初中數(shù)學知識—（代數(shù)部分）目錄：一、數(shù)及運算。二、代數(shù)式。三、方程。四、不等式。五、函數(shù)一、數(shù)及運算1數(shù)新的擴充初中一開始引入《負數(shù)》的概念，數(shù)的范圍由零和正數(shù)（正整數(shù)和正分數(shù)），擴充到《有理數(shù)》，以后再引入《無理數(shù)》的概念，數(shù)的范圍由有理數(shù)，擴充的《實數(shù)》（七冊上）。最后一次引入《虛數(shù)》的概念。數(shù)的范圍由實數(shù)擴充的《復數(shù)》。這是高中學習的內(nèi)容?！獙崝?shù)的運算實數(shù)有六則運算：加、減、乘、除、乘方、開方。其中減法運算的法則，減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)，這樣加、減法看做同一種運算，它們滿足：TOC\o"1-5"\h\z結(jié)合律：（+）+=+（+）交換律： +—+又除法的法則，除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)，這樣把乘、除看做同一種運算。它們滿足：結(jié)合律：（?）?=?（?）交換律： ?=?分配律：?（+）—?+?m I又有分數(shù)指數(shù)的的意義，an—寸ama$, > > 。這樣乘方、開方又統(tǒng)一起來。對于乘方運算，要熟練理解和掌握以下概念：乘方，幕，底數(shù)，指數(shù)（第六冊上）。求個相同的因數(shù)的積的運算叫做乘方。乘方的結(jié)果叫做幕。an叫幕，a叫底數(shù)。叫指數(shù)axax，，，xa=an開方的概念：如果xn—a>是正整數(shù)，已知a和指數(shù)，求底數(shù)的運算叫開方。開方運算的結(jié)果叫方根。叫做的次方根。記坐“、萬。方根的性質(zhì)：奇次方根：正數(shù)的奇次方根是正數(shù)。327€3。負數(shù)的奇次方根是負數(shù)。3二27€-3。零的奇次方根是零30€0。偶次方根：正數(shù)的偶次方根是兩個互為相反的數(shù)。x2€16則x€±416€?2。負數(shù)的偶次方根無意義。零的偶次方根還是零。算術(shù)根：正數(shù)的正方根叫做算術(shù)跟。4a，（a?0-n?1整數(shù)）。零的算術(shù)根是零。開平方（七冊上）和平方根的概念要熟記，一個整數(shù)有兩個平方根，記作±.a,其中+ja叫做算數(shù)平方根。的平方根是，負數(shù)沒有平方根。開立方，正數(shù)的立方根是正數(shù)，的立方根是，負數(shù)的立方根是負數(shù)。3數(shù)軸和絕對值（六冊上）數(shù)軸是有原點、長度單位、方向的直線。任何實數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示。在數(shù)軸上比較兩個實數(shù)的大小，右邊的點表示的數(shù)，比左邊的點表示的數(shù)大。每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示；反過來，數(shù)軸上的一個點都表示一個實數(shù)。就是說，實數(shù)和數(shù)軸上的點是一一對應的。絕對值，幾何意義是一個數(shù)所對應的點到原點的距離。aaa0a|—，—aa€00a…04近似數(shù)和有效數(shù)字（六冊下）。這部分內(nèi)容要很好了解。二、代數(shù)式代數(shù)式包括（1）整式，（2）分式，（3）根式。1整式包括單項式和多項式，有關概念要了解，單項式的次數(shù)、多項式的次數(shù)（六冊下）2整式的加減運算整式的加減運算滿足結(jié)合律、交換律。法則是：先去括號，再合并同類項。合并同類項是整式的加減運算的核心。2—3冪的運算同底數(shù)冪相乘：am?an…am+n。冪的乘方：(J，…a…積的乘方：(ab\…an-bn。同底數(shù)冪相除：am?an…am-n—a<0 )o負指數(shù)：1a-p——ap（a<0是正整數(shù)）零指數(shù)：a0—1(a<0)分數(shù)指數(shù)：m ■fan—nam(a>0, > >2—4整數(shù)的乘除運算整數(shù)的乘除運算包括：單項式乘以單項式、單項式乘以多項式、多項式乘以多項式、單項式除以單項式、多項式除以單項式。要熟記它們的運算法則。以上運算滿足，結(jié)合律，交換律，分配律。要熟記乘法公式。+一2—2

a+b)2=a2+2a+bb2-ab)2=a2-2a+b2(+ab)=a+3a2b-3a2b+-ab)=a-3a2bb+3a2b-(+ab)(2a-aa+b2)a+3a-b)(2a+a+b2)a-b3—5分解因式把一個多項式化為幾個整式的積的形式叫分解因式。分解因式和乘法是互逆運算。這是解一元二次方程的基本知識，必需熟練的掌握。（1）提取公因式法注，第一項的符號為負時，將負號一起提出，使括號內(nèi)第一項為正，但括號內(nèi)各項都要變號。公因式的系數(shù)應是各項系數(shù)的最大公約數(shù)，字母應提取各項相同字母的指數(shù)最低的。)公式法x6—y6?C3)—C3)?C3—y3)(3,y3)?V(?V(—yrx2,xy,y22-xy,y2（3十字相乘法二次三項式可以用十字相乘法。4yJ5y-1例-1+y+20y2?20y2+y—1?(4y+1^5y-4yJ5y-1（4）分組分解法對于多于三項的多項式，應先用分組分解法，再提取公因式，或用公式法。x2,y2,z2,2xy,2yz,2xz丄,2xy,y2）,（2yz,2xz）,z2,y)2,2z(x,y)+z2?(x,y,z)2按比例拆項法）12),3x,6)x3,x2—12?x3—2x2丿+3x2—6(丿?x2(x—2)+3x(x—2)+6(x12),3x,6)注，系數(shù)比為：()( )/ )(x4+3x3+x2一3x-2='x4+2x3),'x3+2x2)—,2+2x)—(x+2)=x3(x+_2)+x2(x+2)-x(x+2)-(x+2)=(x+2^(x3+x2—x—1)=(x+2人3+x2)—(x+1)]=(x+2Xx2(x+1)—(x+1)]=(x+2^(x+1^(2—1)=(x+2Xx+1》(x—1)—6分式（八冊上）1）概念

除式中含有字母的有理式叫做分式。例如，b,x+1,分式的分母不能2a5€x2為基本性質(zhì)：分式的分子和分母都乘以（或都除以）同一個不等于零的代數(shù)式分式的值不變。符號：分子、分母和分式本身的符號改變其中任何兩個，分式的值不變。最簡分式:分子和分母沒有公因式，這樣的分式稱為最簡分式。求代數(shù)式的值：一般先化簡，再求值。1€當取何值時，分式3x2當取何值時，分式3x2+x—4有意義？它的值等于零？解：①令3x2+x—4，0及x—1，04由3x2+x一4，0得x，1或x，—123由x—1，0得x，11?■?當x豐1和x豐一3時，分式才有意義。3②令分子為零，即1-丄，0x—1得x一1一3,0，整理有，口，0，有x，4x—1 x—13?當x，4時，分子1一 ，0，而分母3x2+x一4豐0，x—1故x，4時分式的值為零。（2） 分式的乘、除法法則：兩個分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母。兩個分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置再與被除式相乘。（3） 分式的加減法法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減。異分母的分式相加減，先通分，化為同分母的分式，再運算。2—7二次根式（八冊上）（）帶有二次根號的式子叫做二次根式。如』5，4a，vx—3。2）根式的性質(zhì)：基本性質(zhì)nam=npamp?a…0，、、 都是正整數(shù)，并且n>1）。乘積的算術(shù)根nab乘積的算術(shù)根nab，nanb?a…0-b…0)?a…0,b>0)根式的的乘方，n根式的的乘方，nam(a…0)根式的開方 mna=mxna (a?0)根式的開方 mna=mxna (a?0)3)最簡二次根式被開方數(shù)的指數(shù)和根指數(shù)是互質(zhì)數(shù)。被開方數(shù)的每一個因式的指數(shù)都小于根指數(shù)。被開方數(shù)不含分母。例化簡:出8d10解：原式6：\(a2b3c4'I Ia2b3c4 ,a2b3c4d bc:=」 = =——3a2cd同類根式：幾個根式化成最簡根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，根指數(shù)也相同，這幾個根式叫做同類根式。(與根式前面的系數(shù)無關)同次根式：根指數(shù)相同的根式叫做同次根式。(與被開方數(shù)無關)(4)根式的運算根式的加、減法。把各根式化成最簡根式后，再合并同類根式根式的乘、除法。把各根式化成同次根式后，再應用公式na-n'b=nab(a?0-b?0),a-n，—nbvb③根式的乘方。應用公式(a>=*am (a?0)：a (a?0<b€0)④根式的開方。應用公式Vna=m/a(a?0)例計算v；4-2.3解：原式=3—23+1=解：原式=3—2^.3€2+2=］：=\：3—、2(5分母有理化把分母的根號化去，叫做分母有理化。例亠= =漢3a2 3a2<3aa三、方程1、等式等式的概念：用一個等號連結(jié)兩個代數(shù)式所成的式子叫做等式。等式的性質(zhì)：等式兩邊同時加上(或減去)同一個代數(shù)式，所得結(jié)果仍是等式。等式兩邊同時乘同一個數(shù)(或除以同一個不為的數(shù))所得結(jié)果仍是等式。2、一元一次方程含有未知數(shù)的等式叫做方程。能使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。含有一個未知數(shù)的方程的解也叫做方程的根。求方程的解的過程叫做解方程。含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的指數(shù)都是1的方程叫做一元一次方程。解一元一次方程，一般的步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、把未知數(shù)的系數(shù)化為1.解：去分母，得2(2x-1)-(5x-1)=6去括號，得4x—2—5x,1=6移項，得4x—5x=6,2—1合并同類項，得-x=7方程兩邊同除以，得x=—74)列方程解應用題?！?一元二次方程()一元二次方程的一般式：ax2,bx,c=0 (a…0)其中ax2、bx、c分別稱為一元二次方程的二次項、一次項、常數(shù)項。a、分別稱為二次項、一次項系數(shù)。()求根公式：ax2,bx,c=0(a…0)一b±、b2—4acx=2a當a、bc是實數(shù)時，根的性質(zhì)可由判別式Ab2—4ac來決定。若厶b2—4ac，方程有兩個不相等的實數(shù)根。若厶b2—4ac 方程有兩個相等的實數(shù)根。若厶b2—4ac 方程無實數(shù)根。(3)韋達定理(根與系數(shù)的關系。)如果a、B是方程ax2+bx+c€0 (a?0)或方程x2+px+q€如果a、根，那么Rba+<一—aa?<€—、 a或 Ja+p-—p根，那么Rba+<一—aa?<€—、 a或 Ja+p-—p，或1a.<€q(4)一元二次方程的解法①配方法：將方程轉(zhuǎn)化成(x+m)2—n的形式，當$時，倆邊開平方便可求出它的根。例解下列方程5x2€4-2x解：方程兩邊都除以5，得42x2—一一x5移項，24x2+x€5 5配方，41€—+525即，<21所以J21—1x-1②公式法把一元二次方程ax2+bx+c=0(a?0)的系數(shù)a、bc的值代人求根公式中進行計算即可。例解方程2例解方程2x2+5x+2€0解：這里ab2-4acx€-22.€-5土通■?x—x€-221例已知關于的方程5x2+mx+2m€0的一個根是2,求它的另一個根及m的值。解：設方程的另一個根是x,那么1

4m，代人2m4m整理，4m，代人2m4m所以，方程的另一個根是分解因式法：例解方程x2-5、；2x+8=0。解：由十字相乘法，原方程變?yōu)?-、遼X-4^2…二0即x-<2=0或x-4J2=0所以，x=v2x=4富2124一元二次方程的應用分析題意，找出等量關系，列出方程。常見的是復利公式，即本利和的問題。例甲公司前年繳稅40萬元，今年繳稅48.萬4元。該公司繳稅的年平均增長率是多少？解：設該公司繳稅的年平均增長率為，根據(jù)題意，得40（1,x）2=48.4解之，G,x）2=1.211,x=±1.1x=0.1 x=-2.112因為x=-2.1不合題意，故舍去。2因此x=0.1 %1所以，設該公司繳稅的年平均增長率為1%0四、不等式1不等式的概念和性質(zhì)用不等號（符號“〉”或者“V” ）聯(lián)結(jié)的兩個代數(shù)式所成的式子叫做不等式。性質(zhì)若〉，則V（對稱性）若〉>，貝IJ>（傳遞性）若〉則> 不等式的兩邊都加上或減去，同一個整式，不等號的方向不變）。

若＞若＞,>cd,>c0則則+>cb+d>cb不等式的兩邊都乘以（或除以一個正數(shù)，不等號方向不變）。若＞V則cVb（不等式的兩邊都乘以（或除以）一個負數(shù)，不等號方向改變）若＞>0,>>則＞兩邊都是正數(shù)的兩個同向不等式相乘，不等號不變）若＞,a>則1V1ab不等式的解集能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。一個含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個不等式的解集。求不等式的解集的過程叫做解不等式。不等式的解集可以用數(shù)軸來表示?！Ｒ淮尾坏仁剑?含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是的不等式叫做一元一次不等式。一般形式ax€b或axYb（a、b都是實數(shù)）（）解一元一次不等式類似于解一元一次方程。但是要注意不等式的兩邊同乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向必須改變。例解不等式2（x+1）+口€7x-132解：去分母，得12（x+1）+2（x-2）€21x-6去括號，得12x+12+2x—4€21x—6移項,得12x+2x-21x€-6-12+4合并，得-7x＞—14兩邊除以，得xY2例解關于的不等式：a2x+2€4x+a解：原不等式化為€i2—4）x€a—2 ①）當a2）當a2-4€0即|a]€2，即a€2或aY—2日寸，x€aa—2 1xY ?—a2—4a+2關鍵是由題意找出不等()當a2—4?0即a?±2時,若a?2不等式①變?yōu)?x€0，無解。若a?-2不等式①變?yōu)?x€-4，所以是一切實數(shù)。（）當a2-4y0即|a|Y2， -2YaY2時,（3一元一次不等式的應用一元一次不等式的應用和一元一次方程的應用類似,的關系，列出不等式。—3一元一次不等式組1）關于同一個未知數(shù)的幾個一元一次不等式合在一起叫做一元一次不等

式組。一元一次不等式組中各個不等式的解集的公共部分，叫做一元一次不等式組的解集。求不等式組的解集的過程，叫做解不等式組。(2)不等式組的解分四種情況：①f€①f€"€x€b解集是x€b。解集是xYa③Jx€③Jx€"€xyb解集是aYxYboIxya卄彳 右aYb€x€b3)解不等式組2x—5€3x—2例〕3x?6€4x二9解：解第一個不等式，得x€2解第一個不等式，得xY3所以，原不等式組的解是2YxY3五、函數(shù)1函數(shù)的有關概念(1)常量與變量：在某一變化過程中，保持不變的量叫常量，可以取不同數(shù)值的量叫變量。(2函數(shù)的定義：某變化過程中有兩個變量和，如果對于在實數(shù)某-范圍內(nèi)的每一個確定的值，按照給定的法則有確定的值和它對應，那么變量就叫做變量的函數(shù)。稱是自變量，是因變量?！笆堑暮瘮?shù)”這句話通常用式子y=f(x)來表示。符號“f”表示因變量與自變量之間函數(shù)關系的給定法則。通俗講函數(shù)就是自變量與因變量之間的一種對應關系。(3定義域和值域：自變量的取值范圍叫函數(shù)的定義域，和的值對應的的值叫函數(shù)值。全體函數(shù)值叫值域。定義域的取值范圍：是確定使函數(shù)的解析式有意義的的值。例如分母不能為，負數(shù)不能開偶次方。()函數(shù)的表示方法：有列表法、解析式法、圖像法。是常數(shù) 次函數(shù)一般地，形如y二kx+b叫做一次函數(shù)。這里工 是常數(shù)。y二kx+b可以變?yōu)閗x-y+b二0，這是二元一次方程。它的圖像是一條直線,bb當x€0時，y€b;當y€0時，x€-。過點（，）- 作直線，就是kky€kx,b的圖像。5—3反比例函數(shù)k一般地，形如y€k叫做是的反比例函數(shù)。為常數(shù)，工xk反比例函數(shù)y€k性質(zhì)：當>兩個分支分別位于第一象限和第三象限x內(nèi)，在每個象限內(nèi)，的值隨值增大而減少V兩個分支分別位于第二象限和第四象限內(nèi)，在每個象限內(nèi)，的值隨（1）一般地，形如y€ax2+bx+c（aH0a 是常數(shù)）的函數(shù)叫做二次函數(shù)。（）二次函數(shù)y€x2的圖像和性質(zhì)二次函數(shù)y€x2的圖像是一條拋物線，它的開口向上，且關于軸對稱，對稱軸與拋物線的交點（，）是拋物線的頂點，它是圖像的最低點。（3）二次函數(shù)y€ax2?豐0）的圖像和性質(zhì)二次函數(shù)y€ax2?豐0）的圖像是一條拋物線，我們把二次函數(shù)y€ax2?豐0）的圖像叫拋物線y=ax2。它的對稱軸是軸，它的頂點是坐標原點，當a€0時，拋物線的開口向上，頂點是它的最低點；當aY0時，拋物線的開口向下，頂點是它的最高點。（）二次函數(shù)y€ax2+k的圖像和性質(zhì)二次函數(shù)y=ax2€k的圖像是拋物線，它與拋物線y=ax2的形狀相同，只是位置不同它的對稱軸為軸，頂點坐標為0 ） >拋物線y二ax2向上平移個單位；V拋物線y二ax2向下平移個單位。（5二次函數(shù)y二a（x-h）2+k的圖像和性質(zhì)二次函數(shù)y二a（x-h）2+k的圖像是拋物線，它與拋物線y二ax2+k的形狀相同，只是位置不同它的對稱軸為x=h，頂點坐標為（）當>將拋物線y二ax2+k向左平移個單位；V將拋物線y二ax2+k向右平移個單位。例已知二次函數(shù)