(x2–x1)(x–x0)(x–x1)y2p2(7)=x0=1,x1=4,x2=9y0=1,y1=2,y2=3(1–4)(1–9)(7–4)(7–9)*1+(4–1)(4–9)(7–1)(7–9)*2+(9–1)(9–4)(7–1)(7–4)*3=2.7p2(x)=第15頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月例6.4已知f(x)的觀測(cè)數(shù)據(jù)

x0124f(x)19233構(gòu)造Lagrange插值多項(xiàng)式解

四個(gè)點(diǎn)可構(gòu)造三次Lagrange插值多項(xiàng)式:基函數(shù)為

第16頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月Lagrange插值多項(xiàng)式為

為便于上機(jī)計(jì)算,常將拉格朗日插值多項(xiàng)式(6.8)改寫成

第17頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

例6.5已知f(x)的觀測(cè)數(shù)據(jù)

x1234f(x)0-5-63構(gòu)造插值多項(xiàng)式

解:四個(gè)點(diǎn)可以構(gòu)造三次插值多項(xiàng)式,將數(shù)據(jù)代入插值公式，有

這個(gè)例子說明p(x)的項(xiàng)數(shù)不超過n+1項(xiàng)，但可以有缺項(xiàng)。第18頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

拉格朗日插值算法實(shí)現(xiàn)

第19頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月x0x1xixi+1xn-1xny=f(x)y=p(x)ab在插值區(qū)間a,b上用插值多項(xiàng)式p(x)近似代替f(x),除了在插值節(jié)點(diǎn)xi上沒有誤差外，在其它點(diǎn)上一般是存在誤差的。若記R(x)=f(x)-p(x)

則R(x)就是用p(x)近似代替f(x)時(shí)的截?cái)嗾`差,或稱插值余項(xiàng)我們可根據(jù)后面的定理來估計(jì)它的大小。6.3.2插值多項(xiàng)式的誤差

第20頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月定理6.3設(shè)f(x)在a,

b有n+1階導(dǎo)數(shù)，x0,x1,…,xn為a,b上n+1個(gè)互異的節(jié)點(diǎn),p(x)為滿足p(xi)=f(xi)(i=1,2,…,n)的n

次插值多項(xiàng)式，那么對(duì)于任何xa,b有插值余項(xiàng)其中a<<b

且依賴于x證明(略)第21頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)于線性插值，其誤差為對(duì)于拋物插值（二次插值），其誤差為第22頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月例6.6已知=100,=121,用線性插值估計(jì)在x=115時(shí)的截?cái)嗾`差解:由插值余項(xiàng)公式知因?yàn)榈?3頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月例6.7已知x0=100,x1=121,x2=144,當(dāng)用拋物插值求在x=115時(shí)的近似值，估計(jì)其的截?cái)嗾`差

解=∵第24頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月例6.8設(shè)f(x)=x4,用余項(xiàng)定理寫出節(jié)點(diǎn)-1,0,1,2的三次插值多項(xiàng)式

解:根據(jù)余項(xiàng)定理第25頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月§6.4均差與牛頓插值多項(xiàng)式拉格朗日插值多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)對(duì)稱，使用方便。但由于是用基函數(shù)構(gòu)成的插值，這樣要增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，所有的基函數(shù)必須全部重新計(jì)算，不具備承襲性，還造成計(jì)算量的浪費(fèi)。這就啟發(fā)我們?nèi)?gòu)造一種具有承襲性的插值多項(xiàng)式來克服這個(gè)缺點(diǎn)，也就是說，每增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，只需增加相應(yīng)的一項(xiàng)即可。這就是牛頓插值多項(xiàng)式。

第26頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月6.4.1差商及其性質(zhì)定義函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[xi

,xi+1]上的平均變化率自變量之差和因變量之差之比叫差商

稱為f(x)關(guān)于xi

,xi+1的一階差商,并記為f[xi

,xi+1]二階差商m階差商第27頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月f[xi,xj,xk]是指f[xi,xj,xk]=f[xj,xk]-f[xi,xj]xk-xi一般的,可定義區(qū)間[xi,xi+1,…,xi+n]上的n階差商為差商及其性質(zhì)第28頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月差商表xif[xi]f[xi,xi+1]f[xi,xi+1,xi+2]f[xi,xi+1,xi+2]x0f(x0)x1f(x1)f[x0,x1]x2f(x2)f[x1,x2]f[x0,x1,x2]x3f(x3)f[x2,x3]f[x1,x2,x3]f[x0,x1,x2,x3]………f[x1,x2]-f[x0,x1]x2–x0第29頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月xif[xi]f[xi,xi+1]f[xi,xi+1,xi+2]f[xi,xi+1,xi+2,xi+2]002832751256216例6.9求f(xi)=x3在節(jié)點(diǎn)x=0,2,3,5,6上的各階差商值解:計(jì)算得如下表第30頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月牛頓(Newton)插值多項(xiàng)式

的系數(shù)可根據(jù)插值條件推出,即由

有……這是關(guān)于的下三角方程組,可以求得

第31頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月一般，用數(shù)學(xué)歸納法可證明

所以n次牛頓(Newton)插值公式為（6.12）

第32頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

可見，牛頓插值多項(xiàng)式Nn(x)是插值多項(xiàng)式p(x)的另一種表示形式,與Lagrange多項(xiàng)式相比它不僅克服了“增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)整個(gè)計(jì)算工作重新開始”的缺點(diǎn),且可以節(jié)省乘除法運(yùn)算次數(shù),同時(shí)在Newton插值多項(xiàng)式中用到差分與差商等概念，又與數(shù)值計(jì)算的其他方面有密切的關(guān)系.它滿足其中ak(k=0,1,2,…,n)為待定系數(shù)，形如（6.12）的插值多項(xiàng)式稱為牛頓(Newton)插值多項(xiàng)式。

第33頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月f[x0,x](x-x0)=f(x)-f(x0)f(x)+f[x0,x](x-x0)=f(x0)f[x1,x0,x](x-x1)=f[x0,x]-f[x1,x0]f[x0,x]+f[x1,x0,x](x-x1)=f[x1,x0]f(x)+(x-x0)f[x1,x0]=f(x0)+(x-x0)(x-x1)f[x1,x0,x]牛頓插值公式(另一種推導(dǎo)方法）第34頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月f(x)=f(x0)+(x-x0)f[x1,x0]+(x-x0)(x-x1)f[x1,x0,x]f[x1,x0,x]=(x-x2)f[x2,x1,x0,x]+f[x2,x1,x0]f(x)=f(x0)+(x-x0)f[x1,x0]+(x-x0)(x-x1)f[x2,x1,x0]+(x-x0)(x-x1)(x-x2)f[x2,x1,x0,x]第35頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月Nn(x)Rn(x)如當(dāng)n=1時(shí)，f(x)=f(x0)+(x-x0)f[x1,x0]+(x-x0)(x-x1)f[x1,x0,x]N1(x)=f(x0)+(x-x0)f[x1,x0],R1(x)=

(x-x0)(x-x1)f[x1,x0,x]其中Nn(x)稱為牛頓插值多項(xiàng)式

Rn(x)稱為牛頓插值余項(xiàng)第36頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月Rn(x)為牛頓插值的誤差。由插值多項(xiàng)式的存在惟一性定理6.1知，滿足同一組插值條件的拉格朗日插值多項(xiàng)式Ln(x)與牛頓插值多項(xiàng)式Nn(x)實(shí)際上是同一個(gè)多項(xiàng)式，僅是同一插值多項(xiàng)式的不同表達(dá)形式而已，因此得到牛頓插值多項(xiàng)式的誤差與拉格朗日插值多項(xiàng)式的誤差也完全相等。故有

可以看出，牛頓插值公式計(jì)算方便，增加一個(gè)插值點(diǎn)，只要多計(jì)算一項(xiàng)，而Nn(x)的各項(xiàng)系數(shù)恰好是各階差商值，很有規(guī)律

第37頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月這個(gè)性質(zhì)可用數(shù)學(xué)歸納法證明（用Lagrange插值多項(xiàng)式比較最高項(xiàng)系數(shù)來得到）性質(zhì)1

函數(shù)f(x)的n階差商f

[x0,x1,…,xn]可由函數(shù)值

f(x0),f(x1),…,f(xn)的線性組合表示,且6.4.2差商及其性質(zhì)第38頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月f[x0,x1]=f[x1,x0]f(x1)-f(x0)x1–x0f(x0)-f(x1)x0–x1=性質(zhì)2差商具有對(duì)稱性,即在k階差商中任意交換兩個(gè)節(jié)點(diǎn)和的次序,其值不變。例如第39頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)3

若f[x,x0,x1,…,xk]是x

的m次多項(xiàng)式,則

f[x,x0,x1,…,xk,xk+1]是x的m-1次多項(xiàng)式證：由差商定義

右端分子為m次多項(xiàng)式,且當(dāng)x=xk+1時(shí),分子為0,故分子含有因子xk+1–x，與分母相消后，右端為m-1次多項(xiàng)式。第40頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月4.4.1差商及其性質(zhì)性質(zhì)4

若f(x)是n次多項(xiàng)式,則f[x,x0,x1,…,xn]恒為0證：f(x)是n次多項(xiàng)式，則f[x,x0]是n-1次多項(xiàng)式,

f[x,x0,x1]是n-2次多項(xiàng)式,依次遞推

…

…，

f[x,x0,x1,…,xn-1]是零次多項(xiàng)式，所以

f[x,x0,x1,…,xn]0第41頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)5k階差商和k階導(dǎo)數(shù)之間有下列關(guān)系這個(gè)性質(zhì)可直接用羅爾（Rolle）定理證明.第42頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月xif[xi]f[xi,xi+1]f[xi,xi+1,xi+2]114293N2(7)=1+(7-1)*0.33333+(7-1)*(7-4)*(-0.01667)=2.69992+(x-x0)(x-x1)f[x1,x0,x2]+(x-x0)f[x1,x0]=f(x0)N(x)例6.10已知x=1,4,9的平方根值，求解：第43頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月4.4.1差商及其性質(zhì)例6.11已知x=0,2,3,5對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為y=1,3,2,5,作三次Newton插值多項(xiàng)式。

xif(xi)一階差商二階差商三階差商0123132-1-2/3553/25/63/10∴所求的三次Newton插值多項(xiàng)式為第44頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月4.4.1差商及其性質(zhì)例6.12已知f(x)=x7+x4+3x+1

求f

[20,21,…27

]及f

[20,21,…27,28

]分析：本題f(x)是一個(gè)多項(xiàng)式,故應(yīng)利用差商的性質(zhì)解:由差商與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系第45頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月例6.13求并估計(jì)其誤差解：作函數(shù)f(x)=取x0=4,x1=9,x2=6.25,建立差商表xf(x)f[xi,xi+1,]f[xi,xi+1,xi+2]42936.252.5N2(7)=2+(7-4)*0.2+(7-4)*(7-9)*(-0.00808)=2.64848第46頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月f(3)(x)=Rn(x)在區(qū)間[4,9]上，余式近似0.5*10-2,N2(7)=2.64848可舍入為2.65|f(x)(n+1)|Mn+1由第47頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月6.4.3差分與等距節(jié)點(diǎn)插值等距節(jié)點(diǎn)xi+1-xi=

h，函數(shù)在等距節(jié)點(diǎn)上的值為y0,

y1,…

,yn，稱yi-1=yi-yi-1為函數(shù)f(x)

在[xi-1,xi]上的一階差分。稱2yi-1=yi-yi-1=

yi+1-2yi

+yi-1為函數(shù)f(x)

在[xi-1,xi+1]上的二階差分。稱kyi-1=k-1yi-k-1yi-1為函數(shù)f(x)

在[xi-1,xi+k-1]上的k階差分。

當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)等距分布時(shí),被插值函數(shù)的變化率就可用差分來表示,這時(shí)牛頓插值公式的形式更簡(jiǎn)單,計(jì)算量更小第48頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月xyy2y3y4yx0y0x1y1x2y2x3y3x4y4y0=y1–y0y1=y2–y1y2=y3–y2y3=y4–y32y0=y1-y02y1=y2-y12y2=y3-y23y0=2y1-2y03y1=2y2-2y14y0等距節(jié)點(diǎn)插值第49頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月y0=y1–y0y1=y2–y1y2=y3–y2=y2–2y1+y02y0=y1-y03y0=2y1-2y0=y3–2y2+y1–(y2–2y1+y0)=y3

–

3y2+3y1–

y02y1=y2-y1=y3–2y2+y1(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3(a-b)2=a2-2ab+b24y0=3y1-3y0=y4–3y3+3y2–y1-(y3–3y2+3y1–y0)=y4

–

4y3+6y2–4

y1+y0(a-b)4=a4-4a3b+6a2b2-4ab3+b3結(jié)論：各階差分中函數(shù)值的系數(shù)正好等于(a-b)r展開式中的系數(shù)第50頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月等距節(jié)點(diǎn)情況下xi=x0+ih，用差分表示差商：=y1–y0h=y01!hf[x1,x2]=y2–y1h=y11!hf[x0,x1,x2]=f[x1,x2]-f[x0,x1]x2–x0=y11!h–y01!h2h=y1-y02h2=2y02!h2f[x1,x2,x3]=f[x3,x2]-f[x2,x1]x3–x1=y21!h–y11!h2h=y2-y12!h2=2y12!h2f[x0,x1,x2,x3]=2y12!h2–2y02!h23h=2y1-2y02*3h3=3y03!h3ny0n!hn第51頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月例6.14計(jì)算f(x)

=x3在等距節(jié)點(diǎn)0，1，2，3,4上的各階差分值xyy2y3y0011283274644y17193761218660第52頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月牛頓前插公式取間距為h,等距節(jié)點(diǎn)x0x1…

xn

順序建立牛頓差商公式f[x0,x1]=y01!hf[x0,x1,x2]=2y02!h2f[x0,x1,x2,x3]=3y03!h3Nn(x)=y0+(x-x0)y01!h+(x-x0)(x-x1)2y02!h2+…+(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)ny0n!hn牛頓前插公式第53頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月Nn(x)Rn(x)因,設(shè),則

第54頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月xyy2y3y4yx0y0x1y1y0x2y2y12y0x3y3y22y13y0x4y4y32y23y14y0第55頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月向后差分函數(shù)y=f(x),若記y-1=f(x0-h),y-2=f(x0-2h),…則各階向后差分一階y0=y0-y-1，y1=y1-y0，y2=y2-y1，…二階2y0=y0-y-1=y0-y-1-(y-1-y-2)=y0-2y-1+y-22y1=y1-y0=y1-y0-(y0-y-1)=y1-2y0+y-1

…K階ky0=k-1y0-k-1y-1ky1=k-1y1-k-1y0第56頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月牛頓后插公式將節(jié)點(diǎn)排列為xnxn-1…

x0,

建立牛頓差商公式f[xn,xn-1]=yn1!hf[xn,xn-1,xn-2]=2yn2!h2f[xn,xn-1,xn-2,xn-3]=3yn3!h3Nn(x)=yn+(x-xn)yn1!h+(x-xn)(x-xn-1)2yn2!h2+…+(x-xn)(x-xn-1)…(x-x1)nynn!hn牛頓后插公式第57頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月Nn(x)Rn(x)因,設(shè),則

第58頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月x-1012y-11311解：建立差分表xyy2y3y-1-10121320211866=-1+1+0+0.375=0.375例6.15按下列數(shù)值表用牛頓前插公式求y(-0.5)的近似值N3(x)第59頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

許多實(shí)際問題不但要求插值函數(shù)p(x)在插值節(jié)點(diǎn)處與被插函數(shù)f(x)有相同的函數(shù)值p(xi)=f(xi)(i=0,1,2,…,n),而且要求在有些節(jié)點(diǎn)或全部節(jié)點(diǎn)上與f(x)的導(dǎo)數(shù)值也相等，甚至要求高階導(dǎo)數(shù)值也相等，能滿足這種要求的插值問題就稱為埃爾米特插值(Hermite)6.5埃爾米特(Hermite)插值第60頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

定義已知n+1個(gè)互異點(diǎn)上的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值,若存在一個(gè)次數(shù)不超過2n+1的多項(xiàng)式H(x)，滿足

則稱H(x)為f(x)的2n+1次埃爾米特(Hermite)插值

6.5.1埃爾米特插值上式給出了2n+2個(gè)條件，可惟一確定一個(gè)次數(shù)不超過2n+1的多項(xiàng)式H2n+1(x)，采用類似于求Lagrange插值多項(xiàng)式的基函數(shù)方法求埃爾米特(Hermite)插值多項(xiàng)式H2n+1(x)

第61頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月次數(shù)不超過2n+1次的多項(xiàng)式的形式為：，

H2n+1(x)=H(x),H2n+1(x)=a0+a1x+a2x2+…+a2n+1x2n+1由2n+2個(gè)條件來確定2n+2個(gè)系數(shù)a0,a1,a2,…a2n+1顯然非常復(fù)雜,所以要用求Lagrange插值多項(xiàng)式的基函數(shù)的方法,求插值基函數(shù)i(x)及i(x)(i=0,1,2,…,n)共有2n+2個(gè),設(shè)每一個(gè)基函數(shù)為次數(shù)不超過2n+1次的多項(xiàng)式，且滿足條件(i,j=0,1,2,…,n)第62頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月Hermite插值多項(xiàng)式可寫成插值基函數(shù)表示的形式驗(yàn)證：第63頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)插值條件可求出和第64頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月H2n+1(x)為滿足條件的2n+1次Hermite插值多項(xiàng)式。

于是同理第65頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月定理滿足插值條件的Hermite插值多項(xiàng)式是惟一的。證:設(shè)和都滿足上述插值條件,令則每個(gè)節(jié)點(diǎn)均為的二重根,即有2n+2個(gè)根，但是不高于2n+1次的多項(xiàng)式，所以，即惟一性得證。

第66頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月定理若f(x)在a,b上存在2n+2階導(dǎo)數(shù)，則2n+1次Hermite插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)為

其中定理的證明可仿照Lagrange插值余項(xiàng)的證明方法請(qǐng)同學(xué)們自行證明第67頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月實(shí)際中使用最廣泛的是三次Hermite插值多項(xiàng)式,即n=1的情況余項(xiàng)第68頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月例6.16已知函數(shù)y=f(x)的數(shù)據(jù)如下表所示,求次數(shù)不超過三次的Hermite的插值多項(xiàng)式H3(x)使

H3(xi)=yi(i=0,1,2)H′3(xi)=y′i

解所求三次Hermite的插值多項(xiàng)式為第69頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月解所求三次Hermite的插值多項(xiàng)式為由插值條件得到以下方程組解上述方程組故得第70頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月§6.6分段線性插值6.6.1高次插值的龍格現(xiàn)象

插值多項(xiàng)式余項(xiàng)公式說明插值節(jié)點(diǎn)越多，一般說