第5課時(shí)與圓有關(guān)的比例線段第5課時(shí)與圓有關(guān)的比例線段【課標(biāo)要求】1．經(jīng)歷相交弦定理、割線定理、切割線定理、切線長(zhǎng)定理的探究過(guò)程，體會(huì)運(yùn)動(dòng)變化思想，認(rèn)識(shí)四條定理的內(nèi)在聯(lián)系．2．理解相交弦定理、割線定理、切割線定理、切線長(zhǎng)定理，能應(yīng)用四條定理解決相關(guān)的幾何問(wèn)題．3．通過(guò)探究，進(jìn)一步體會(huì)運(yùn)動(dòng)變化思想，體驗(yàn)數(shù)學(xué)探究的過(guò)程．【核心掃描】1．理解相交弦定理、割線定理、切割線定理及切線長(zhǎng)定理．(重點(diǎn))2．運(yùn)用這些定理解決相關(guān)的幾何問(wèn)題．(難點(diǎn))【課標(biāo)要求】自學(xué)導(dǎo)引1．相交弦定理

(1)定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的

相等．

(2)如圖所示，AB、CD是⊙O的兩條弦，

AB、CD相交于點(diǎn)P，則PA·PB＝________.兩條線段長(zhǎng)的積PC·PD自學(xué)導(dǎo)引兩條線段長(zhǎng)的積PC·PD2．割線定理

(1)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的_____相等．

(2)如果PA和PC是圓的兩條割線，與圓分別交于點(diǎn)B、A和D、C，則PA·PB＝_________.積PC·PD2．割線定理積PC·PD3．切割線定理

(1)切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的___________．

(2)如圖所示，PBA是⊙O的割線，PC是⊙O的切線，則PC2＝__________.比例中項(xiàng)PA·PB3．切割線定理比例中項(xiàng)PA·PB4．切線長(zhǎng)定理

(1)切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的_______．

(2)如圖所示，PA、PC是⊙O的切線，則有PA＝______.夾角PC4．切線長(zhǎng)定理夾角PC名師點(diǎn)睛1．相交弦定理的證明過(guò)程是利用了分類討論思想進(jìn)行分析的，也可以理解為由特殊到一般的過(guò)程進(jìn)行分析的．2．割線定理是圓中的比例線段，在證明割線定理時(shí)所用的構(gòu)造相似三角形的方法十分重要，應(yīng)注意很好地把握．3．要真正弄懂切割線定理的數(shù)量關(guān)系，把握定理敘述中的“從”、“引”、“切線長(zhǎng)”、“兩條線段長(zhǎng)”等關(guān)鍵字樣．名師點(diǎn)睛4．(1)切線長(zhǎng)定理在證明線段相等、角相等及垂直關(guān)系中占有重要地位，故為重點(diǎn)．

(2)“切割線定理”和“切線長(zhǎng)定理”實(shí)際上是割線定理的特例．

(3)深刻理解結(jié)論：由于圓是軸對(duì)稱圖形，在圖中若再連接AB與OP交于點(diǎn)C，則存在射影定理的基本圖形，于是有AC2＝BC2＝PC·OC，PA2＝PB2＝PC·PO，AO2＝BO2＝OC·OP.4．(1)切線長(zhǎng)定理在證明線段相等、角相等及垂直關(guān)系中占有重題型一相交弦定理的應(yīng)用【例1】在半徑為12cm的圓中，垂直平分半徑的弦的長(zhǎng)為(

)．

A．3cm B．27cm C．12cm D．6cm [思維啟迪]

準(zhǔn)確使用相交弦定理解決此題．題型一相交弦定理的應(yīng)用《與圓有關(guān)的比例線段》課件3優(yōu)質(zhì)公開(kāi)課人教A版選修答案C答案C反思感悟用相交弦定理解決此類問(wèn)題步驟：①結(jié)合圖形，找準(zhǔn)分點(diǎn)及線段被分點(diǎn)所分成的線段；②正確應(yīng)用相交弦定理列出關(guān)系式；③代入數(shù)值運(yùn)算，求出正確的答案．反思感悟用相交弦定理解決此類問(wèn)題步驟：【變式1】如圖所示，已知AP＝3cm，PB＝5cm，CP＝2.5cm，求CD.

解由相交弦定理，得PA·PB＝PC·PD.

將PA＝3cm，PB＝5cm代入上式，得PD＝6cm.

所以CD＝CP＋PD＝6＋2.5＝8.5(cm)．【變式1】如圖所示，已知AP＝3cm，PB＝5cm，C題型二切割線定理的應(yīng)用【例2】如圖，AD為⊙O的直徑，AB為⊙O的切線，割線BMN交AD的延長(zhǎng)線于C，且BM＝MN＝NC， 若AB＝2.求: (1)BC的長(zhǎng)；

(2)⊙O的半徑r.題型二切割線定理的應(yīng)用《與圓有關(guān)的比例線段》課件3優(yōu)質(zhì)公開(kāi)課人教A版選修反思感悟(1)應(yīng)用切割線定理的一般步驟：①觀察圖形，尋找切割線定理成立的條件；②找準(zhǔn)相關(guān)線段的長(zhǎng)度，列出等式；③解方程，求出結(jié)果．(2)應(yīng)用切割線定理及割線定理的前提條件：只有從圓外一點(diǎn)才可能產(chǎn)生割線定理或切割線定理，切割線定理是指一條切線和一條割線，而割線定理則是指兩條割線，只有弄清前提，才能正確運(yùn)用定理．反思感悟(1)應(yīng)用切割線定理的一般步驟：【變式2】如圖，已知Rt△ABC的兩條直角邊AC、BC的長(zhǎng)分別為3cm、4cm，以AC為直徑作圓與斜邊AB交于點(diǎn)D，求BD的長(zhǎng)．【變式2】如圖，已知Rt△ABC的兩條直角邊AC、BC的長(zhǎng)《與圓有關(guān)的比例線段》課件3優(yōu)質(zhì)公開(kāi)課人教A版選修題型三切線長(zhǎng)定理的應(yīng)用【例3】如圖所示，P為⊙O外一點(diǎn)，PA、PB分別切⊙O于點(diǎn)A、B，點(diǎn)C為AB上任意一點(diǎn)，過(guò)C作⊙O的切線，分別交PA、PB于點(diǎn)D、E，△PDE的周長(zhǎng)為8cm，且∠DOE＝70°， 求(1)PA的長(zhǎng)；(2)∠P的度數(shù)．

[思維啟迪]利用切線長(zhǎng)定理解決此題．題型三切線長(zhǎng)定理的應(yīng)用解(1)PA＝PD＋DA，PB＝PE＋EB，DE＝DC＋CE.由“切線長(zhǎng)定理”可知PA＝PB，DA＝DC，EB＝EC.所以PA＋PB＝2PA＝PD＋PE＋DA＋EB＝PD＋PE＋(DC＋EC)，即2PA＝PD＋PE＋DE.而△PDE的周長(zhǎng)＝PD＋PE＋DE＝8cm.所以2PA＝8cm，PA＝4cm.解(1)PA＝PD＋DA，PB＝PE＋EB，DE＝DC＋C(2)連接OA、OB、OC，則PA⊥OA，PB⊥OB，DE⊥OC，且∠1＝∠2，∠3＝∠4＝∠9＝90°.由三角形內(nèi)角和得∠5＝∠6，∠7＝∠8.又∠P＋∠PAO＋∠AOB＋∠PBO＝360°，所以∠P＝180°－(∠5＋∠6＋∠7＋∠8)．由已知∠6＋∠7＝70°，所以∠5＋∠6＋∠7＋∠8＝140°，所以∠P＝180°－140°＝40°.(2)連接OA、OB、OC，則PA⊥OA，PB⊥OB，DE⊥反思感悟切線上一點(diǎn)到切點(diǎn)的距離為切線長(zhǎng)，并且這點(diǎn)與圓心的連線平分兩條切線的夾角．解此題第(2)問(wèn)時(shí)，注意四邊形內(nèi)角和這一隱含條件的使用，當(dāng)已知條件中有切線時(shí)，通常連結(jié)切點(diǎn)和圓心，以便使用“垂直”這一結(jié)論，這也是切線問(wèn)題常用的輔助線．反思感悟切線上一點(diǎn)到切點(diǎn)的距離為切線長(zhǎng)，并且這點(diǎn)與圓心的連【變式3】如圖，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，AC、BC、AB分別與⊙O切于點(diǎn)D、E、F，∠C＝90°，AD＝3，⊙O的半徑為2，則BC＝________.

解析如圖所示，分別連接OD，OE、OF. ∵OE＝OD，CD＝CE，OE⊥BC，

OD⊥AC， ∴四邊形OECD是正方形．【變式3】如圖，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，AC、BC、AB分設(shè)BF＝x，則BE＝x.∵AD＝AF＝3，CD＝CE＝2，∴(2＋x)2＋25＝(x＋3)2，解得x＝10，∴BC＝12.答案12設(shè)BF＝x，則BE＝x.高考在線與圓有關(guān)的比例線段的考查考點(diǎn)點(diǎn)擊高考題在這部分可能與圓的切線、以及其他知識(shí)綜合出現(xiàn)，以前在中考中此部分是考查的重點(diǎn)，現(xiàn)在放在高中部分，雖不是高考的重點(diǎn)，但有可能出現(xiàn)在選擇題、填空題中，且難度較小．高考在線與圓有關(guān)的比例線段的考查【考題1】(2012·北京高考)如圖，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，以BD為直徑的圓與BC交于點(diǎn)E，則(

)．

A．CE·CB＝AD·DB

B．CE·CB＝AD·AB C．AD·AB＝CD2

D．CE·EB＝CD2

解析∵CD⊥AB，∴以BD為直徑的圓與CD相切．∴CD2＝CE·CB.在Rt△ABC中，CD為斜邊AB上的高，有CD2＝AD·DB，因此，CE·CB＝AD·DB.

答案A

反思感悟本題考查直角三角形射影定理．切割線定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力．【考題1】(2012·北京高考)如圖，∠ACB＝90°，C《與圓有關(guān)的比例線段》課件3優(yōu)質(zhì)公開(kāi)課人教A版選修反思感悟