數(shù)值分析上機(jī)作業(yè)數(shù)值分析上機(jī)實(shí)驗(yàn)報(bào)告選題：曲線擬合的最小二乘法課題八曲線擬合的最小二乘法一、問(wèn)題提出從隨機(jī)的數(shù)據(jù)中找出其規(guī)律性，給出其近似表達(dá)式的問(wèn)題，在生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中大量存在，通常利用數(shù)據(jù)的最小二乘法求得擬合曲在某冶煉過(guò)程中，根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的含碳量與時(shí)間關(guān)系，試求含碳量y0051015202530354045500ty(×10-4)二、要求1、用最小二乘法進(jìn)行曲線擬合；2、近似解析表達(dá)式為v(t)=at+at2+at3；233、打印出擬合函數(shù)v(t)，并打印出vj)與yj)的誤差，4、另外選取一個(gè)近似表達(dá)式，嘗試擬合效果的比較；5、*繪制出曲線擬合圖*。三、目的和意義1、掌握曲線擬合的最小二乘法；2、最小二乘法亦可用于解超定線代數(shù)方程組；3、探索擬合函數(shù)的選擇與擬合精度間的關(guān)系。四、計(jì)算公式inii特別的，取(x)為多項(xiàng)式j(luò)j則根據(jù)最小二乘法原理，可以構(gòu)造泛函令?ak則可以得到法方程求該解方程組，則可以得到解a,a,…,a，因此可得到數(shù)據(jù)的最小二01m乘解曲線擬合：實(shí)際工作中，變量間未必都有線性關(guān)系，如服藥后血藥濃度與時(shí)間的關(guān)系；疾病療效與療程長(zhǎng)短的關(guān)系；毒物劑量與致死率的關(guān)系等常呈曲線關(guān)系。曲線擬合是指選擇適當(dāng)?shù)那€類(lèi)型來(lái)擬合觀測(cè)數(shù)據(jù)，并用擬合的曲線方程分析兩變量間的關(guān)系。五、結(jié)構(gòu)程序設(shè)計(jì)在程序結(jié)構(gòu)方面主要是按照順序結(jié)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計(jì)，在進(jìn)行曲線的擬合時(shí)，為了進(jìn)行比較，在程序設(shè)計(jì)中，直接調(diào)用了最小二乘法的擬合函數(shù)polyfit，并且依次調(diào)用了plot、figure、holdon函數(shù)進(jìn)行圖象的繪制，最后調(diào)用了一個(gè)絕對(duì)值函數(shù)abs用于計(jì)算擬合函數(shù)與原有數(shù)據(jù)的誤差，進(jìn)行擬合效果的比較。用一元三次多項(xiàng)式(t)=a1t+a2t2+a3t3進(jìn)行擬合t=[05101520253035404550y=[0];>>n=length(xi);f=.*10.^(-4)*x.^.*10.^(-3)*x.^2+.*x+;x=0::55;F=.*10.^(-4)*x.^.*10.^(-3)*x.^2+.*x+;fy=abs(f-y);fy2=fy.^2;Ew=max(fy),E1=sum(fy)/n,E2=sqrt((sum(fy2))/n)plot(xi,y,'t*'),holdon,plot(t,F,'b-'),holdoffEExiyiy=f(x)的圖形如圖.Ew=E1=E2=圖一元三次多項(xiàng)式擬合曲線誤差圖(t)=at+at2+at3+at4進(jìn)行擬合：12341234xi=[0510152025303540455055];y=[0];n=length(xi);x=0::55;f=.*10.^(-6)*x.^.*10.^(-4)*x.^.*x.^2+.*x+;x=0::55;F=.*10.^(-6)*x.^.*10.^(-4)*x.^.*x.^2+.*x+;fy=abs(f-y);fy2=fy.^2;Ew=max(fy),E1=sum(fy)/n,E2=sqrt((sum(fy2))/n)plot(xi,y,'r*'),holdon,plot(x,F,'b-'),holdoff所得函數(shù)為xiyif最大誤差Ew，平均誤差fxEw=E1=、E2=圖一元四次多項(xiàng)式擬合曲線誤差圖123>>symsa1a2a3x=[0510152025303540455055];fi=a1.*x.^2+a2.*x+a3123fi=[a3,25*a1+5*a2+a3,100*a1+10*a2+a3,225*a1+15*a2+a3,400*a1+20*a2+a3,625*a1+25*a2+a3,900*a1+30*a2+a3,1225*a1+35*a2+a3,1600*a1+40*a2+a3,2025*a1+45*a2+a3,2500*a1+50*a2+a3,3025*a1+55*a2+a3]y=[0];fi=[a3,25*a1+5*a2+a3,100*a1+10*a2+a3,225*a1+15*a2+a3,400*a1+20*a2+a3,625*a1+25*a2+a3,900*a1+30*a2+a3,1225*a1+35*a2+a3,1600*a1+40*a2+a3,2025*a1+45*a2+a3,2500*a1+50*a2+a3,3025*a1+55*a2+a3];fy=fi-y;fy2=fy.^2;J=sum(fy.^2)運(yùn)行后屏幕顯示誤差平方和如下：J=(100*a1+10*a2+a3-54/25)^2+(25*a1+5*a2+a3-127/100)^2+(225*a1+15*a2+a3-143/50)^2+(400*a1+20*a2+a3-86/25)^2+(900*a1+30*a2+a3-83/20)^2+(625*a1+25*a2+a3-387/100)^2+(1225*a1+35*a2+a3-437/100)^2+(1600*a1+40*a2+a3-451/100)^2+(2025*a1+45*a2+a3-229/50)^2+(2500*a1+50*a2+a3-201/50)^2+(3025*a1+55*a2+a3-116/25)^2+a3^2?J程序完成，即輸入程序：>>symsa1a2a3J=(100*a1+10*a2+a3-54/25)^2+(25*a1+5*a2+a3-127/100)^2+(225*a1+15*a2+a3-143/50)^2+(400*a1+20*a2+a3-86/25)^2+(900*a1+30*a2+a3-83/20)^2+(625*a1+25*a2+a3-387/100)^2+(1225*a1+35*a2+a3-437/100)^2+(1600*a1+40*a2+a3-451/100)^2+(2025*a1+45*a2+a3-229/50)^2+(2500*a1+50*a2+a3-201/50)^2+(3025*a1+55*a2+a3-116/25)^2+a3^2;Ja1=diff(J,a1);Ja2=diff(J,a2);Ja3=diff(J,a3);Ja11=simple(Ja1),Ja21=simple(Ja2),Ja31=simple(Ja3),Ja21=1089000*a1+25300*a2+660*a3-27131/10Ja31=25300*a1+660*a2+24*a3-3987/50B=[217403/2,27131/10,3987/50];C=B/A,F=poly2sym(C)C=編寫(xiě)下面的MATLAB程序估計(jì)其誤差，并作出擬合曲線和數(shù)據(jù)的圖>>xi=[0510152025303540455055];y=[0];n=length(xi);f=.*x.^2+.*x+;x=0::55;F=.*x.^2+.*x+;fy=abs(f-y);fy2=fy.^2;Ew=max(fy),E1=sum(fy)/n,E2=sqrt((sum(fy2))/n)plot(xi,y,'r*'),holdon,plot(x,F,'b-'),holdofflegend('數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi,yi)','擬合曲線y=f(x)'),xlabel('x'),ylabel('y'),title('數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi,yi)和擬合曲線y=f(x)的圖形')xiyif最大誤差Ew，平均誤差Ew=E1=E2=。圖一元二次多項(xiàng)式擬合曲線誤差圖由以上結(jié)果可知，擬合方程的選取至關(guān)重要，它決定了最大誤差、平均誤差以及均方根誤差的大小，即擬合曲線的接近程度。本次實(shí)驗(yàn)，最初所選取的擬合解析方程v(t)=a1t+a2t2+a3t3獲得較好的擬合，選用解析方程為v(t)=a1t+a2t2+a3t3+a4t4的曲線擬合時(shí)，精確度有所下降。由此，擬合函數(shù)的選擇和擬合精度致密相關(guān)，最小二乘法如果想將曲線擬合的比較完美，必須應(yīng)用適當(dāng)?shù)哪M曲線，如果模擬曲線選擇不夠適當(dāng)，那么用最小二乘法計(jì)算完后，會(huì)發(fā)現(xiàn)擬合曲線誤差比較大，均方誤差也比較大，而如果擬合曲線選擇適當(dāng)，那么效果較好，且根據(jù)本次結(jié)果可見(jiàn)，當(dāng)采用更高次的多項(xiàng)式擬合數(shù)據(jù)，其結(jié)果的誤差會(huì)更小。