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第4章

正弦交流電路

目錄4.1正弦量4.2正弦量的相量表示法4.3電阻元件的正弦響應(yīng)4.4電感元件的正弦響應(yīng)4.5電容元件的正弦響應(yīng)4.6電阻、電感與電容元件串聯(lián)電路的正弦響應(yīng)4.7一般交流電路的正弦響應(yīng)4.8

功率因數(shù)的提高

4.9交流電路的頻率特性正弦電壓和電流

正弦交流電的電壓和電流是按照正弦規(guī)律周期性變化的。正弦交流電4.1正弦量4.1.1正弦量三要素幅值、頻率、初相位為正弦量的三要素。

正弦量變化一次所需要的時間（秒）稱為周期（T）。每秒內(nèi)變化的次數(shù)稱為頻率（

），單位是赫茲（Hz）。我國和大多數(shù)國家采用50Hz的電力標(biāo)準(zhǔn)，有些國家（美國、日本等）采用60Hz。小常識

正弦量變化的快慢還可用角頻率來表示：

頻率是周期的倒數(shù):=1/T已知=50Hz,求T和ω。[解]T=1/

=1/50=0.02s,ω=2π

=2×3.14×50＝314rad/s例題4.11.頻率和周期2.幅值和有效值瞬時值和幅值

正弦量在任一瞬間的值稱為瞬時值，用小寫字母表示，如

、u、e

等。

瞬時值中的最大的值稱為幅值或最大值，用帶下標(biāo)m的大寫字母表示，如Im、Um、Em等。有效值

在工程應(yīng)用中常用有效值表示交流電的幅度。一般所講的正弦交流電的大小，如交流電壓380V或220V，指的都是有效值。

有效值是用電流的熱效應(yīng)來規(guī)定的。設(shè)一交流電流和一直流電流I流過相同的電阻R，如果在交流電的一個周期內(nèi)交流電和直流電產(chǎn)生的熱量相等，則交流電流的有效值就等于這個直流電的電流I。則交流直流根據(jù)熱效應(yīng)相等有：正弦電壓和電動勢的有效值：

有效值都用大寫字母表示！由可得正弦電流的有效值：3.初相位相位表示正弦量的變化進(jìn)程，也稱相位角。初相位

t=0時的相位。相位：初相位：

0相位：初相位：

初相位給出了觀察正弦波的起點或參考點。說明相位差

兩個同頻率的正弦量的相位之差或初相位之差稱為相位差。則和的相位差為：當(dāng)

時，比

超前角，

比

滯后角。

正弦交流電路中電壓和電流的頻率是相同的，但初相不一定相同，設(shè)電路中電壓和電流為：同相反相的概念同相:相位相同，相位差為零。反相:相位相反，相位差為180°?？偨Y(jié)

描述正弦量的三個特征量：幅值、頻率、初相位返回O下面圖中是三個正弦電流波形。

與

同相，

與

反相。4.2正弦量的相量表示法4.1.1正弦量的表示方法：三角函數(shù)式：★★波形圖：★

相量法：用復(fù)數(shù)的方法表示正弦量返回一個正弦量可以用旋轉(zhuǎn)的有向線段表示。

4.1.2相量法ω長度：正弦量的幅值；幅角：正弦量的初相位;角速度：正弦量的角頻率。旋轉(zhuǎn)的有向線段在縱軸上的投影：正弦量的瞬時值。4.1.3復(fù)數(shù)的四種形式

復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算可用直角坐標(biāo)式或三角形式，乘除法運(yùn)算可用指數(shù)式或極坐標(biāo)式。直角坐標(biāo)式：指數(shù)式：極坐標(biāo)形式：三角形式：表示正弦量的復(fù)數(shù)稱為相量注意：相量用上面打點的大寫字母表示。由復(fù)數(shù)知識可知：j為90°旋轉(zhuǎn)因子。一個相量乘上+j則旋轉(zhuǎn)+90°；乘上-j則旋轉(zhuǎn)-90°。復(fù)數(shù)的模表示正弦量的幅值或有效值復(fù)數(shù)的輻角表示正弦量的初相位正弦電壓的相量形式為：有效值相量幅值相量：一個正弦量可以用旋轉(zhuǎn)的有向線段表示，而有向線段可以用復(fù)數(shù)表示，因此正弦量可以用復(fù)數(shù)來表示。

把表示各個正弦量的有向線段畫在一起就是相量圖，它可以形象地表示出各正弦量的大小和相位關(guān)系。相量圖1.只有正弦周期量才能用相量表示。2.只有同頻率的正弦量才能畫在一張相量圖上。注意電壓相量比電流相量超前角[解](1)用復(fù)數(shù)形式求解根據(jù)基爾霍夫電流定律：在如圖所示的電路中，設(shè)：求總電流

。例題4.2.1（2）用相量圖求解畫出相量圖，并作出平行四邊形，其對角線即是總電流。返回4.3電阻元件的正弦響應(yīng)4.3.1電壓電流關(guān)系設(shè)圖中電流為：根據(jù)歐姆定律：從而：電壓和電流頻率相同，相位相同。相量形式的歐姆定律返回4.3.2功率電壓和電流瞬時值的乘積就是瞬時功率：p≥0，總為正值，所以電阻元件消耗電能，轉(zhuǎn)換為熱能。平均功率平均功率是一個周期內(nèi)瞬時功率的平均值：瞬時功率4.3.3電壓、電流、功率的波形返回4.4電感元件的正弦響應(yīng)4.4.1電壓電流關(guān)系設(shè)一非鐵心電感線圈(線性電感元件，L為常數(shù))：設(shè)電流為參考正弦量：電壓和電流頻率相同，電壓比電流相位超前90°。返回從而：注意！這樣，電壓電流的關(guān)系可表示為相量形式：

ωL單位為歐[姆]。電壓U一定時ωL越大電流I越小，可見它對電流起阻礙作用,

定義為感抗：感抗XL與電感L、頻率

成正比。對于直流電＝0，XL＝0，因此電感對直流電相當(dāng)于短路。

1.瞬時功率P=0表明電感元件不消耗能量。只有電源與電感元件間的能量互換。用無功功率來衡量這種能量互換的規(guī)模。2.平均功率（有功功率）平均功率衡量電路中所消耗的電能，也稱有功功率。4.4.2功率3.無功功率電感元件的無功功率用來衡量電感與電源間能量互換的規(guī)模，規(guī)定電感元件的無功功率為瞬時功率的幅值（它并不等于單位時間內(nèi)互換了多少能量）。它的單位是乏（var）。

無功功率是否與頻率有關(guān)？思考題返回4.4.3電壓、電流、功率的波形返回

在第一個和第三個1/4周期內(nèi)，電流在增大，磁場在建立，p為正值（u和

正負(fù)相同），電感元件從電源取用能量，并轉(zhuǎn)換為磁場能量；在第二個和第四個1/4周期內(nèi),電流在減小，p為負(fù)值（u和

一正一負(fù)），磁場在消失，電感元件釋放原先儲存的能量并轉(zhuǎn)換為電能歸還給電源。這是一個可逆的能量轉(zhuǎn)換過程。在一個周期內(nèi)，電感元件吸收和釋放的能量相等。4.5電容元件的正弦響應(yīng)4.5.1電壓電流關(guān)系對于電容電路：

如果電容兩端加正弦電壓：則：電壓和電流頻率相同，電壓比電流相位滯后90°。返回從而：這樣，電壓電流的關(guān)系可表示為相量形式：

(1/ωC)單位為歐[姆]。電壓U一定時(1/ωC)越大電流I越小,可見它對電流起阻礙作用,

定義為容抗：容抗XC與電容C，頻率

成反比。對直流電＝0，XC→∞，因此電容對直流相當(dāng)于開路，電容具有隔直通交的作用。1.瞬時功率2.平均功率（有功功率）電容的平均功率（有功功率）：

P=0表明電容元件不消耗能量。只有電源與電容元件間的能量互換。4.5.2功率3.無功功率

為了同電感的無功功率相比較，設(shè)電流為參考正弦量，則：

這樣，得出的瞬時功率為：

由此，電容元件的無功功率為：

電容性無功功率為負(fù)值，電感性無功功率取正值。4.5.3電壓、電流、功率的波形返回

在第一個和第三個1/4周期內(nèi)，電壓在增大，電容在充電，p為正值（u和

正負(fù)相同），電容元件從電源取用能量，并轉(zhuǎn)換為電場能量；在第二個和第四個1/4周期內(nèi),電壓在減小，p為負(fù)值（u和

一正一負(fù)），電容在放電，電容元件釋放原先儲存的能量并轉(zhuǎn)換為電能歸還給電源。這是一個可逆的能量轉(zhuǎn)換過程。在一個周期內(nèi)，電容元件吸收和釋放的能量相等。4.6電阻、電感與電容元件串聯(lián)電路的正弦響應(yīng)4.6.1電壓電流關(guān)系根據(jù)基爾霍夫電壓定律：設(shè)串聯(lián)電路電流為參考正弦量，則：

同頻率的的正弦量相加，得出的仍為同頻率的正弦量，所以可得出下面形式的電源電壓：返回相量關(guān)系

基爾霍夫電壓定律的相量形式為：

由此：其中實部為“阻”，虛部為“抗”，稱為阻抗。阻抗Z不是一個相量，而是一個復(fù)數(shù)計算量。阻抗模：單位為歐[姆]。反映了電壓與電流之間的大小關(guān)系。阻抗角（電壓與電流的相位差）：

其大小由電路參數(shù)決定，反映了電壓與電流之間的相位關(guān)系。4.6.2復(fù)數(shù)形式的歐姆定律

由此可得：復(fù)數(shù)形式的歐姆定律：相量圖電壓三角形相量圖中由、、構(gòu)成的三角形稱為電壓三角形。1.瞬時功率2.平均功率（有功功率）4.6.2功率根據(jù)電壓三角形：于是有功功率為：無功功率功率因數(shù)

3.視在功率單位為：伏·安（V·A）功率﹑電壓﹑阻抗三角形

返回有功功率、無功功率和視在功率的關(guān)系：4.7一般交流電路的正弦響應(yīng)4.7.1阻抗的串聯(lián)

根據(jù)基爾霍夫電壓定律：用一個等效阻抗Z兩個串聯(lián)的阻抗，則：

比較上面兩式得等效阻抗為：返回，多個阻抗串聯(lián)時，等效阻抗為：式中：注意！對于兩個阻抗串聯(lián)電路,一般情況下：即：所以：兩個阻抗串聯(lián)時，什么情況下：成立？思考題例題

兩個阻抗和串聯(lián)接在的電源上。試用相量計算電路的電流和各阻抗上的電壓。[解]驗算方法：是否4.7.2阻抗的并聯(lián)

根據(jù)基爾霍夫電流定律：用一個等效阻抗Z兩個并聯(lián)的阻抗，則：

比較上面兩式得等效阻抗為：或多個阻抗并聯(lián)時：對于兩個阻抗并聯(lián)電路,一般情況下：注意！即：所以：兩個阻抗并聯(lián)時，什么情況下：成立？思考題例題

兩個阻抗和并聯(lián)接在的電源上。計算電路的各支路的電流和總電流。返回4.8功率因數(shù)的提高

負(fù)載的有功功率：

負(fù)載的無功功率：功率因數(shù)低的原因：

只有電阻性負(fù)載的功率因數(shù)為1。其它負(fù)載電壓和電流間存在相位差，功率因數(shù)介于0和1之間。功率因數(shù)：返回功率因數(shù)低的危害：(2)增加線路和發(fā)電機(jī)繞組的功率損耗。

發(fā)電機(jī)的電壓U和輸出功率P一定時，電流I與功率因數(shù)成反比。線路和發(fā)電機(jī)繞組上的功率損耗與功率因數(shù)成反比。提高功率因數(shù)可以提高發(fā)電設(shè)備的利用率，并節(jié)約大量電能。(1)發(fā)電設(shè)備的容量不能充分利用。

額定情況下發(fā)電設(shè)備發(fā)出的有功功率：

因為發(fā)電設(shè)備的額定功率一定，所以功率因數(shù)越小發(fā)電設(shè)備的發(fā)出的有功功率越小，無功功率越大。額定功率一定提高功率因數(shù)的常用方法：并聯(lián)電容

由相量圖可以看出，并聯(lián)電容后阻抗角減小了，功率因數(shù)提高了，電源與負(fù)載之間的能量互換減少了，這時電感性負(fù)載所需的無功功率大部分或全部由并聯(lián)的電容供給，也就是說能量的互換主要或完全發(fā)生在電感性負(fù)載和并聯(lián)的電容之間。例題

有一電感性負(fù)載，其功率P=10kW,功率因數(shù)為0.6,接在電壓U=220V的電源上，電源頻率為50Hz。（1）如要將功率因數(shù)提高到0.95，試求與負(fù)載并聯(lián)的電容器的電容值和電容器并聯(lián)前后的線路電流。（2）如要將功率因數(shù)從0.95再提高到1，試問并聯(lián)電容器的電容值還需增加多少。解：由相量圖可得：又因：所以：由此得：并聯(lián)電容前線路的電流為：并聯(lián)電容后線路的電流為：（2）如要將功率因數(shù)由0.95再提高到1，則要增加的電容值為：

由此可見，功率因數(shù)已經(jīng)接近于1時再繼續(xù)提高，則所需的電容值是很大的，因此一般不必提高到1。返回4.9交流電路的頻率特性頻率特性：電路中電壓和電流隨頻率變化的關(guān)系。時域分析：在時間領(lǐng)域內(nèi)對電路進(jìn)行分析。頻域分析：在頻率領(lǐng)域內(nèi)對電路進(jìn)行分析。4.9.1

RC串聯(lián)電路的頻率特性概念傳遞函數(shù)：電路輸出電壓與輸入電壓的比值。返回1.低通濾波電路設(shè)則：式中：

傳遞函數(shù)：幅頻特性：相頻特性：頻率特性：000.707100.7071OO

ω<ω0時,變化不大，接近于1。

ω>ω0時,明顯下降。由幅頻特性可知：低通濾波電路使低頻信號容易通過，抑制高頻信號。由此可見：定義：半功率點頻率：當(dāng)

時，當(dāng)

時，分貝數(shù)定義：-3dB頻率：2.高通濾波電路設(shè)則：傳遞函數(shù)：式中：wwwwwww02001111arctan)(D???è?+=-=jjT幅頻特性：頻率特性：相頻特性：高通濾波器使高頻信號容易通過，抑制低頻信號。010.707100.7071OO3.帶通濾波電路傳遞函數(shù)：頻率特性：幅頻特性：設(shè)則0.707/3)(wj001/300相頻特性：通頻帶：1/34.9.2

串聯(lián)諧振

串聯(lián)諧振頻率：串聯(lián)諧振的條件：則：如果：電壓與電流同相，發(fā)生串聯(lián)諧振。諧振的概念：含有電感和電容的交流電路，電路兩端電壓和電路的電流同相，這時電路中就發(fā)生了諧振現(xiàn)象。串聯(lián)諧振特征：(1)電路的阻抗模最小，電流最大。因為所以從而在電源電壓不變的情況下，電路中的電流達(dá)到最大值：(2)電壓與電流同相，電路對外呈電阻性。

此時，電路外部（電源）供給電路的能量全部被電阻消耗，電路不與外部發(fā)生能量互換。能量的互換只發(fā)生在電感與電容之間。(3)

和有效值相等，相位相反，互相抵消，對整個電路不起作用，因此電