第第頁人教A版高二數(shù)學選擇性必修第一冊第一章1.4.1空間向量的應用（一）同步練習（含解析）本資料分享自高中數(shù)學同步資源大全群483122854專注收集同步資源期待你的加入與分享

1.4.1空間向量應用（一）

考法一平面的法向量

【例1】（2023年廣東潮州）如圖已知ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，試建立適當?shù)淖鴺讼担?/p>

(1)求平面ABCD的一個法向量；

(2)求平面SAB的一個法向量；

(3)求平面SCD的一個法向量．

【答案】見解析

【解析】以點A為原點，AD、AB、AS所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D，S(0,0,1)．

(1)∵SA⊥平面ABCD，∴＝(0,0,1)是平面ABCD的一個法向量．

(2)∵AD⊥AB，AD⊥SA，∴AD⊥平面SAB，∴＝是平面SAB的一個法向量．

(3)在平面SCD中，＝，＝(1,1，－1)．設平面SCD的法向量是n＝(x，y，z)，

則n⊥，n⊥，所以得方程組∴

令y＝－1，得x＝2，z＝1，∴n＝(2，－1,1)．

【一隅三反】

1．（2023年廣東惠州）正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別為棱A1D1、A1B1的中點，在如圖所示的空間直角坐標系中，求：

(1)平面BDD1B1的一個法向量；

(2)平面BDEF的一個法向量．

【答案】見解析

【解析】設正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，則D(0,0,0)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(1,0,2)．

(1)連接AC(圖略)，因為AC⊥平面BDD1B1，所以＝(－2,2,0)為平面BDD1B1的一個法向量．

(2)＝(2,2,0)，＝(1,0,2)．設平面BDEF的一個法向量為n＝(x，y，z)．

∴∴∴

令x＝2，得y＝－2，z＝－1.∴n＝(2，－2，－1)即為平面BDEF的一個法向量.

2．（2023·漣水縣第一中學高二月考）四棱錐中，底面，為正方形的對角線，給出下列命題：

①為平面PAD的法向量；

②為平面PAC的法向量；

③為直線AB的方向向量；

④直線BC的方向向量一定是平面PAB的法向量．

其中正確命題的序號是______________

【答案】②，③，④

【解析】①因為底面是正方形，所以，由平面PAD知不是平面PAD的法向量；

②由底面是正方形知，因為底面，BD平面ABCD，所以，又，平面PAC，平面PAC，所以平面PAC，為平面PAC的法向量，②正確；

③因為底面是正方形，所以，則為直線AB的方向向量，③正確；

④易知，因為底面，平面ABCD，所以，又，平面PAB，平面PAB，所以平面PAB，故④正確.

故答案為：②，③，④

考點二空間向量證明平行

【例2】（2023年廣東湛江二中周測）如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點．

求證：PB∥平面EFG.

（2）證明平面EFG∥平面PBC

【答案】見解析

【解析】

證明∵平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD，

∴AB，AP，AD兩兩垂直，以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz，則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，

D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(xiàn)(0，1，1)，G(1，2，0)．

∴＝(2，0，－2)，＝(0，－1，0)，＝(1，1，－1)，設＝s＋t，

即(2，0，－2)＝s(0，－1，0)＋t(1，1，－1)，

∴解得s＝t＝2，∴＝2＋2，

又∵與不共線，∴，與共面．∵PB平面EFG，∴PB∥平面EFG.

（2）證明∵＝(0，1，0)，＝(0，2，0)，∴＝2，∴BC∥EF.

又∵EF平面PBC，BC平面PBC，∴EF∥平面PBC，

同理可證GF∥PC，從而得出GF∥平面PBC.又EF∩GF＝F，EF，GF平面EFG，

∴平面EFG∥平面PBC.

【一隅三反】

1.在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是CC1，B1C1的中點．求證：MN∥平面A1BD．

【答案】見解析

【解析】法一如圖，以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為1，則D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，M，N，于是＝(1,0,1)，＝(1,1,0)，＝.設平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)，則

即取x＝1，則y＝－1，z＝－1，∴平面A1BD的一個法向量為n＝(1，－1，－1)．

又·n＝·(1，－1，－1)＝0，∴⊥n.∴MN∥平面A1BD．

法二＝－＝－＝(－)＝，∴∥，∴MN∥平面A1BD．

法三＝－＝－＝－＝－＝－.

即可用與線性表示，故與，是共面向量，故MN∥平面A1BD．

2．（2023·上海楊浦.復旦附中高二期中）已知平面的一個法向量為，則直線與平面的位置關系為_______.

【答案】直線在平面上或直線與平面平行

【解析】由，所以.又向量為平面的一個法向量.

所以直線在平面上或直線與平面平行.

故答案為：直線在平面上或直線與平面平行.

3．（2023·江蘇海陵.泰州中學高二月考）已知直線平面，且的一個方向向量為，平面的一個法向量為，則______.

【答案】

【解析】由題意，知，∴，即，∴.

故答案為：

考法三空間向量證垂直

【例3】（2023.廣東.田家炳中學）如圖所示，正三棱柱(底面為正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點．求證：AB1⊥平面A1BD.

【答案】見解析

【解析】方法一設平面A1BD內(nèi)的任意一條直線m的方向向量為m.由共面向量定理，則存在實數(shù)λ，μ，使m＝λ＋μ.令＝a，＝b，＝c，顯然它們不共面，并且|a|＝|b|＝|c|＝2，a·b＝a·c＝0，b·c＝2，以它們?yōu)榭臻g的一個基底，

則＝a＋c，＝a＋b，＝a－c，m＝λ＋μ＝a＋μb＋λc，

·m＝(a－c)·＝4－2μ－4λ＝0.故⊥m，結論得證．

方法二取BC的中點O，連接AO.

因為△ABC為正三角形，所以AO⊥BC.

因為在正三棱柱ABC—A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，

且平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，AO平面ABC，所以AO⊥平面BCC1B1.

取B1C1的中點O1，以O為原點，分別以OB，OO1，OA所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，

如圖所示，則B(1，0，0)，D(－1，1，0)，A1(0，2，)，A(0，0，)，B1(1，2，0)．

設平面A1BD的一個法向量為n＝(x，y，z)，＝(－1，2，)，＝(－2，1，0)．

因為n⊥，n⊥，故即

令x＝1，則y＝2，z＝－，故n＝(1，2，－)為平面A1BD的一個法向量，

而＝(1，2，－)，所以＝n，所以∥n，故AB1⊥平面A1BD.

【一隅三反】

1．（2023·浙江高三其他）已知平面的法向量為，，則直線與平面的位置關系為（）

A．B．C．與相交但不垂直D．

【答案】A

【解析】.

本題選擇A選項.

2．（2023·安徽池州。高二期末（理））已知平面的法向量為，若直線平面，則直線l的方向向量可以為（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【解析】因為直線平面，故直線l的方向向量與平面的法向量平行，

因為,故選：B.

3．（2023·瓦房店市實驗高級中學高二月考）四棱錐中，底面是平行四邊形，，，，則直線與底面的關系是()

A．平行B．垂直C．在平面內(nèi)D．成60°角

【答案】B

【解析】依題意，而，所以，而，所以平面.故選：B

4．（2023·江蘇省邗江中學高一期中）如圖，在正方體中，分別是的中點，試用空間向量知識解決下列問題

（1）求證：（2）求證平面．

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析

【解析】（1）如圖所示：以為軸建立空間直角坐標系，設正方體邊長為，

則，，，，，

故，，故，故.

（2），故，故，

又，，故平面.

5．（2023·九臺市第四中學高二期末（理））如圖，平面，四邊形是矩形，，點是的中點，點在邊上移動.

（1）當點為的中點時，試判斷與平面的位置關系，并說明理由；

（2）證明：無論點E在邊BC的何處，都有.

【答案】（1）平面，理由見解析.（2）證明見解析

【解析】（1）是的中點，是的中點，

.又平面.平面，

平面.

（2）以為原點，所在的直線分別為軸軸軸建立空間直角坐標系，

則，，，

設，則

在上，

設，

，，

，.

無論點在邊的何處，都有.

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1.4.1空間向量應用（一）

考法一平面的法向量

【例1】（2023年廣東潮州）如圖已知ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，試建立適當?shù)淖鴺讼担?/p>

(1)求平面ABCD的一個法向量；

(2)求平面SAB的一個法向量；

(3)求平面SCD的一個法向量．

【一隅三反】

1．（2023年廣東惠州）正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別為棱A1D1、A1B1的中點，在如圖所示的空間直角坐標系中，求：

(1)平面BDD1B1的一個法向量；

(2)平面BDEF的一個法向量．

2．（2023·漣水縣第一中學高二月考）四棱錐中，底面，為正方形的對角線，給出下列命題：

①為平面PAD的法向量；

②為平面PAC的法向量；

③為直線AB的方向向量；

④直線BC的方向向量一定是平面PAB的法向量．

其中正確命題的序號是______________

考點二空間向量證明平行

【例2】（2023年廣東湛江二中周測）如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點．

求證：PB∥平面EFG.

（2）證明平面EFG∥平面PBC

【一隅三反】

1.在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是CC1，B1C1的中點．求證：MN∥平面A1BD．

2．（2023·上海楊浦.復旦附中高二期中）已知平面的一個法向量為，則直線與平面的位置關系為_______.

3．（2023·江蘇海陵.泰州中學高二月考）已知直線平面，且的一個方向向量為，平面的一個法向量為，則______.

考法三空間向量證垂直

【例3】（2023.廣東.田家炳中學）如圖所示，正三棱柱(底面為正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點．求證：AB1⊥平面A1BD.

【一隅三反】

1．（2023·浙江高三其他）已知平面的法向量為，，則直線與平面的位置關系為（）

A．B．C．與相交但不垂直D．

2．（2023·安徽池州。高二期末（理））已知平面的法向量為，若直線平面，則直線l的方向向量可以為（）

A．B．

C．D．

3．（2023·瓦房店市實驗高級中學高二月考）四棱錐中，底面是平行四邊形，，，，則直線與底面的關系是